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MEC059 - ELEMENTOS FINITOS NA DINÂMICA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Solução de autoproblemas1 Objetivos: Analisar as propriedades das matrizes,

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1 MEC059 - ELEMENTOS FINITOS NA DINÂMICA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Solução de autoproblemas1 Objetivos: Analisar as propriedades das matrizes, autovalores e autovetores de problemas de interesse apresentando algumas técnicas de solução aproximada. Estabelecer as bases para a compreensão dos métodos mais efetivos de solução de autoproblemas. SOLUÇÃO DE AUTOPROBLEMAS

2 MEC059 - ELEMENTOS FINITOS NA DINÂMICA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Solução de autoproblemas2 Introdução Autoproblema padrão, satisfeito por n pares de autovalores ( i ) e autovetores ( i ): K: matriz de rigidez de 1 elemento finito ou da montagem de elementos, ordem n. Para uma montagem de elementos, a metade da largura da banda é m K, ou seja a largura de banda total é 2m K +1. Os autovalores são ordenados pelo módulo A solução para os primeiros p autopares é escrita como, Se K é definida positiva ( i >0, i=1,...,n), e se semidefinida positiva ( i0, i=1,...,n). O número de i =0 é igual ao número de modos de corpo rígido. Outro autoproblema é aquele da análise de sobreposição modal para vibração: K, M: matrizes de rigidez e de massa da montagem de elementos finitos. A matriz de massa pode ser em banda, onde sua largura de banda m M =m K, ou M pode ser diagonal com m ii 0. A matriz M em banda, obtida em uma análise de massa consistente, é sempre definida positiva; enquanto uma matriz M é definida positiva só se todos os elementos na diagonal são maiores que zero. Em geral, uma matriz de massa diagonal é semidefinida positiva. A solução para p autopares é escrita como:

3 MEC059 - ELEMENTOS FINITOS NA DINÂMICA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Solução de autoproblemas3 Introdução (cont.) Outro autoproblema é aquele da análise de flambagem linearizado. onde t- t K e t K são as matrizes de rigidez nos tempos (i.e. níveis carga) respectivos. Outro autoproblema é encontrado na análise de transferência de calor. onde K é a matriz de condutividade térmica e C a matriz de capacitância térmica, se determinando os autovalores e autovetores térmicos. As matrizes K e C são definidas positivas ou semidefinidas positivas, e i 0 (i=1,..,n). Diversos métodos de solução de autoproblemas tem sido desenvolvidos, mas a maioria envolve matrizes gerais. A análise de elementos finitos envolve a solução dos autoproblemas listados, onde as propriedades das matrizes em relação a banda e de ser definida positivas são exploradas para obter a solução mais econômica.

4 MEC059 - ELEMENTOS FINITOS NA DINÂMICA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Solução de autoproblemas4 Fundamentos na solução de autoproblemas Propriedades dos autovetores Cada autopar ( i, i ) satisfaz o problema, Definido o vetor i M i e usado como vetor de carga R na eq. KU=R, logo U= i. Um autovetor é definido unicamente dentro da multiplicidade dele : constante diferente de zero ( i ): autovetor Os autovetores satisfazem a M- ortonormalidade ij : delta de Kronecker Os autovetores satisfazem a K- ortogonalidade Assumindo que i têm multiplicidade m ( i = i+1 =...= i+m-1 ), podemos escolher m autovetores i,..., i+m-1 que abarca o espaço m-dimensional dos autovalores i, mas os autovetores não são únicos. Podemos escrever então, condições que as p colunas de como autovetores devem satisfazer Se as condições são satisfeitas, os p vetores não precisam ser sempre autovetores a menos que p=n, pois só os autovetores abarcam o espaço n total.

5 MEC059 - ELEMENTOS FINITOS NA DINÂMICA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Solução de autoproblemas5 Exemplo Fundamentos na solução de autoproblemas Considere o autoproblema e os vetores v, Mostrar que os vetores satisfazem as relações de ortogonalidade mas não são autovetores. Avaliando as relações de ortogonalidade, observa-se que elas são satisfeitas, Para mostrar que v 1 e v 2 não são autovetores, avalia-se: O vetor K v 1 não pode ser igual ao vetor M v 1, onde é um escalar; quer dizer K v 1 não é paralelo a M v 1. Assim v 1 não é um autovetor, e v 2 também não. Os valores calculados de (4-2) e (4+2) não correspondem a autovalores.

6 MEC059 - ELEMENTOS FINITOS NA DINÂMICA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Solução de autoproblemas6 Fundamentos na solução de autoproblemas (cont.) Polinômio característico e restrições Os autovalores do problema K = M são raízes do polinômio característico: Re-escrevendo o problema na forma, observa-se que ela pode ser satisfeita somente para i diferentes de zero, desde que K- i M seja singular. O autoproblema da r-ésima restrição associada e relativa a K = M é: onde as matrizes são da ordem n-r e K (r) e M (r) são obtidas ao cancelar de K e M as ultimas r filas e colunas. Para o caso especial M= I, os autovalores do (r+1)-ésimo problema de restrição separam-se daqueles do r-ésimo problema de restrição, ou seja:


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