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Movimento Periódico Jusciane da Costa e Silva Mossoró, Março de 2010 Universidade Federal Rural do Semiarido - UFERSA.

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1 Movimento Periódico Jusciane da Costa e Silva Mossoró, Março de 2010 Universidade Federal Rural do Semiarido - UFERSA

2 Sumário Movimento Movimento Harmônico Simples (MHS) Velocidade e Aceleração MHS Energia MHS Movimento Circular

3 MOVIMENTO A idéia de movimento é bastante relativa, pois depende de um referencial.

4 Quando o movimento varia apenas nas proximidades de um ponto (referencial), dizemos que temos uma oscilação. Oscilar é mover-se de um lado para o outro, movimentar-se alternadamente em sentidos opostos. Periódico é movimenta-se em intervalos de tempos iguais, de forma idêntica. MOVIMENTO

5 MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES – (MHS)

6 Consideremos o sistema massa mola: MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES – (MHS)

7 A força restauradora é função apenas da deformação Assumindo que F(x) possui derivadas contínuas de todas as ordens, podemos expandi-las em uma Série de Taylor: Considerando os deslocamentos muito pequenos, temos MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES – (MHS)

8 Sendo que Portanto Lembrando que o sinal negativo é por ser uma força restauradora. A força restauradora é uma força linear e portanto obedecem a Lei de Hooke. MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES – (MHS)

9 A equação do MHS, segundo as leis de Newton é: Chegando a MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES – (MHS) ou esta equação é uma equação diferencial, ordinária de segunda ordem, linear e homogênea, onde se define como sendo a freqüência angular, que é uma função da massa e da constante elástica.

10 Este tipo de equação possui as seguintes propriedades: MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES – (MHS) Combinando tais propriedades, podemos dizer que onde C 1 e C 2 são constantes. Vamos encontrar uma equação que tenha esse tipo. Como x é função do tempo, devemos encontrar um função que, sua derivada segunda seja proporcional à própria função. Uma função exponencial é deste tipo.

11 logo derivando, encontramos que logo a solução geral da equação diferencial geral fica Lembrando que MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES – (MHS)

12 Depois de algumas manipulações matemáticas, temos. fazendo Portanto a solução para o sistema massa mola e conseqüentemente do MHS são: MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES – (MHS)

13 Onde A é a amplitude de oscilação e e são constantes de fase ou ângulos de fase que diferem o movimento. MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES – (MHS)

14 A AMPLITUDE (A) – módulo máximo do vetor deslocamento do corpo a partir da posição de equilíbrio, isto é, o valor máximo de |x|. CICLO – é uma oscilação completa. PERÍODO (T) – é o tempo correspondente a um ciclo. Ele é sempre positivo, sua unidade no SI é o segundo (s). FREQUÊNCIA ANGULAR (W) – é a taxa de variação temporal de algum ângulo. No SI a unidade é o rad/s. MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES – (MHS) Função periódica de 0 t de período 2.

15 FREQUENCIA – é o número de ciclos na unidade de tempo. Ela sempre positiva e no SI é o HERTZ. 1 Hertz. = 1 Hz = 1 Ciclo/s = 1s -1 f é chamada de freqüência natural de ressonância do sistema. Portanto podemos escrever a freqüência angular em função da freqüência MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES – (MHS)

16 A VELOCIDADE do movimento harmônico simples é: VELOCIDADE E ACELERAÇÃO MHS a grandeza A é chamada de AMPLITUDE DE VELOCIDADE (V m ). A velocidade da partícula oscila de A até – A. A ACELERAÇÃO do movimento harmônico simples é: a grandeza A é chamada de AMPLITUDE DA ACELERAÇÃO (a m ). A velocidade da partícula oscila de A até – A.

17 VELOCIDADE E ACELERAÇÃO MHS

18 Quando estendemos uma mola e soltamos o bloco, ele ganha velocidade à medida que se move para posição de equilíbrio, sua aceleração é positiva. Substituindo a aceleração na 2 lei de Newton. que é a lei de Hooke, para k = m 2. VELOCIDADE E ACELERAÇÃO MHS

19 Um sistema submetido a uma força F(x) = -kx tem energia cinética dada por ENERGIA NO MHS Que é a energia cinética do meu sistema.

20 A energia potencial é obtida calculando o trabalho necessário para movimentar a partícula a uma distância x. integrando substituindo x(t) ENERGIA NO MHS Que é a energia potencial do meu sistema.

21 A energia total do oscilador harmônico será ENERGIA NO MHS E independe do tempo, logo a energia total se conserva, portanto o oscilador harmônico simples é um sistema conservativo.

22 Energias num MHS ENERGIA NO MHS

23 Sistemas que possuem uma posição de equilíbrio executam um movimento harmônico simples, em torno desta posição (para deslocamentos pequenos). Sistemas que tem grandes acelerações, são osciladores não- harmônicos, ou seja, as forças de retorno não são mais proporcionais ao deslocamento. Neste caso o período (T) depende da amplitude (A). Exemplo OHS Veremos alguns exemplos de movimento harmônico simples: Pêndulo Simples Pêndulo Físico Pêndulo de torção

24 Consideremos um pêndulo simples, como sendo um corpo de massa m suspensa por um fio ou haste de comprimento l e massa desprezível. A força restauradora é a componente tangencial da força resultante: para pequenos deslocamentos logo PÊNDULO SIMPLES A força restauradora é proporcional a coordenada para pequenos deslocamentos e k = mg/L.

25 A freqüência angular ( ) de um pêndulo simples com amplitude pequena será A freqüência (f) e o período (T) correspondente são: PÊNDULO SIMPLES

26 O pêndulo físico é qualquer pêndulo real, que usa um corpo de volume finito. PÊNDULO FÍSICO O pêndulo físico é qualquer pêndulo real, que usa um corpo de volume finito. Para pequenas oscilações, o movimento é aproximadamente harmônico simples. A equação do movimento

27 A freqüência angular ( ) de um pêndulo físico com amplitude pequena será A freqüência (f) e o período (T) correspondente são: PÊNDULO FÍSICO

28 PÊNDULO TORÇÃO

29 Um tipo de MHS é o MOVIMENTO CIRCULAR. MHS ANGULAR O movimento circular é caracterizado pelo raio A da circunferência, e possui uma velocidade angular 0. Em t = 0, a fase inicial = 0. Com o movimento no sentido anti-horário, o ângulo será:

30 MHS ANGULAR O deslocamento no movimento circular é conhecendo o deslocamento, podemos encontrar


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