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ENG 03031 Dinâmica de Veículos Mecânica analítica1 Objetivos: Apresentar o enfoque lagrangeano na formulação das equações de movimento. Mostrar como o.

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1 ENG Dinâmica de Veículos Mecânica analítica1 Objetivos: Apresentar o enfoque lagrangeano na formulação das equações de movimento. Mostrar como o método lagrangeano resolve as dificuldades da aplicação direta das leis de movimento de Newton em sistema complexos. Mostrar como as equações de Lagrange apresentam as equações de movimento numa forma padrão mais conveniente. MECÂNICA ANALÍTICA

2 ENG Dinâmica de Veículos Mecânica analítica2 Graus de liberdade (GDL) O número de GDL é igual ao número de coordenadas (n) usadas para especificar o sistema menos o número de equações independentes de restrição (m). Partícula em movimento na superfície de uma esfera fixa de raio R. As coord. de posição (x,y,z) estão relacionadas pela equação de restrição. Usando a posição (x 0,y 0,z 0 ) de um ponto arbitrário da barra e as coordenadas esféricas e para orientação; GDL=5. O número de GDL é uma característica do sistema, não depende do conjunto particular coordenadas de configuração. Assim, a escolha de coordenadas só influencia n e m. O centro da esfera está localizado em (x 0,y 0,z 0 ). Assim n=3, m=1 e GDL=2. Movimento de duas partículas m 1 e m 2 conectadas por uma barra sem massa, rígida e de comprimento l; restrita por, Assim n=6, m=1, GDL=n-m=5 Duas partículas unidas por uma barra rígida

3 ENG Dinâmica de Veículos Mecânica analítica3 Coordenadas generalizadas Coordenadas generalizadas. Conjunto de números que serve para especificar a configuração de um sistema, por exemplo os sistemas coordenados ou qualquer parâmetro de configuração. Para sistemas em movimento, estes números variam com o tempo e são tratados como variáveis algébricas. O termo coordenada generalizada pode-se referir aos sistemas coordenados, ou a qualquer conjunto de parâmetros de configuração. A análise matemática de um sistema dinâmico é simplificada escolhendo um conjunto de coordenadas generalizadas independentes igual ao número de GDL, sem equações de restrição. Equações de transformação, para N partículas, de um conjunto de 3N coordenadas x cartesianas para n coordenadas q generalizas, Para l equações de restrição relacionando os x´s e m equações de restrição dos q´s.

4 ENG Dinâmica de Veículos Mecânica analítica4 Restrições Restrições holonômicas Sistema descrito por n coordenadas generalizadas q 1,q 2,q 3 ; sujeito a m equações de restrições holonômicas independentes da forma: Procura-se um conjunto de coordenadas generalizadas que assumindo valores arbitrários não viole as restrições. Um sistema sujeito só a restrições holonômicas permite encontrar um conjunto de coordenadas generalizadas, igual ao número de GDL. Exemplo: pendulo duplo. As barras de comprimento l 1 e l 2 são rígidas e sem massa. Sistema com pino em m 1 e O para ter movimento no plano. Equações de restrição: Restrições holonômicas escleronômicas Não dependem do tempo. Restrições holonômicas rheonômicas São funções explícitas do tempo.

5 ENG Dinâmica de Veículos Mecânica analítica5 Restrições (cont.) Restrições holonômicas (cont.) No exemplo do pendulo duplo é possível encontrar um conjunto de coordenadas generalizadas independentes ( 1, ) com o mesmo número dos GDL. O pendulo duplo constitui um sistema conservativo. Sistema holonômico Sem equações de restrição ou todas elas holonômicas. Sistema escleronômico i) As eqs. de restrição não apresentam funções explicitas do tempo ii) As eqs. de transformação expressam as coordenadas cartesianas x´s só como função das q´s, não do tempo. Os sistemas sem atrito com restrições escleronômicas são conservativos. Seja uma equação de restrição da forma: ela pode ocorrer quando por exemplo um conjunto de partículas está contido dentro de uma superfície fechada.

6 ENG Dinâmica de Veículos Mecânica analítica6 Restrições (cont.) Restrições não holonômicas Restrições colocadas em termos de expressões diferenciais não integráveis das coordenadas e do tempo a: função dos q´s e do tempo Não da para eliminar as coordenadas utilizando as equações de restrição. Os sistemas contendo estas restrições precisam mais coordenadas para sua descrição que os GDL. As condições de exatidão, necessárias para integração da expressão são:

7 ENG Dinâmica de Veículos Mecânica analítica7 Exemplo: disco vertical que rola sem deslizamento no plano horizontal xy Coordenadas: posição (x,y) do ponto de contacto, ângulo de rotação do disco, ângulo entre plano do disco e o plano yz. Restrições (cont.) Restrições não holonômicas (cont.) Assim, GDL=4-2=2: As expressões não são diferencias exatos: As restrições não holonômicas não reduzem os possíveis valores das coordenadas generalizadas (x,y,, ). Em nível de pequenos deslocamentos, só dois deslocamentos diferenciais independentes ficam, correspondentes aos GDL. Arbitrando d e d obtêm-se dx e dy pelas eqs. de restrição. Equações de restrição de rolamento sem deslizamento, não integráveis:

8 ENG Dinâmica de Veículos Mecânica analítica8 Trabalho virtual os deslocamentos virtuais x estão relacionadas pelas m equações obtidas ao fazer d j =0, onde foi substituido os dxs por ts, além de que t=0. onde F i é a força aplicada à partícula i cujo vetor posição é r i. Caso. Se as coordenadas cartesianas estão sujeitas às restrições holonômicas, Da mesma forma, para caso de restrições não-holonômicas, os xs são restritos por equações da forma, Deslocamento e trabalho virtual Seja um sistema com N partículas, definido em coordenadas cartesianas x 1,x 2,...,x 3N, onde três coordenadas especificam a posição da partícula. Suponha as forças F 1,F 2,...,F 3N ou F 1,F 2,...,F N aplicadas nessas coordenadas na direção positiva. Imagine o sistema submetido a pequenos e arbitrários deslocamentos virtuais 1, 2,..., 3N, os quais ocorrem sem a passagem do tempo e com detenção das restrições de movimento. O trabalho virtual das forças aplicadas, as quais resultam constantes, é:

9 ENG Dinâmica de Veículos Mecânica analítica9 Condições de restrição implicam em... forças impostas ao sistema de partículas.... logo, consideremos o trabalho feito por alguns tipos de forças de restrição. As forças transmitidas pela barra às partículas devem ser iguais, opostas e colineares. Assumindo que R 1 é a força de restrição em m 1 e R 2 é a força de restrição em m 2, Seja os deslocamentos virtuais r 1 e r 2, o trabalho virtual das forças de restrição é, O trabalho virtual das forças de restrição é nulo. Trabalho virtual (cont.) Forças de restrição Exemplo: Duas partículas unidas por uma barra rígida sem massa e r : vetor unitário de m 1 a m 2 mas as componentes de deslocamento ao longo da barra rígida devem ser iguais, o que resulta na restrição, logo,

10 ENG Dinâmica de Veículos Mecânica analítica10 Separa-se a força total que atua na partícula m i na força de restrição que não realiza trabalho R i e na força aplicada F i. Se um sistema de N partículas está em equilíbrio estático, logo em cada partícula O trabalho virtual das forças a partir dos deslocamentos virtuais r i é, A condição para equilíbrio estático de um sistema escleronómico sem movimento sujeito a restrições bilaterais que não fazem trabalho é o trabalho virtual nulo das forças aplicadas ao se mover através de deslocamentos virtuais. Trabalho virtual (cont.) O princípio do trabalho virtual - P.T.V. Logo, Seja um sistema de N partículas onde as forças aplicadas são conservativas. Usando coordenadas cartesianas para definir a posição das partículas, a função de energia potencial pode ser escrita, O trabalho virtual das forças forças de restrição é nulo, A componente da força aplicada na direção x i é:

11 ENG Dinâmica de Veículos Mecânica analítica11 Colocando a energia potencial em termos das coordenadas generalizadas q 1,...,q n : Via PTV, condição necessária e suficiente para equilíbrio estático de um sistema conservativo com restrições bilaterais, Trabalho virtual (cont.) O princípio do trabalho virtual (cont.) Trabalho virtual das forças aplicadas para um deslocamento virtual consistente com as restrições: A primeira variação na energia potencial devido a um deslocamento arbitrário é: Assume-se um conjunto de coordenadas generalizadas independentes com restrições holonômicas. Em equilíbrio V=0, para uma escolha arbitrária dos qs, os coeficientes devem se anular, A configuração de equilíbrio estático de um sistema holonômico conservativo com restrições fixas que não realizam trabalho ocorre quando a energia potencial mostra um valor estacionário.

12 ENG Dinâmica de Veículos Mecânica analítica12 Considere um sistema de N partículas com restrições bilaterais que não geram trabalho. Utiliza-se o PTV para obter a forma Lagrangeana do Princípio de DAlembert : Trabalho virtual (cont.) Princípio de DAlembert Seja uma partícula de massa m sujeita à aceleração absoluta a, por causa da força externa F, resulta: A força de inércia (–ma) é considerada como uma força adicional na partícula. F i : força aplicada em m i r i : deslocamento virtual de m i Logo, usa-se os métodos da estática para obter as equações de movimento de um sistema dinâmico.

13 ENG Dinâmica de Veículos Mecânica analítica13 Seja um sistema de N partículas com posições especificadas pelas coordenadas x 1,x 2,...,x 3N. Sejam as forças x 1,x 2,...,x 3N aplicadas na direção positiva das coordenadas. O trabalho virtual das forças em um deslocamento virtual arbitrário consistente com as restrições é: Forças generalizadas Supondo que as coordenadas cartesianas estão relacionadas às coordenadas generalizadas. Assumindo t=0, podemos obter o deslocamento virtual: onde a força generalizada Q i associada com a coordenada generalizada q i é: O trabalho virtual resulta: Q i é o trabalho virtual por deslocamento unitário de q i pelas forças atuando no sistema quando as outras coordenadas generalizadas ficam constantes.

14 ENG Dinâmica de Veículos Mecânica analítica14 Forças generalizadas (cont.) Mas, as forças de restrição (Rs) não devem ser ignoradas, pois juntamente com as forças aplicadas ao sistema, neste caso especial, contribuem com a força generalizada Q i. Como exemplo, existem forças de restrição generalizadas que ocorrem na análise de sistemas não holonômicos ao ser impossível a escolha de coordenadas generalizadas independentes. Estas forças de restrição generalizadas são geralmente obtidas através dos multiplicadores de Lagrange. Considere um sistema holonômico inicialmente sem movimento com restrições fixas que não geram trabalho. Se sua configuração é expressa em termos de coordenadas generalizadas independentes, a condição necessária e suficiente para equilíbrio estático é zerar os Qs devido às forças aplicadas.

15 ENG Dinâmica de Veículos Mecânica analítica15 Derivações das Equações de Lagrange Para n coordenadas generalizadas, das equações de transformação resulta: Considere um sistema de N partículas, cujas posições são definidas em coordenadas cartesianas x 1,x 2,...,x 3N. A Energia Cinética T do sistema é: assim Então: e, Para sistemas reonômicos, a energia cinética total pode ser escrita como, ao expandir T e mudando j para k

16 ENG Dinâmica de Veículos Mecânica analítica16 Derivações das Equações de Lagrange (cont.) Observa-se que p i é um escalar Para sistemas simples de coordenadas indica a componente do vetor momentum na direção da coordenada q i. Para um sistema de coordenadas não ortogonal, p i é a projeção do momentum total na direção do eixo q i. Para coordenadas mais gerais, p i não expressa significância física simples. O momentum generalizado p i associado com a coordenada generalizada q i é, Para o sistema de de N partículas, resulta Mas de, Então: A mudança do momentum generalizado é, Momentum generalizadoEquações de Lagrange e fazendo i=k na mudança da expressão,

17 ENG Dinâmica de Veículos Mecânica analítica17 Derivações das Equações de Lagrange (cont.) Assim, Equações de Lagrange (cont.) Aplica-se a lei de Newton de movimento, onde a força total atuante na partícula j na direção x j é a soma das forças de restrição que não geram trabalho R j e as forças aplicadas F j. Da energia cinética, A quantidade de qs deve ser igual ao número de GDL se as forças generalizadas devidas às restrições que não produzem trabalho são zero. Assumindo qs independentes, Com a definição de p i e rearranjando a expressão, encontra-se a forma fundamental das n equações de Lagrange: A mudança no tempo do momentum generalizado p i é igual à força generalizada Q i, referente às forças aplicadas, mais a força de inércia generalizada devido ao movimento nas outras coordenadas generalizadas.

18 ENG Dinâmica de Veículos Mecânica analítica18 Outra forma de das equações de Lagrange pode ser obtida para sistemas em que todos os Qs são deriváveis de uma função potencial V=V(q,t): Definindo a função Lagrangiana L: Substituindo as duas expressões acima na forma fundamental das equações de Lagrange, encontramos a forma padrão das equações de Lagrange: Quando as forças generalizadas do sistema não são completamente deriváveis de uma função potencial, a equação será igual a estas forças generalizadas, representadas por Q i: Derivações das Equações de Lagrange (cont.) Equações de Lagrange (cont.) Exemplos típicos de Q i são as forças de atrito, funções de força variável no tempo e forças de restrições não holonômicas.

19 ENG Dinâmica de Veículos Mecânica analítica19 Multiplicadores de Lagrange Os termos de forças generalizada representando as forças de restrição devem aparecer nas equações. A natureza não integrável das equações de restrição em sistemas não holonômicos requer mais coordenadas que GDL. As equações de restrição não holonômicas (e holonômicas) podem ser escritas da forma: O método dos multiplicadores de Lagrange, aplicável a restrições holonômicas e não holonômicas, permite resolver essas forças de restrição. Considere um sistema com restrições sem atrito holonômicas ou não holonômicas. As variações das coordenadas ( t=0) generalizadas individuais devem satisfazer, Seja C i a força de restrição generalizada correspondente a q i, para qualquer conjunto de qs, que satisfaça a equação anterior, Multiplicando (*) por um fator conhecido como multiplicador de Lagrange obtém-se, Subtraindo a soma das m equações de (**) e mudando a ordem da soma, (*) (**)

20 ENG Dinâmica de Veículos Mecânica analítica20 Multiplicadores de Lagrange (cont.) A partir da equações padrão, obtém-se a forma padrão não-holonômica das equações de Lagrange : Sendo os qs independentes resulta, Com isto, possuímos n equações de movimento, mas (n+m) incógnitas, os n qs e os m s. As m equações adicionais são obtidas escrevendo as eqs. de restrição na forma, O sistema com (n-m) incógnitas foi substituído por outro com (n+m) incógnitas, considerando as variáveis s. Este procedimento resulta em equações mais simples, a simetria do problema é preservada e ainda as forças de restrição são obtidas durante a solução. Caso as restrições envolvam forças dissipativas, como o atrito por deslizamento, estas forças generalizadas são escritas como termos separados envolvendo os C i e outros termos.

21 ENG Dinâmica de Veículos Mecânica analítica21 Sistemas conservativos Condições para definir um sistema como conservativo: A forma padrão das equações de Lagrange (holonômica ou não- holonômica) se aplica. A função Lagrangeana L(q,dq/dt) não é uma função explícita do tempo. Qualquer equação de restrição (holonômica ou não-holonômica) pode ser expressa na forma seguinte de forma que os coeficientes a jt são nulos. Aplicando estas três condições, podemos resolver o problema utilizando a equação: Onde h é uma constante.

22 ENG Dinâmica de Veículos Mecânica analítica22 Exemplo O ponto O de um pêndulo simples de comprimento l desloca-se horizontalmente de acordo com a expressão abaixo, no plano de movimento em. Encontre a equação diferencial de movimento. Como o problema depende do tempo, se trata de sistema reonômico. Como a força de restrição atua sobre O, esta não contribui para Q.. Para obter a energia cinética, calcula- se primeiro a velocidade absoluta da massa m. Conforme a figura: Então:

23 ENG Dinâmica de Veículos Mecânica analítica23 Exemplo (cont.) A energia potencial é Desta forma, utilizando a forma original da equação de Lagrange, encontramos a seguinte equação de movimento para o sistema: Como L=T-V, temos que:


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