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Introdução ao Método dos Elementos Finitos UNICAMP/DMC Prof. Renato Pavanello.

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Apresentação em tema: "Introdução ao Método dos Elementos Finitos UNICAMP/DMC Prof. Renato Pavanello."— Transcrição da apresentação:

1 Introdução ao Método dos Elementos Finitos UNICAMP/DMC Prof. Renato Pavanello

2 1- HISTÓRICO e INTRODUÇÃO Introdução : O Método dos Elementos Finitos é um procedimento numérico para Análise de Estruturas e Meios Contínuos O Método dos Elementos Finitos é uma técnica utilizada para obtenção de soluções aproximadas de Equações Diferenciais

3 - Domínio ( Eq. que governam o problema ) - Domínio ( Eq. que governam o problema ) Geometria Irregular Modelo para as Condições de Contorno Modelo para as Cargas Aplicadas APLICAÇÕES: Problemas que não admitem soluções analíticas (fechadas)

4 Na Indústria o MEF tem sido usado para otimização de projetos nas seguintes áreas : - Aeroespacial - Aeronáutica - Nuclear - Automobilística - Engenharia Civil - Construção Naval / Offshore - Previsão Metereológica - Controle de Poluição - Bio Engenharia

5 Métodos de Resolução (utilização intensiva do computador) Ciências Mecânicas Descrever o com- portamento de sistemas físicos Eq. a derivadas parciais Soluções / Simulações Eng. Preditiva Método dos Elementos Finitos Sistema de Equações Algébricas No âmbito da Engenharia Mecânica o MEF pode ser situado da seguinte forma:

6 Campo de Aplicação : * Análise de Tensões * Transferência de Calor * Escoamento de Fluidos * Lubrificação * Campos Elétricos e Magnéticos * Interação Fluido / Solo Estruturas * Contato e Choque * Problemas de Fratura e Fadiga

7 Mecânica MEF Análise Numérica Análise Numérica Informática Aplicada Informática Aplicada - Resistência dos Materiais - Elasticidade - Dinâmica - Plasticidade - Mecânica dos Fluidos... - Métodos de Aproximação - Resolução de Sistemas Lineares - Problemas de Auto Valor - Auto Vetor Desenvolvimento e Manutenção de Grandes Programas Objetivo : Simular o Desempenho de um Produto e do seu Meio Ambiente de Trabalho

8 1.2 Breve Histórico Década 50 - Métodos Matriciais para Análise de Estruturas Reticuladas (Barras e Vigas) - RDM - Matriz de Rigidez do Elemento - Equilíbrio / Compatibilidade Matriz Global Anos ( Computadores ) - MEF - Problemas Bidimensionais ( Aeronáutica ) Uso dos Teoremas de Energia. - Princípio dos Trabalhos Virtuais - Princípio de Hamilton A Partir dos anos 60 ( Rápida Evolução ) - Formulação Variacional - Formulação por Resíduos Ponderados - Evolução da Biblioteca de Elementos * Elementos de Alta Precisão ( Hermite) * Elementos de Lados Curvos ( Isoparamétricos) - Aplicação em Problemas Não Lineares - Aplicação em Problemas Não Estacionários - Estruturas / Rochas / Solos / Fluidos / Térmica

9 Atualmente : * Utilização generalizada na Indústria e na Pesquisa * Programas Comerciais Disponíveis Solver -NASTRAN, ANSYS, ASKA, SAP, COSMOS, ALGOR, ADINA,... Pré-Pós - EUCLID, PATRAN, ANSYS, XLPLUS, SAPLOT, GEOSTAR,... * Desenvolvimento atual : - Mecânica de Estruturas : - Contato / Choque / Atrito - Otimização Estrutural - Interação Fluido / Solo / Estrutura Mecânica dos Fluidos : - Escoamento Turbulento - Escoamento Bifásico - Problemas de Poluição

10 AB y x LtLt BA y x LtLt Modelo Contínuo Enfoque Clássico Modelo Discreto Solução Via MEF Enfoque Clássico : * Escrever equação diferencial da viga contínua de seção variável * Resolver a equação para u (x) - Deslocamento Axial * Calcular u ( Lt ) - Deslocamento do ponto B 2 - O Método dos Elementos Finitos e Análise Estrutural Noções Básicas do MEF O Método dos Elementos Finitos é um procedimento numérico para Análise de Estruturas e Meios Contínuos * O Método é baseado no conceito de DISCRETIZAÇÃO * Exemplo de uma Barra de Seção Variável * Objetivo : Obter o deslocamento do ponto B

11 y x LtLt Solução Via M.E.F. * Discretizar o sistema em N sub-domínios (Elementos Finitos, N = 4) de seção constante * Supor que u varia linearmente em cada elemento * Logo, a função u(x) é contínua por sub-regiões * O deslocamento de cada elemento é calculado pela fórmula simples : onde: P = Força axial, L = Comprimento do elemento A = Área da seção, E = Módulo de Elasticidade * O deslocamento total é a soma dos deslocamentos locais. (Referência Local) L e x

12 Comentários Gerais: * Quanto maior o número de elementos melhor será a precisão. * A idéia global consiste em substituir uma solução complexa para todo o domínio na superposição de soluções simples em subdomínios. * Exemplo de uma Estrutura Plana * Objetivo : Calcular deslocamentos e tensões causadas por uma pressão (P) aplicada (v)y P x(u) y x Nó Modelo ContínuoModelo Discretizado no Espaço * Cada nó, neste modelo tem 2 GDL : v - deslocamento na direção y u - deslocamento na direção x Nó * Se o modelo tem n nós => 2n GDL ( 2n primeiros termos da série infinita). * Modelo Contínuo possue graus de liberdade

13 * Forças são aplicadas nos nós - Força Modal Equivalente (Distribuição não é constante !) * Não pode-se permitir FUROS ou INTERFERÊNCIAS => Compatibilidade entre os elementos deve ser garantida O comportamento de cada elemento é fundamental Poucos elementos de alta precisão podem fornecer melhores resultados que um grande número de elementos pouco precisos * A precisão dos elementos está ligada ao tipo de aproximação polinomial escolhida : Suporte Geométrico - Quadrilateral Aproximação Linear Suporte Geométrico - Triangular Aproximação Linear Quadrático

14 * O objetivo do Método é determinar => valor da função incógnita nos nós, ou valor modal de. Os valores de a i são determinados a partir de. * Quanto mais fina a malha => se aproxima da solução exata. => caso o elemento seja corretamente formulado. * De uma forma global, para cada problema existe um tipo de elemento mais apropriado. * O conhecimento do problema e a visão do engenheiro são os pré requisitos básicos para definição da análise e interpretação dos resultados. O MEF e os Pacotes são apenas ferramentas de análise

15 Principais Passos de uma Análise de E.F. * Análise Linear Estática Modelo Discreto Geração de Malhas Pré-Processamento Modelo Discreto Geração de Malhas Pré-Processamento Características dos Elementos Características dos Elementos Biblioteca de Elementos Biblioteca de Elementos Montagem do Sistema Global Montagem do Sistema Global Ccndições de Contorno Ccndições de Contorno Resolução do Sistema Linear Resolução do Sistema Linear Sub-Programas de Cálculo Matricial Sub-Programas de Cálculo Matricial T T Cálculo das Tensões nos Elementos Pós-Processamento Cálculo das Tensões nos Elementos Pós-Processamento q q ==> Matriz de Rigidez do Elemento ==> Vetor de Carga do Elemento ==> Matriz de Rigidez da Estrutura ==> Vetor dos Deslocamentos Modais ==> Tensões nos Elementos / Prep-7 / Solu / Post 1


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