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MEC114 - MÉTODOS COMPUTACIONAIS EM DINÂMICA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Métodos de integração direta1 Objetivos: Conhecer os métodos de integração.

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1 MEC114 - MÉTODOS COMPUTACIONAIS EM DINÂMICA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Métodos de integração direta1 Objetivos: Conhecer os métodos de integração direta para análise dinâmica com elementos finitos MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO DIRETA

2 MEC114 - MÉTODOS COMPUTACIONAIS EM DINÂMICA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Métodos de integração direta2 Supostos Satisfazer a eq. (1) em intervalos discretos de tempo t. A forma de variação de desloc., vel. e acel. em cada t determina a exatidão, estabilidade e custo da solução Solução requerida do tempo 0 ao T A amplitude do tempo T é dividida em n intervalos iguais t=T/n Equações de equilíbrio (estático no tempo t) da resposta dinâmica linear de um sistema de EF. Introdução A eq. (1) representa um sistema de equações diferenciais lineares de 2 da ordem M: matriz de massa C: matriz de amortecimento K: matriz de rigidez R: vetor de cargas externas vetores deslocamento, velocidade e aceleração da montagem de EF : forças de inércia : forças de amortecimento : forças elásticas Na análise estática os efeitos de inércia e amortecimento são desprezados, exceção feita na análise não linear. (1) Na integraçao direta a eq. (1) é integrada usando um procedimento numérico paso a paso, e previa à integração, nenhuma transformação da eq. é feita Método de solução por efetividade numérica integração direta sobreposição modal explícito: dif. central implícito: Houbolt, …

3 MEC114 - MÉTODOS COMPUTACIONAIS EM DINÂMICA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Métodos de integração direta3 Método de diferença central (método explícito) Resolve a eq.(1) diretamente em passos do tempo. Assume t U, t- t U,… conhecidos Calcula t+ t U No método explícito,usa-se a eq (1) em t para calcular t+ t U (condicionalmente estável) No método implícito,usa-se a eq (1) em t+ t para obter t+ t U (estável) (1*) (2*) t+ t U é obtido com a eq. (1) no tempo t (3*) (4*) Dadosusar a eq. (1) para O calculo de t+ t U precisa t U e t- t U. Cancelando t U de (1*) e (2*) para t=0: O método requer um t pequeno.

4 MEC114 - MÉTODOS COMPUTACIONAIS EM DINÂMICA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Métodos de integração direta4 Método de diferença central (método explícito) Na prática o método é usado quando: M= matriz massa concentrada (lumped), C=0 Se a matriz de rigidez da montagem de elementos não será triangularizada, também não é necessário montar a matriz. K t U pode ser avaliada ao nível elementar somando as contribuições de cada elemento ao vetor de carga efetiva. O vetor de carga efetivo é avaliado com: O método é condicionalmente estável, pois T n : menor período da montagem de elementos finitos com n GDL A análise de alguns problemas (propagação de onda) requer mesmo um passo de tempo pequeno, em outros (dinâmica estrutural) serve t t cr. Sabemos que o modelo MEF contêm n freqüências: Um elemento diagonal na matriz de massa não pode ser zero pois T n seria zero e a integração não possível, e ainda t cr0. A mesma condição acontece se um elemento da matriz de rigidez for grande. Para M diagonal

5 MEC114 - MÉTODOS COMPUTACIONAIS EM DINÂMICA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Métodos de integração direta5 Exemplo As eqs. de equilíbrio de um sistema são: Os períodos de vibração livre são T 1 =4,45 e T 2 =2,8. Usar o método de diferenças centrais com passos t=T 2 /10 e t=10T 2 para obter a resposta em 12 passos, e: Cálculo inicial da aceleração em t=0: Para t=0,28 Tempo t t t t. t tUtU 00,03070,1680,487.1,02 0,3921,452,834,14.2,60 Para t=28 Tempo t t.. tUtU 03,03 x ,83 x ,21 x A expressão não é satisfeita e a resposta se incrementa sem limite indicando instabilidade. Matlab >> autovalor=eig(K,M) [(rad/s) 2 ] >> wn=sqrt(autovalor) [rad/s] >> T=(2*pi)./wn [s] T =

6 MEC114 - MÉTODOS COMPUTACIONAIS EM DINÂMICA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Métodos de integração direta6 Método de Houbolt (método implícito) A efetividade dos esquemas de integração estáveis incondicionalmente envolvem que o t não precisa ser inferior a um t cr. Mas, o método de integração é implícito; ou seja, uma triangularização de K é necessária ou uma matriz de rigidez efetiva Para obter t+ t U, o método explícito usa: Para obter t+ t U, o método implícito usa: Segundo Houbolt, para obter t+ t U, as expansões de diferenças finitas usadas são, que substituídas em, gera, A solução precisa os valores de t U, t- t U, t-2 t U, os quais são calculados com o método de diferença central com uma fração de t como o passo do tempo.

7 MEC114 - MÉTODOS COMPUTACIONAIS EM DINÂMICA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Métodos de integração direta7 O termo K t+ t U aparece pelo equilíbrio no tempo t+ t, logo o método é implícito. Não existe um limite do passo do tempo crítico, e t pode ser maior que aquele do método da diferença central. Se C=0 e M=0, o método gera a solução estática para cargas função do tempo

8 MEC114 - MÉTODOS COMPUTACIONAIS EM DINÂMICA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Métodos de integração direta8 Exemplo As eqs. de equilíbrio de um sistema são: Os períodos de vibração livre são T 1 =4,45 e T 2 =2,8. Usar o método de Houbolt com passos t=T 2 /10 e t=10T 2 para obter a resposta em 12 passos, e: Cálculo inicial da aceleração em t=0: Para t=0,28 Tempo t t t t. t tUtU 00,03070,1670,461.1,72 0,3921,452,804,08.2,28 Usamos os valores iniciais calculados com o método de diferença central: Calcula-se: Para cada passo no tempo calcula-se: Para os 12 passos resolve-se:

9 MEC114 - MÉTODOS COMPUTACIONAIS EM DINÂMICA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Métodos de integração direta9 Método de Wilson (método implícito) Assume-se que a variação da aceleração seja linear do tempo t ao tempo t+ t, onde 1,0. Para estabilidade incondicional 1,37, sendo usado =1,40. Seja o incremento no tempo, 0 t. Para o intervalo de tempo t a t+ t, temos Integrando Usando estas duas equações no tempo t+ t, onde = t, obtemos: Para obter as soluções dos desl., veloc. e acel. no tempo t+ t, a eq. de equilíbrio (1) é considerada no tempo t+ t mais um vetor de carga extrapolado. Usando as eqs. (*) e (**) na eq. de equilíbrio obtem-se t+ t U, que é substituída em (*) para obter a qual é substituída nas três primeiras, todas avaliadas em = t, para calcular:

10 MEC114 - MÉTODOS COMPUTACIONAIS EM DINÂMICA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Métodos de integração direta10 Exemplo As eqs. de equilíbrio de um sistema são: Os períodos de vibração livre são T 1 =4,45 e T 2 =2,8. Usar o método de Wilson com passos t=T 2 /10 e t=10T 2 para obter a resposta em 12 passos, e: Cálculo inicial da aceleração em t=0: Para t=0,28 Tempo t t t t. t tUtU 0, ,05250,1960,490.1,54 0,3661,342,643,92.2,29 Calcula-se: Para os 12 passos encontra-se: Para cada passo de tempo avalia-se: e logo: Para t=0,28 próximo a K como em Houbolt Tempo t t t t. t tUtU 1,092,82-2,615,86.3, ,9 e para os 12 passos encontra-se:

11 MEC114 - MÉTODOS COMPUTACIONAIS EM DINÂMICA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Métodos de integração direta11 Método de Newmark (método implícito) Extensão do método de aceleração linear, com os seguintes supostos:, : parâmetros de exatidão e estabilidade Método de aceleração media constante, estável incondicionalmente, (regra trapezoidal), =1/2 e =1/4. Considera-se a eq. de equilíbrio em t+ t Resolvendo (*) e (**) para em termos das incógnitas t+ t U. Essas relações são substituídas em (***) para obter t+ t U, e voltando novamente em (*) e (**) calcula-se

12 MEC114 - MÉTODOS COMPUTACIONAIS EM DINÂMICA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Métodos de integração direta12 Exemplo As eqs. de equilíbrio de um sistema são: Os períodos de vibração livre são T 1 =4,45 e T 2 =2,8. Usar o método de Newmark com passos t=T 2 /10 e t=10T 2 para obter a resposta em 12 passos, e: Cálculo inicial da aceleração em t=0: Para t=0,28 Tempo t t t t. t tUtU 0, ,05050,1890,485.1,40 0,3641,352,684,00.2,31 Calcula-se: Para os 12 passos encontra-se: Para cada passo de tempo avalia-se: e logo: Para t=0,28 K como em Houbolt e Wilson Tempo t t t t. t tUtU 1,990,0281,940,112.0,894 5,990,0455,900,177.1,45 e para os 12 passos encontra-se: Use 0,25 e =0,5


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