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1 MOVIMENTO OSCILATÓRIO Movimentos oscilatórios periódicos Movimento harmónico simples (MHS) Sistema massa-mola Representação matemática do MHS Representação.

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1 1 MOVIMENTO OSCILATÓRIO Movimentos oscilatórios periódicos Movimento harmónico simples (MHS) Sistema massa-mola Representação matemática do MHS Representação gráfica do MHS Definição de frequência e período Equações de movimento do MHS Energia no MHS Pendulo simples Oscilações amortecidas Oscilações forçadas

2 MOVIMENTO OSCILATÓRIO Estamos familiarizados com diversos tipos de movimentos oscilatórios periódicos 2

3 mais exemplos de movimento oscilatório 3

4 outros exemplos de movimento oscilatório 4 Eletrões vibram em torno do núcleo frequência alta: ~ Hz Vibrações atómicas e moleculares para estados excitados Os núcleos das moléculas vibram frequência intermediária: ~ Hz

5 5 Vibrações das moléculas de água

6 6 Symmetrical stretching Antisymmetrical stretching Scissoring RockingWaggingTwisting Ligações de átomos de carbono com hidrogénio são importantes na química da vida Vibrações CH 2

7 mais exemplos de movimento oscilatório 7 Os átomos num sólido não estão completamente imóveis. Eles vibram com uma amplitude pequena em torno da sua posição de equilíbrio

8 MOVIMENTO PERIÓDICO O movimento periódico é o movimento dum corpo que se repete regularmente O corpo volta a uma dada posição depois dum certo intervalo de tempo fixo É um tipo especial de movimento periódico e acontece quando a força que age sobre a partícula e é dirigida sempre para a posição de equilíbrio é proporcional ao deslocamento da partícula em relação a posição de equilíbrio O MOVIMENTO HARMÓNICO SIMPLES (MHS) Lei de Hooke 8

9 MOVIMENTO DO SISTEMA MASSA-MOLA Um bloco de massa m é ligado a uma mola O bloco se desloca numa superfície horizontal sem atrito Quando a mola não está esticada nem comprimida, o bloco está na posição de equilíbrio x = 0 Vimos anteriormente que pela Lei de Hooke que k é a constante elástica força restauradora x deslocamento A força restauradora está sempre dirigida para o ponto de equilíbrio é sempre oposta ao deslocamento O movimento do sistema massa-mola é um movimento harmónico simples 9

10 O bloco é deslocado para a direita de x = 0 –A posição é positiva A força restauradora é dirigida para a esquerda O bloco é deslocado para a esquerda de x = 0 –A posição é negativa A força restauradora é dirigida para a direita O bloco está na posição de equilíbrio x = 0 A mola não está nem esticada nem comprimida A força é 0 10

11 ACELERAÇÃO De acordo com a segunda lei de Newton A aceleração é proporcional ao deslocamento do bloco A aceleração não é constante Se o bloco é largado de uma posição x = A, então a aceleração inicial é O bloco continua até x = - A onde a sua aceleração é Quando o bloco passa pelo ponto de equilíbrio, O sentido da aceleração é oposto ao sentido do deslocamento (sinal menos) Num corpo que se mova com um movimento harmónico simples (MHS), a aceleração é proporcional ao seu deslocamento mas tem um sentido oposto ao deslocamento as equações cinemáticas não podem ser aplicadas 11

12 O bloco continua a oscilar entre –A e +A MOVIMENTO DO BLOCO Sistemas reais estão sujeitos a atrito, portanto não oscilam indefinidamente ! A força é conservativa Na ausência de atrito, o movimento continua para sempre 12

13 AS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS SIN E COS RESPEITAM ESTES REQUISITOS ! REPRESENTAÇÃO MATEMÁTICA DO MOVIMENTO HARMÓNICO SIMPLES Tratamos o bloco como sendo uma partícula Escolhemos que a oscilação ocorre ao longo do eixo x Aceleração Definimos Precisamos de uma função que satisfaça a equação diferencial de segunda ordem Procuramos uma função x(t) cuja segunda derivada é a mesma que a função original com um sinal negativo e multiplicada por Podemos construir uma solução com uma ou ambas as funções 13

14 14 Funções seno e cosseno

15 A fase do movimento é a quantidade Se a partícula está em x = A para t = 0, então REPRESENTAÇÃO GRÁFICA A seguinte função cos é uma solução da equação onde são constantes A é a amplitude do movimento esta é a posição máxima da partícula quer na direção positiva quer na negativa é a fase (constante) ou o ângulo de fase inicial é a frequência angular Unidade: rad/s x (t) é períodica e o seu valor é o mesmo cada vez que t aumenta de 2 radianos 15

16 A caneta ligada ao corpo oscilante desenha uma curva sinusoidal no papel que está em movimento EXPERIÊNCIA Verifica-se assim a curva cosseno, considerada anteriormente 16

17 O período, T, é o intervalo de tempo necessário para que a partícula faça um ciclo completo do seu movimento Os valores de x e v da partícula no instante t são iguais aos valores de x e v em t + T O inverso do período chama-se frequência A frequência representa o nº de oscilações executadas pela partícula por unidade de tempo A unidade é o ciclo por segundo = hertz (Hz) DEFINIÇÕES 17

18 EQUAÇÕES DO MOVIMENTO NO MHS 18

19 Energia cinética Energia Potencial ENERGIA NO MHS Energia do sistema massa-mola 19 assim

20 20 Energia Mecânica

21 Pêndulo simples O pêndulo simples também pode exibir um movimento harmónico simples (MHS) O MHS acontece quando o fio faz um ângulo pequeno com a vertical pequena oscilação 21

22 Pêndulo simples Forças que atuam sobre a esfera: Peso Tensão Força tangencial (força restauradora) O comprimento, L, do pêndulo é constante Para ângulos pequenos, Este resultado confirma que o movimento é o MHS 22

23 23 A função que satisfaz a equação diferencial: é onde é a frequencia angular o período

24 24 Exemplo 1: Considere um pêndulo de comprimento L com uma bola de massa M. A bola está presa a uma mola de constante k. Admita que o pêndulo e a mola estão simultaneamente em equilíbrio. Determine para pequenas oscilações. Resolução x Força resultante que atua sobre a bola: onde

25 OSCILAÇÕES AMORTECIDAS Nos sistemas realistas, estão presentes o ATRITO o movimento não oscila indefinidamente Neste caso, a energia mecânica do sistema diminui no tempo e o movimento é conhecido como movimento amortecido Um exemplo de movimento amortecido A força de atrito pode ser expressa como um corpo está ligado a uma mola e submerso num líquido viscoso A equação do movimento amortecido é b é o coeficiente de amortecimento v a velocidade do corpo de massa m (no fluido o atrito é proporcional à v ) 25

26 26 OSCILAÇÕES AMORTECIDAS A função x que satisfaz a equação diferencial: é onde Exemplo Animations courtesy of Dr. Dan Russell, Kettering University

27 OSCILAÇÕES FORÇADAS É possível compensar a perda de energia de um sistema amortecido aplicando uma força externa A equação do movimento amortecido para oscilações forçadas é 27 A amplitude do movimento permanecerá constante se o aumento de energia for igual à diminuição da energia por cada ciclo. Exemplo Animations courtesy of Dr. Dan Russell, Kettering University

28 Quando a frequência angular da força aplicada (frequência forçada)é igual à frequência angular natural ( ) ocorre um aumento na amplitude RESSONÂNCIA Chama-se RESSONÂNCIA a esse aumento espectacular na amplitude 28 onde é a frequência angular natural do oscilador A amplitude de uma oscilação forçada é onde é a frequência angular da força aplicada no oscilador

29 Foi estabelecida a condição de ressonância ( ) a ponte caiu 29 Exemplo 2:Tacoma bridge Em 1940 ventos constantes causaram vibrações na ponte de Tacoma desencadeando sua oscilação numa frequência próxima de uma das frequências naturais da estrutura da ponte.


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