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MEC114 Métodos Computacionais em Dinâmica DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Resposta forçada I1 Objetivos: Apresentar técnicas de solução da equação.

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1 MEC114 Métodos Computacionais em Dinâmica DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Resposta forçada I1 Objetivos: Apresentar técnicas de solução da equação dinâmica em função das forças aplicadas serem harmônicas, periódicas, transientes ou randômicas Resposta forçada I

2 MEC114 Métodos Computacionais em Dinâmica DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Resposta forçada I2 Introdução A equação de movimento da estrutura é, u: vetor dos deslocamentos nodais M: matriz de inércia C: matriz de amortecimento K: matriz de rigidez f: vetor de forças nodais equivalentes O método de solução dessa equação depende se as forças aplicadas são harmônicas, periódicas, transientes ou randômicas.

3 MEC114 Métodos Computacionais em Dinâmica DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Resposta forçada I3 Introdução Tipo de comportamento Estático Quase estático Dinâmico Problemas: propagação de onda, dinâmica de estruturas Vibração livre: freqüências naturais e modos de vibração Resposta harmônica Resposta periódica Resposta transiente Resposta randômica Análise modal

4 MEC114 Métodos Computacionais em Dinâmica DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Resposta forçada I4 Análise modal Independente das forças aplicadas, a solução da equação pode ser obtida de forma direta ou transformando-a numa forma mais simples. Qualquer vetor num espaço n-dimensional pode ser expresso como uma combinação linear de n vetores linearmente independentes. Os autovetores r são ortogonais e linearmente independentes. Assim a solução u pode ser expressa na forma, : matriz de autovetores r As expressões de energia são, e utilizando as equações de Lagrange resulta, Adicionalmente, r : r-ésima freqüência natural A equação se reduz a, equação que é resolvida para q, e o resultado substituído para obter u.

5 MEC114 Métodos Computacionais em Dinâmica DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Resposta forçada I5 Representação do amortecimento Modelos simplificados, baseados mais na conveniência matemática que na representação física, irão representar o amortecimento. Consideram-se dois tipos de amortecimento: - Estrutural (histerético) - Viscoso Sistema multigraus de liberdade com amortecimento estrutural, Válido só para excitação harmônica. A matriz complexa [K+iH] é obtida substituindo o módulo de Young E pela forma complexa E(1+i ), onde é o fator de perda do material. Caso todos os elementos apresentem o mesmo fator de perda, varia de 2x10 -5 (alumínio) a 1,0 (borracha). Utilizando a simplificação de análise modal, Amortecimento estrutural A equação dinâmica fica na forma, As equações ficam agora desacopladas e cada uma é da forma de um sistema de 1 GDL.

6 MEC114 Métodos Computacionais em Dinâmica DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Resposta forçada I6 Representação do amortecimento (cont) Usado para qualquer tipo de excitação. Mais comum: amortecimento tipo Rayleigh. Por causa disso obtém-se a matriz diagonal, A solução dessas equações fornece, Novamente as equações são desacopladas, Amortecimento viscoso Nos outros modos, r resulta, r : relação de amortecimento modal Os fatores a 1 e a 2 são obtidos especificando r para dois modos, por exemplos os modos 1 e 2: Amortecimento de Rayleigh. Variação de r com r

7 MEC114 Métodos Computacionais em Dinâmica DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Resposta forçada I7 Representação do amortecimento (cont) Amortecimento proporcional à massa, a 2 =0. Especificando r para o modo 1 resulta: Amortecimento viscoso (cont) Nos outros modos, r resulta, r diminui ao aumentar a freqüência modal ! Variação de r proporcionais à massa e rigidez com r Amortecimento proporcional à rigidez, a 1 =0. Especificando r para o modo 1 resulta: Nos outros modos, r resulta, r cresce ao aumentar a freqüência modal ! Amortecimento proporcional à massa representa o amortecimento pelo atrito. Amortecimento proporcional à rigidez representa o amortecimento interno do material. Variação de r ; desde 0,01 em sistemas de dutos de diâmetro pequeno a 0,07 em juntas parafusadas e estruturas de concreto.

8 MEC114 Métodos Computacionais em Dinâmica DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Resposta forçada I8 Resposta Harmônica Forças nodais harmônicas da mesma freqüência, mas com amplitude e fase diferente. Os elementos de f são complexos desde que, Para amortecimento estrutural ou proporcional, a matriz inversa é uma matriz diagonal com elementos na diagonal iguais a: Assim, a equação dinâmica resulta, A resposta em estado permanente é obtida assumindo uma resposta harmônica com freqüência, q(t)=q exp(i t). Logo, k : fase da força f k relativa a força de referência. Análise modal As forças generalizadas apresentam-se como, estrutural proporcional Finalmente a resposta original resulta igual a, Matriz de receptância

9 MEC114 Métodos Computacionais em Dinâmica DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Resposta forçada I9 Resposta Harmônica (cont) Análise modal (cont) jk ( ): receptância de transferência, resposta no GDL j devido a uma força harmônica de módulo unitário e freqüência aplicada no GDL k. jj ( ): ponto de receptância. Para amortecimento estrutural: Para amortecimento proporcional: Exemplo Calcular as receptâncias j1 ( ), j=1,2,3 para 0< <94,25 rad/s (15 Hz) do sistema não amortecido para k 1 =k 4 =3000 N/m, k 2 =k 3 =1000 N/m, m 1 =m 3 =2 kg e m 1 =1 kg As seguintes matrizes são obtidas, Assim,

10 MEC114 Métodos Computacionais em Dinâmica DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Resposta forçada I10 Resposta Harmônica (cont) Análise modal (cont) Exemplo (cont) Ressonância nas freqüências naturais 5,03-7,12 –8,72 Hz e anti-ressonância em 5,72–8,28 Hz. Ressonância nas freqüências naturais 5,03–8,72 Hz. A constante modal para o segundo modo é zero, porquanto o deslocamento u 2 =0 neste modo e não se observa anti-ressonâncias. Não se observa neste caso anti-ressonâncias.

11 MEC114 Métodos Computacionais em Dinâmica DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Resposta forçada I11 Resposta Harmônica (cont) Análise modal (cont) Exemplo Calcular as receptâncias j1 ( ), j=1,2,3 para as freqüências 5,03-5,72-7,12 –8,28-8,72 Hz do sistema, quando o amortecimento é proporcional à matriz de rigidez com 1 =0,02. Com os valores 1 =0,02 e 1 =5,03 Hz, a equação r =( r / 1 ) r permite calcular: Incluindo o amortecimento nas expressões...

12 MEC114 Métodos Computacionais em Dinâmica DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Resposta forçada I12 Resposta Harmônica (cont) Análise direto A resposta em estado permanente pode ser obtida resolvendo diretamente a equação, cuja solução é, Considerando estruturas restritas e ainda, Assumindo que a resposta permanente é harmônica com freqüência temos, Logo, Igualando as componentes reais e imaginárias, (a) (b) Substituindo (b) em (a) resulta, Substituindo a expressão em (b) resulta,

13 MEC114 Métodos Computacionais em Dinâmica DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Resposta forçada I13 Resposta Harmônica (cont) Análise direto (cont) Sistema de 2GDL sujeito a uma força harmônica m=1kg, k=1000 N/m. Matrizes de inércia e de rigidez do sistema: Calcule a resposta do sistema na freqüência 5(10) 1/2 / com amortecimento estrutural =0,04. Para a freqüência, Exemplo Utiliza-se estes valores para obter B I e B R : Agora,

14 MEC114 Métodos Computacionais em Dinâmica DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Resposta forçada I14 Resposta Periódica Análise direto (cont) As forças periódicas, como as existentes nas operações de maquinaria, podem ser vistas como uma série de Fourier, que é uma serie de quantidades harmonicamente variantes como, onde, As condições de suficiência para a convergência da série de Fourier são as condições de Dirichlet. Elas estabelecem que se uma função periódica é contínua no intervalo 0


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