Resposta forçada I Objetivos:

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1 Resposta forçada I Objetivos:
Apresentar técnicas de solução da equação dinâmica em função das forças aplicadas serem harmônicas, periódicas, transientes ou randômicas Resposta forçada I

2 Introdução A equação de movimento da estrutura é,
u: vetor dos deslocamentos nodais M: matriz de inércia C: matriz de amortecimento K: matriz de rigidez f: vetor de forças nodais equivalentes O método de solução dessa equação depende se as forças aplicadas são harmônicas, periódicas, transientes ou randômicas. Resposta forçada I

3 Introdução Tipo de comportamento Resposta forçada I Estático
Quase estático Dinâmico Problemas: propagação de onda, dinâmica de estruturas Vibração livre: freqüências naturais e modos de vibração Resposta harmônica Resposta periódica Resposta transiente Resposta randômica Análise modal Resposta forçada I

4 Análise modal Adicionalmente,
Independente das forças aplicadas, a solução da equação pode ser obtida de forma direta ou transformando-a numa forma mais simples. Qualquer vetor num espaço n-dimensional pode ser expresso como uma combinação linear de n vetores linearmente independentes. Os autovetores r são ortogonais e linearmente independentes. Assim a solução u pode ser expressa na forma, r: r-ésima freqüência natural A equação se reduz a, : matriz de autovetores r equação que é resolvida para q, e o resultado substituído para obter u. As expressões de energia são, e utilizando as equações de Lagrange resulta, Resposta forçada I

5 Representação do amortecimento
Modelos simplificados, baseados mais na conveniência matemática que na representação física, irão representar o amortecimento. Consideram-se dois tipos de amortecimento: Estrutural (histerético) Viscoso Caso todos os elementos apresentem o mesmo fator de perda, Amortecimento estrutural A equação dinâmica fica na forma, Sistema multigraus de liberdade com amortecimento estrutural, As equações ficam agora desacopladas e cada uma é da forma de um sistema de 1 GDL. Válido só para excitação harmônica. A matriz complexa [K+iH] é obtida substituindo o módulo de Young E pela forma complexa E(1+i), onde  é o fator de perda do material.  varia de 2x10-5 (alumínio) a 1,0 (borracha). Utilizando a simplificação de análise modal, Resposta forçada I

6 Amortecimento de Rayleigh. Variação de r com r
Representação do amortecimento (cont) Amortecimento viscoso A solução dessas equações fornece, Usado para qualquer tipo de excitação. Mais comum: amortecimento tipo Rayleigh. Nos outros modos, r resulta, Por causa disso obtém-se a matriz diagonal, Novamente as equações são desacopladas, r: relação de amortecimento modal Os fatores a1 e a2 são obtidos especificando r para dois modos, por exemplos os modos 1 e 2: Amortecimento de Rayleigh. Variação de r com r Resposta forçada I

7 Variação de r proporcionais à massa e rigidez com r
Representação do amortecimento (cont) Amortecimento viscoso (cont) Amortecimento proporcional à massa, a2=0. Especificando r para o modo 1 resulta: Nos outros modos, r resulta, r diminui ao aumentar a freqüência modal ! Variação de r proporcionais à massa e rigidez com r Amortecimento proporcional à rigidez, a1=0. Especificando r para o modo 1 resulta: Amortecimento proporcional à massa representa o amortecimento pelo atrito. Amortecimento proporcional à rigidez representa o amortecimento interno do material. Variação de r; desde 0,01 em sistemas de dutos de diâmetro pequeno a 0,07 em juntas parafusadas e estruturas de concreto. Nos outros modos, r resulta, r cresce ao aumentar a freqüência modal ! Resposta forçada I

8 Resposta Harmônica Análise modal
Forças nodais harmônicas da mesma freqüência , mas com amplitude e fase diferente. Os elementos de f são complexos desde que, Para amortecimento estrutural ou proporcional, a matriz inversa é uma matriz diagonal com elementos na diagonal iguais a: k: fase da força fk relativa a força de referência. Análise modal estrutural proporcional As forças generalizadas apresentam-se como, Assim, a equação dinâmica resulta, Finalmente a resposta original resulta igual a, A resposta em estado permanente é obtida assumindo uma resposta harmônica com freqüência , q(t)=q exp(iwt). Logo, Matriz de receptância Resposta forçada I

9 Resposta Harmônica (cont)
Análise modal (cont) jk(): receptância de transferência, resposta no GDL j devido a uma força harmônica de módulo unitário e freqüência  aplicada no GDL k. jj(): ponto de receptância. Para amortecimento estrutural: As seguintes matrizes são obtidas, Para amortecimento proporcional: Exemplo Calcular as receptâncias j1(), j=1,2,3 para 0<<94,25 rad/s (15 Hz) do sistema não amortecido para k1=k4=3000 N/m, k2=k3=1000 N/m, m1=m3=2 kg e m1=1 kg Assim, Resposta forçada I

10 Resposta Harmônica (cont)
Análise modal (cont) Exemplo (cont) Ressonância nas freqüências naturais 5,03-7,12 –8,72 Hz e anti-ressonância em 5,72–8,28 Hz. Não se observa neste caso anti-ressonâncias. Ressonância nas freqüências naturais 5,03–8,72 Hz. A constante modal para o segundo modo é zero, porquanto o deslocamento u2=0 neste modo e não se observa anti-ressonâncias. Resposta forçada I

11 Resposta Harmônica (cont)
Análise modal (cont) Exemplo Calcular as receptâncias j1(), j=1,2,3 para as freqüências 5,03-5,72-7,12 –8,28-8,72 Hz do sistema, quando o amortecimento é proporcional à matriz de rigidez com 1=0,02. Com os valores 1=0,02 e 1=5,03 Hz, a equação r=(r/1)r permite calcular: Incluindo o amortecimento nas expressões ... Resposta forçada I

12 Resposta Harmônica (cont)
Análise direto (a) (b) A resposta em estado permanente pode ser obtida resolvendo diretamente a equação, Substituindo (b) em (a) resulta, Assumindo que a resposta permanente é harmônica com freqüência  temos, Substituindo a expressão em (b) resulta, cuja solução é, Considerando estruturas restritas e ainda, Logo, Igualando as componentes reais e imaginárias, Resposta forçada I

13 Sistema de 2GDL sujeito a uma força harmônica m=1kg, k=1000 N/m.
Resposta Harmônica (cont) Análise direto (cont) Exemplo Calcule a resposta do sistema na freqüência 5(10)1/2/ com amortecimento estrutural =0,04. Utiliza-se estes valores para obter BI e BR: Sistema de 2GDL sujeito a uma força harmônica m=1kg, k=1000 N/m. Matrizes de inércia e de rigidez do sistema: Agora, Para a freqüência, Resposta forçada I

14 Resposta Periódica Análise direto (cont)
Se a função não é contínua em t, logo a soma é a media dos limites à esquerda e à direita de f em . As forças periódicas, como as existentes nas operações de maquinaria, podem ser vistas como uma série de Fourier, que é uma serie de quantidades harmonicamente variantes como, onde, T: período da força As condições de suficiência para a convergência da série de Fourier são as condições de Dirichlet. Elas estabelecem que se uma função periódica é contínua no intervalo 0<t<T e apresenta derivadas à direita e à esquerda para cada ponto no intervalo, logo a série de Fourier converge e a soma é f(t), se a função é contínua em t. Resposta forçada I