Capítulo 5.

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1 Capítulo 5

2 Placas Retangulares

3 Placas – Características
Colunas: Flexão pode ser considerada num único plano M, w, etc – Funções de uma única variável (x) Equações diferenciais ordinárias Carga de flambagem é a carga de falha Placas: Flexão em dois planos M, w, etc – Funções de duas variáveis (x, y) Equações diferenciais parciais Carga de Flambagem não é a carga de falha É necessário analisar o comportamento de placas após a flambagem para a determinação da carga de falha

4 Teorias de Placas Placas Espessas: se a espessura é considerável, deformações de cisalhamento são da mesma ordem de grandeza das deformações de flexão devendo, portanto, ser consideradas na análise. Placas Finas: quando a espessura é pequena se comparada às outras dimensões, as deformações de cisalhamento podem ser desprezadas na análise. Membranas: quando a placa é muito fina, a rigidez em flexão tende a zero e cargas transversais têm de ser resistida quase que exclusivamente pela ação de membrana.

5 Placas Finas - Teoria de Pequenas Deflexões

6 Teoria de Placas Finas - Hipóteses
1. As deformações de cisalhamento gxz e gyz são desprezíveis, a linhas normais à superfície média antes da flexão permanecem retas e normais à superfície média durante a flexão. 2. A tensão normal sz e a deformação correspondente ez são desprezíveis e, portanto, a deflexão transversal de qualquer ponto (x, y, z) é igual à deflexão transversal do ponto correspondente (x, y, 0) na superfície média. 3. As deflexões transversais da placa são pequenas quando comparadas à espessura. Em consequência, a extensibilidade da superfície média pode ser desprezada; isto é, a ação de membrana resultante da flexão é desprezível quando comparada com a ação da flexão propriamente dita. 4. O material da placa é homogêneo, isotrópico e segue a lei de Hooke.

7 Forças no Plano de um Elemento de Placa

8 Momentos e Forças Transversais

9 Equilíbrio de um Elemento de Placa
Uma equação e 4 incógnitas Mx, My, Mxy e w

10 Relações entre Momentos e Deslocamentos

11 Equação de Equilíbrio para o Estudo da Estabilidade

12 Condições de Contorno (borda x = constante)
a) engaste – deslocamento e rotação nulas: b) apoio simples – deslocamento e momento fletor Mx nulos, c) livre – momento fletor e cisalhamento efetivo nulos:

13 Compressão Axial Uniforme – Carga Crítica
em x = 0, a em y = 0, b Tendo em vista a condição de que a deflexão ao longo de cada uma das bordas é nula, é evidente que em x = 0 , a e em y = 0 , b

14 Compressão Axial Uniforme – Carga Crítica
em x = 0 , a em y = 0 , b , m = 1, 2, 3, n = 1, 2, 3, ...

15 Compressão Uniforme – Coeficiente de Flambagem
, onde

16 Flambagem de Placas - Fórmula Geral
a) Regime Elástico k (ou K) disponível em gráficos ou tabelas em função de: a) tipo de carregamento b) condições de contorno c) alongamento a/b

17 Flambagem de Placas - Fórmula Geral
b) Regime Inelástico

18 Flambagem de Placas - Fórmula Geral

19 Flambagem de Placas - Fórmula Geral

20 Flambagem de Placas - Fórmula Geral

21 Compressão Uniforme Bordas Carregadas Simplesmente Apoiadas
em x = 0 , a

22 Bordas Carregadas Simplesmente Apoiadas
Compressão Uniforme Bordas Carregadas Simplesmente Apoiadas

23 Bordas Carregadas Simplesmente Apoiadas
Compressão Uniforme Bordas Carregadas Simplesmente Apoiadas

24 Compressão Uniforme Placa-Coluna Flange

25 Placa Coluna – Tensão Crítica

26 Placa Coluna – Tensão Crítica

27 Flange – Coeficiente de Flambagem

28 Compressão Axial – Várias Condições de Contorno

29 Compressão Axial – Restrição Elástica

30 Compressão Axial – Restrição Elástica

31 Compressão Axial – Restrição Elástica

32 Compressão Axial – Restrição Elástica

33 Exemplo O revestimento de in de espessura, manufaturado de liga de magnésio HK31A-H24 (E = 6500 ksi, s0.7 = 17.3 ksi, n = 6.2, ne = 0.3) de uma fuselagem é dividido, por reforçadores de seção transversal em Z, em painéis longos de 4 in de largura. Determine a tensão de flambagem em compressão destes painéis. Solução: Tendo sido dado que o painel está apoiado em reforçadores com seção transversal em Z, pode-se utilizar a Fig para a obtenção de um valor mais preciso do coeficiente de flambagem em comparação com o valor conservativo, k = 4, correspondente à placa simplesmente apoiada nos bordos descarregados. Para b/t = 4.0 / 0.08 = 50 a curva inferior da Fig fornece k = 5.2 .

34 Coeficiente de Flambagem - Carga Axial Variável

35 Energia de Deformação de Placa em Flexão

36 Potencial das Cargas Aplicadas no Plano da Placa
y, v x, u Ny Nx dx dy Nxy

37 Método de Rayleigh-Ritz – Placa em Flexão
b a x Nx= Nxo(y/b)

38 Método de Rayleigh-Ritz – Placa em Flexão
(kx0)cr = 7.8

39 Placa em Flexão b = b/c.

40 Coeficientes de Flambagem - Flexão

41 Coeficientes de Flambagem - Flexão

42 Exemplo Uma placa 6 x 3 x 0.06 in , simplesmente apoiada nos quatro bordos, manufaturada de liga de alumínio 7075-T6 a temperatura ambiente (E = ksi) está sujeita a tensões de compressão longitudinal, fc, e de flexão no plano da placa, fb, na razão fc / fb = (a) Qual a tensão de compressão na flambagem? (b) se fc = 13ksi, fb = 26 ksi, qual é a margem de segurança? A questão será resolvida através do uso da Fig Esta figura fornece curvas para o coeficiente de flambagem em flexão, kb, em função de a/b e b, onde b = b/c, c = (1 + fc / fb) , onde é a distância do bordo descarregado da placa ao eixo elástico. Neste caso, = b/2. Desta forma, c = ( )b / 2 , de modo que b = 2 / 1.5 = Para este valor de b e a/b = 6/3 =2, a Fig fornece kb = 11.

43 Coeficientes de Flambagem - Flexão

44 Coeficientes de Flambagem - Flexão

45 Método de Galerkin – Placas sob Cisalhamento
x y Nxy

46 Método de Galerkin – Placas sob Cisalhamento
Modo simétrico: A11 e A22 para a = b Modo simétrico: A11 , A13 e A22

47 Método de Galerkin – Placas sob Cisalhamento
A solução essencialmente exata para este caso é dada pela Ref Para a placa quadrada o modo que prevalece é o simétrico e (ks)cr = 9.35, onde os 10 primeiros termos da função de deflexão assumida foram utilizados para convergência satisfatória. Nesta referência é mostrado também que o coeficiente crítico para flambagem anti-simétrica é e (ks)cr = (anti-simétrico). A referência indica também que para a>b: 1  a/b   modo simétrico governa 2  a/b   modo anti-simétrico governa 3.5  a/b   modo simétrico governa e assim por diante. Quando a/b aumenta é cada vez mais difícil distinguir a diferença em magnitude entre os coeficientes obtidos para flambagem simétrica e anti-simétrica. De fato, quanto a placa é infinitamente longa o coeficiente de flambagem independe de considerações de simetria.

48 Coeficiente de Flambagem - Cisalhamento