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EST 41 / AE 213 - ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer., Ph. D. Capítulo 5.

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1 EST 41 / AE ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer., Ph. D. Capítulo 5

2 EST 41 / AE ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer., Ph. D. Placas Retangulares

3 EST 41 / AE ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer., Ph. D. Placas – Características Colunas: Flexão pode ser considerada num único plano M, w, etc – Funções de uma única variável (x) Equações diferenciais ordinárias Carga de flambagem é a carga de falha Placas: Flexão em dois planos M, w, etc – Funções de duas variáveis (x, y) Equações diferenciais parciais Carga de Flambagem não é a carga de falha É necessário analisar o comportamento de placas após a flambagem para a determinação da carga de falha

4 EST 41 / AE ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer., Ph. D. Teorias de Placas Placas Espessas: se a espessura é considerável, deformações de cisalhamento são da mesma ordem de grandeza das deformações de flexão devendo, portanto, ser consideradas na análise. Placas Finas : quando a espessura é pequena se comparada às outras dimensões, as deformações de cisalhamento podem ser desprezadas na análise. Membranas: quando a placa é muito fina, a rigidez em flexão tende a zero e cargas transversais têm de ser resistida quase que exclusivamente pela ação de membrana.

5 EST 41 / AE ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer., Ph. D. Placas Finas - Teoria de Pequenas Deflexões

6 EST 41 / AE ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer., Ph. D. Teoria de Placas Finas - Hipóteses 1. As deformações de cisalhamento xz e yz são desprezíveis, a linhas normais à superfície média antes da flexão permanecem retas e normais à superfície média durante a flexão. 2. A tensão normal e a deformação correspondente z são desprezíveis e, portanto, a deflexão transversal de qualquer ponto (x, y, z) é igual à deflexão transversal do ponto correspondente (x, y, 0) na superfície média. 3. As deflexões transversais da placa são pequenas quando comparadas à espessura. Em consequência, a extensibilidade da superfície média pode ser desprezada; isto é, a ação de membrana resultante da flexão é desprezível quando comparada com a ação da flexão propriamente dita. 4. O material da placa é homogêneo, isotrópico e segue a lei de Hooke.

7 EST 41 / AE ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer., Ph. D. Forças no Plano de um Elemento de Placa

8 EST 41 / AE ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer., Ph. D. Momentos e Forças Transversais

9 EST 41 / AE ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer., Ph. D. Equilíbrio de um Elemento de Placa Uma equação e 4 incógnitas M x, M y, M xy e w

10 EST 41 / AE ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer., Ph. D. Relações entre Momentos e Deslocamentos

11 EST 41 / AE ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer., Ph. D. Equação de Equilíbrio para o Estudo da Estabilidade Estabilidade

12 EST 41 / AE ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer., Ph. D. Condições de Contorno (borda x = constante) a) engaste – deslocamento e rotação nulas: b) apoio simples – deslocamento e momento fletor M x nulos, c) livre – momento fletor e cisalhamento efetivo nulos:

13 EST 41 / AE ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer., Ph. D. Compressão Axial Uniforme – Carga Crítica em x = 0, aem y = 0, b Tendo em vista a condição de que a deflexão ao longo de cada uma das bordas é nula, é evidente que em x = 0, a e em y = 0, b

14 EST 41 / AE ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer., Ph. D. Compressão Axial Uniforme – Carga Crítica em x = 0, aem y = 0, b, m = 1, 2, 3,... n = 1, 2, 3,...

15 EST 41 / AE ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer., Ph. D. Compressão Uniforme – Coeficiente de Flambagem, onde

16 EST 41 / AE ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer., Ph. D. Flambagem de Placas - Fórmula Geral a) Regime Elástico k (ou K) disponível em gráficos ou tabelas em função de: a) tipo de carregamento b) condições de contorno c) alongamento a/b

17 EST 41 / AE ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer., Ph. D. Flambagem de Placas - Fórmula Geral b) Regime Inelástico

18 EST 41 / AE ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer., Ph. D. Flambagem de Placas - Fórmula Geral

19 EST 41 / AE ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer., Ph. D. Flambagem de Placas - Fórmula Geral

20 EST 41 / AE ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer., Ph. D. Flambagem de Placas - Fórmula Geral

21 EST 41 / AE ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer., Ph. D. Compressão Uniforme Bordas Carregadas Simplesmente Apoiadas em x = 0, a

22 EST 41 / AE ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer., Ph. D. Compressão Uniforme Bordas Carregadas Simplesmente Apoiadas

23 EST 41 / AE ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer., Ph. D. Compressão Uniforme Bordas Carregadas Simplesmente Apoiadas

24 EST 41 / AE ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer., Ph. D. Compressão Uniforme Placa-Coluna Flange

25 EST 41 / AE ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer., Ph. D. Placa Coluna – Tensão Crítica

26 EST 41 / AE ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer., Ph. D. Placa Coluna – Tensão Crítica

27 EST 41 / AE ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer., Ph. D. Flange – Coeficiente de Flambagem

28 EST 41 / AE ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer., Ph. D. Compressão Axial – Várias Condições de Contorno

29 EST 41 / AE ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer., Ph. D. Compressão Axial – Restrição Elástica

30 EST 41 / AE ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer., Ph. D. Compressão Axial – Restrição Elástica

31 EST 41 / AE ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer., Ph. D. Compressão Axial – Restrição Elástica

32 EST 41 / AE ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer., Ph. D. Compressão Axial – Restrição Elástica

33 EST 41 / AE ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer., Ph. D. Exemplo O revestimento de in de espessura, manufaturado de liga de magnésio HK31A-H24 (E = 6500 ksi, 0.7 = 17.3 ksi, n = 6.2, e = 0.3) de uma fuselagem é dividido, por reforçadores de seção transversal em Z, em painéis longos de 4 in de largura. Determine a tensão de flambagem em compressão destes painéis. Solução: Tendo sido dado que o painel está apoiado em reforçadores com seção transversal em Z, pode-se utilizar a Fig para a obtenção de um valor mais preciso do coeficiente de flambagem em comparação com o valor conservativo, k = 4, correspondente à placa simplesmente apoiada nos bordos descarregados. Para b/t = 4.0 / 0.08 = 50 a curva inferior da Fig fornece k = 5.2.

34 EST 41 / AE ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer., Ph. D. Coeficiente de Flambagem - Carga Axial Variável

35 EST 41 / AE ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer., Ph. D. Energia de Deformação de Placa em Flexão

36 EST 41 / AE ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer., Ph. D. Potencial das Cargas Aplicadas no Plano da Placa y, v x, u NyNy NyNy NxNx NxNx dx dy dx dy N xy

37 EST 41 / AE ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer., Ph. D. Método de Rayleigh-Ritz – Placa em Flexão y b a x N x = N xo (y/b)

38 EST 41 / AE ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer., Ph. D. Método de Rayleigh-Ritz – Placa em Flexão (k x0 ) cr = 7.8

39 EST 41 / AE ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer., Ph. D. Placa em Flexão = b/c.

40 EST 41 / AE ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer., Ph. D. Coeficientes de Flambagem - Flexão

41 EST 41 / AE ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer., Ph. D. Coeficientes de Flambagem - Flexão

42 EST 41 / AE ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer., Ph. D. Exemplo Uma placa 6 x 3 x 0.06 in, simplesmente apoiada nos quatro bordos, manufaturada de liga de alumínio 7075-T6 a temperatura ambiente (E = ksi) está sujeita a tensões de compressão longitudinal, f c, e de flexão no plano da placa, f b, na razão f c / f b = 0.5. (a) Qual a tensão de compressão na flambagem? (b) se f c = 13ksi, f b = 26 ksi, qual é a margem de segurança? A questão será resolvida através do uso da Fig Esta figura fornece curvas para o coeficiente de flambagem em flexão, k b, em função de a/b e, onde = b/c, c = (1 + f c / f b ), onde é a distância do bordo descarregado da placa ao eixo elástico. Neste caso, = b/2. Desta forma, c = ( )b / 2, de modo que = 2 / 1.5 = Para este valor de e a/b = 6/3 =2, a Fig fornece k b = 11.

43 EST 41 / AE ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer., Ph. D. Coeficientes de Flambagem - Flexão

44 EST 41 / AE ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer., Ph. D. Coeficientes de Flambagem - Flexão

45 EST 41 / AE ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer., Ph. D. Método de Galerkin – Placas sob Cisalhamento a b x y N xy

46 EST 41 / AE ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer., Ph. D. Método de Galerkin – Placas sob Cisalhamento Modo simétrico: A 11 e A 22 para a = b Modo simétrico: A 11, A 13 e A 22

47 EST 41 / AE ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer., Ph. D. Método de Galerkin – Placas sob Cisalhamento A solução essencialmente exata para este caso é dada pela Ref Para a placa quadrada o modo que prevalece é o simétrico e (k s ) cr = 9.35, onde os 10 primeiros termos da função de deflexão assumida foram utilizados para convergência satisfatória. Nesta referência é mostrado também que o coeficiente crítico para flambagem anti-simétrica é e (k s ) cr = (anti-simétrico). A referência indica também que para a>b: 1 a/b 2 modo simétrico governa 2 a/b 3.5 modo anti-simétrico governa 3.5 a/b... modo simétrico governa e assim por diante. Quando a/b aumenta é cada vez mais difícil distinguir a diferença em magnitude entre os coeficientes obtidos para flambagem simétrica e anti-simétrica. De fato, quanto a placa é infinitamente longa o coeficiente de flambagem independe de considerações de simetria.

48 EST 41 / AE ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer., Ph. D. Coeficiente de Flambagem - Cisalhamento


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