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Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Aula 09.

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1 Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Aula 09

2 Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples III.1. Introdução III.2. Torção de Barras III.2.1. Seção Circular III.2.2. Seções Não Circulares III.3. Flexão Simples de Barras

3 Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cálculo das Tensões III.3. Flexão Simples de Barras Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples rz tz z z x y zx z x y yz z As seções planas NÃO permanecem planas após a deformação

4 Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples As seções planas NÃO permanecem planas após a deformação plano da superfície do contorno plano da seção transversal plano da seção longitudinal tensões na seção transversal zt z z x y rz zr z r t tr zt tz rt rz z Na superfície do contorno, não há solicitações tangenciais na direção longitudinal (z) nem na direção tangencial (t) - cortante atua no plano r-t. Portanto, nessa superfície, não há também tensões tangenciais nas direções z e t. Cálculo das Tensões III.3. Flexão Simples de Barras

5 Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples As seções planas NÃO permanecem planas após a deformação tz z z x y zt plano da seção longitudinal r Na seção transversal, as tensões de cisalhamento são tangenciais ao contorno. Cálculo das Tensões III.3. Flexão Simples de Barras

6 Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples Determinação de z Desprezando essas deformações e considerando como na Flexão Pura As deformações provocadas pelo esforço cortante são muito inferiores às provocadas pelo momento fletor. Cálculo das Tensões III.3. Flexão Simples de Barras

7 Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples Determinação de tz Seções Simétricas em relação ao plano de carregamento : y x VyVy MxMx y x y zx yz A tensão de cisalhamento tz, na seção transversal, decompõe-se e zx e yz. Devido à simetria, e dz VyVy V y +dV y MxMx M x +dM x qyqy As tensões zx são de baixo valor e autoequilibradas; as tensões yz resultam em V y Cálculo das Tensões III.3. Flexão Simples de Barras

8 Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples Determinação de tz dz VyVy V y +dV y MxMx M x +dM x qyqy z y z z +d z zy dz zy byby Seções Simétricas em relação ao plano de carregamento : Cálculo das Tensões III.3. Flexão Simples de Barras Componente yz

9 Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples y x y y*y* A*A* byby Seções Simétricas em relação ao plano de carregamento : Determinação de tz Cálculo das Tensões III.3. Flexão Simples de Barras Componente yz

10 Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples Igualando (1) e (2): Fórmula de Zhuravski Seções Simétricas em relação ao plano de carregamento : y x y y*y* A*A* byby Determinação de tz Cálculo das Tensões III.3. Flexão Simples de Barras Componente yz

11 Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples Perfis Abertos e Fechados Fórmula de Zhuravski: Determinação de tz Seções Simétricas em relação ao plano de carregamento : b y =2t y x y y*y* A*A* tt z z na direção da LM Nestes casos, como a tensão é sempre tangencial ao contorno, a fórmula de Zhuravski fornece a tensão resultante z. Cálculo das Tensões III.3. Flexão Simples de Barras

12 Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples Determinação de tz Seções Não Simétricas em relação ao plano de carregamento: Nestes casos, as tensões de cisalhamento resultam num binário em torno de z. x y VyVy VxVx MxMx MyMy T A solicitação torna-se uma flexo-torção. Para que não haja momento torsor, é necessário que o plano de carregamento (plano de ação do esforço cortante resultante) seja tal que provoque um momento que venha a equilibrar aquele provocado pelas tensões devidas ao cortante. Cálculo das Tensões III.3. Flexão Simples de Barras

13 Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples Determinação de tz Seções Não Simétricas em relação ao plano de carregamento: O novo ponto de aplicação das componentes do esforço cortante chama-se Centro de Cisalhamento da seção. Reduzindo, assim, os esforços ao CG da seção, o momento torsor se anula. x y VyVy VxVx MxMx MyMy xcxc ycyc CC x c e y c são as coordenadas do CC. Dentre as seções usuais as mais recorrentes são as dos Perfis Abertos. Cálculo das Tensões III.3. Flexão Simples de Barras

14 Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples Determinação de tz Seções Não Simétricas em relação ao plano de carregamento: Perfis Abertos: Para o caso geral V x K 0 e V y K 0, é o fluxo cisalhante. CG rdF ds t x y VxVx VyVy Cálculo das Tensões III.3. Flexão Simples de Barras

15 Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples CG rdF ds t x y VxVx VyVy onde S é o comprimento da LM da seção. Determinação do CC em Perfis Abertos Cálculo das Tensões III.3. Flexão Simples de Barras

16 Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples Se T = 0, não haverá torção na seção. O momento torsor somente será nulo se V x e V y passarem por um ponto tal que a variável r torne as integrais acima nulas. Este ponto é o CC. CG rdF ds t x y VxVx VyVy Determinação do CC em Perfis Abertos Cálculo das Tensões III.3. Flexão Simples de Barras

17 Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples Se T = 0, não haverá torção na seção. r CG dF ds t x y VxVx VyVy O momento torsor somente será nulo se V x e V y passarem por um ponto tal que a variável r torne as integrais acima nulas. Este ponto é o CC. xcxc ycyc CC Determinação do CC em Perfis Abertos Cálculo das Tensões III.3. Flexão Simples de Barras

18 Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples Estas integrais serão resolvidas por partes, com base em uma mudança de variáveis. r CG dF ds t x y VxVx VyVy xcxc ycyc CC Determinação do CC em Perfis Abertos Cálculo das Tensões III.3. Flexão Simples de Barras

19 Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples P r ds x y O A s O A Seja P um ponto qualquer contido no plano da seção transversal do perfil e O e A pontos quaisquer da linha média da seção. Se O é a origem a partir da qual se mede a variável s sobre a linha média e r a distância do ponto P ao ponto A, define-se área setorial do ponto A como Determinação do CC em Perfis Abertos Cálculo das Tensões III.3. Flexão Simples de Barras

20 Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples Área Setorial de um ponto da Linha Média: P r ds x y O A O conceito de área setorial de um ponto depende, portanto, dos pontos arbitrários O e P. O é a origem e P o pólo. é a variação da área setorial e equivale ao dobro da área do triângulo infinitesimal de base ds e altura r. s O ds A Determinação do CC em Perfis Abertos Cálculo das Tensões III.3. Flexão Simples de Barras

21 Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples Área Setorial de um ponto da Linha Média: P r ds x y O A Assim, a área setorial do ponto A da linha média é o dobro da área varrida pelo raio-vetor PO, a partir da origem O até o ponto A. O A P = 2* Área POA s O ds A Determinação do CC em Perfis Abertos Cálculo das Tensões III.3. Flexão Simples de Barras

22 Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples Área Setorial de um ponto da Linha Média: P r ds x y O A Convenção de Sinais: O A P A O P d < 0d > 0 s O ds A Determinação do CC em Perfis Abertos Cálculo das Tensões III.3. Flexão Simples de Barras

23 Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples Área Setorial de um ponto da Linha Média: P r ds x y O A O gráfico x s é chamado Diagrama de Áreas Setoriais O P x y s (-) (+) Observar que, na origem, = 0. s O ds A Determinação do CC em Perfis Abertos Cálculo das Tensões III.3. Flexão Simples de Barras

24 Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples Área Setorial de um ponto da Linha Média: P r ds x y O A x x y dx dy ds y P A A' B s O ds A Determinação do CC em Perfis Abertos Cálculo das Tensões III.3. Flexão Simples de Barras

25 Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples Área Setorial de um ponto da Linha Média: P r ds x y O A x x y dx dy ds y P A A' B s O ds A Determinação do CC em Perfis Abertos Cálculo das Tensões III.3. Flexão Simples de Barras

26 Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples Variação da Área Setorial com a Origem: P r ds x y O A O1O1 s1s1 A O2O2 s2s2 e onde s 0 é a distância O 1 O 2. Logo, s0s0 onde = constante Determinação do CC em Perfis Abertos Cálculo das Tensões III.3. Flexão Simples de Barras

27 Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples Variação da Área Setorial com a Origem: P r ds x y O A Alterando-se a origem, a variação da área setorial é a mesma em todos os pontos da linha média. A diferença entre as áreas setoriais de um mesmo ponto é constante para todos os pontos. O1O1 s1s1 ds A O2O2 s2s2 s0s0 Determinação do CC em Perfis Abertos Cálculo das Tensões III.3. Flexão Simples de Barras

28 Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples Variação da Área Setorial com o Pólo: P1P1 r ds x y O A P2P2 a b P1P1 P2P2 AO x1x1 y1y1 x2x2 y2y2 y1y1 y2y2 x2x2 x1x1 a b x 1O y 1O Determinação do CC em Perfis Abertos Cálculo das Tensões III.3. Flexão Simples de Barras

29 Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples Variação da Área Setorial com o Pólo: P1P1 r ds x y O A P2P2 a b ou Determinação do CC em Perfis Abertos Cálculo das Tensões III.3. Flexão Simples de Barras P1P1 P2P2 AO x1x1 y1y1 x2x2 y2y2 y1y1 y2y2 x2x2 x1x1 a b x 1O y 1O

30 Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples Variação da Área Setorial com o Pólo: P1P1 r ds x y O A P2P2 a b Alterando-se o pólo, a área setorial de um ponto varia com sua posição relativa à origem. Determinação do CC em Perfis Abertos Cálculo das Tensões III.3. Flexão Simples de Barras P1P1 P2P2 AO x1x1 y1y1 x2x2 y2y2 y1y1 y2y2 x2x2 x1x1 a b x 1O y 1O

31 Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples Propriedades Geométricas Setoriais: r x y ds t Momento Estático Setorial: P r ds x y O A Determinação do CC em Perfis Abertos Cálculo das Tensões III.3. Flexão Simples de Barras

32 Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples Propriedades Geométricas Setoriais: r x y ds t Momentos Setoriais Lineares: P r ds x y O A Determinação do CC em Perfis Abertos Cálculo das Tensões III.3. Flexão Simples de Barras

33 Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples Propriedades Geométricas Setoriais: r x y ds t Momento de Inércia Setorial: P r ds x y O A Determinação do CC em Perfis Abertos Cálculo das Tensões III.3. Flexão Simples de Barras

34 Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples Propriedades Geométricas Setoriais: Alterando-se a origem, a variação da área setorial é a mesma em todos os pontos da LM. Logo, para cada pólo arbitrado, haverá uma origem tal que S = 0. P r ds x y O A Determinação do CC em Perfis Abertos Cálculo das Tensões III.3. Flexão Simples de Barras A área setorial calculada com base nesta origem é dita Área Setorial Principal. Se o pólo é o CG da seção, a área setorial é dita Área Setorial Central Principal.

35 Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples CG rdF ds t x y VxVx VyVy xcxc ycyc CC Como visto, o momento torsor resultante da ação dos esforços cortantes é determinado por Este momento será nulo se Determinação do CC em Perfis Abertos Cálculo das Tensões III.3. Flexão Simples de Barras

36 Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples Estas integrais serão resolvidas por partes, a partir da seguinte mudança de variável: e CG rdF ds t x y VxVx VyVy xcxc ycyc CC Determinação do CC em Perfis Abertos Cálculo das Tensões III.3. Flexão Simples de Barras

37 Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples Assim, ondee Logo,e CG rdF ds t x y VxVx VyVy xcxc ycyc CC Determinação do CC em Perfis Abertos Cálculo das Tensões III.3. Flexão Simples de Barras

38 Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples Substituindo estes valores na integral, e y*y* 0 CG rdF ds t x y VxVx VyVy xcxc ycyc CC Logo, Determinação do CC em Perfis Abertos Cálculo das Tensões III.3. Flexão Simples de Barras

39 Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples Desta forma, ou Analogamente, CG rdF ds t x y VxVx VyVy xcxc ycyc CCy*y* Determinação do CC em Perfis Abertos Cálculo das Tensões III.3. Flexão Simples de Barras

40 Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples Conclusão: o momento torsor gerado pelos esforços cortantes vale: e somente será nulo se CG rdF ds t x y VxVx VyVy xcxc ycyc CCy*y* Determinação do CC em Perfis Abertos Cálculo das Tensões III.3. Flexão Simples de Barras

41 Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples Para que os momentos setoriais lineares sejam nulos, é necessário escolher o pólo adequadamente. Para tanto, toma-se inicialmente o CG como pólo, e determina-se os momentos setoriais lineares I x e I y. Por meio de mudança de pólo, determina-se os novos momentos setoriais lineares que devem, por sua vez, ser nulos. Este novo pólo é o CC e por ele devem passar V x e V y. CG rdF ds t x y VxVx VyVy xcxc ycyc CCy*y* Determinação do CC em Perfis Abertos Cálculo das Tensões III.3. Flexão Simples de Barras

42 Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples A área setorial para um novo pólo será: onde é a área setorial tomando o CG como pólo, x c e y c são as coordenadas do novo pólo e x O e y O as coordenadas da origem arbitrária. r CG dF ds t x y VxVx VyVy xcxc ycyc CC Determinação do CC em Perfis Abertos Cálculo das Tensões III.3. Flexão Simples de Barras

43 Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples O momento setorial linear I x c será, então: Desenvolvendo-se esta expressão, tem-se: r CG dF ds t x y VxVx VyVy xcxc ycyc CC Determinação do CC em Perfis Abertos Cálculo das Tensões III.3. Flexão Simples de Barras

44 Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples Como x e y são os eixos centrais principais, Assim, r CG dF ds t x y VxVx VyVy xcxc ycyc CC Analogamente, Determinação do CC em Perfis Abertos Cálculo das Tensões III.3. Flexão Simples de Barras

45 Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples Assim, se o momento o torsor é nulo em relação ao eixo com origem em x c e y c, r CG dF ds t x y VxVx VyVy xcxc ycyc CC e Determinação do CC em Perfis Abertos Cálculo das Tensões III.3. Flexão Simples de Barras

46 Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples Observações: r CG dF ds t x y VxVx VyVy xcxc ycyc CC a)Na avaliação dos momentos setoriais lineares, a origem é arbitrária. De fato, ela pode ser qualquer, pois alterando-se a origem, a variação da área setorial é a mesma em todos os pontos da LM e, consequentemente, os momentos setoriais lineares não se alteram, quando o pólo é o CG da seção. Determinação do CC em Perfis Abertos Cálculo das Tensões III.3. Flexão Simples de Barras

47 Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples Observações: r CG dF ds t x y VxVx VyVy xcxc ycyc CC a)Na avaliação dos momentos setoriais lineares, a origem é arbitrária. Se o pólo é o CG da seção, S x = 0 e, consequentemente, Determinação do CC em Perfis Abertos Cálculo das Tensões III.3. Flexão Simples de Barras

48 Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples Observações: r CG dF ds t x y VxVx VyVy xcxc ycyc CC a)Na avaliação dos momentos setoriais lineares, a origem é arbitrária. e, se o pólo é o CG da seção, S y = 0 e, consequentemente, Analogamente, Determinação do CC em Perfis Abertos Cálculo das Tensões III.3. Flexão Simples de Barras

49 Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples Observações: r CG dF ds t x y VxVx VyVy xcxc ycyc CC b)O CC está sempre situado sobre eixos de simetria, quando estes existem. De fato, sendo a origem arbitrária, pode-se imaginá-la sobre o eixo de simetria. Logo, se o pólo é o CG, a área setorial é anti-simétrica. Determinação do CC em Perfis Abertos Cálculo das Tensões III.3. Flexão Simples de Barras

50 Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples Observações: r CG dF ds t x y VxVx VyVy xcxc ycyc CC b)O CC está sempre situado sobre eixos de simetria, quando estes existem. Sendo x um eixo de simetria, y -y x x x y Determinação do CC em Perfis Abertos Cálculo das Tensões III.3. Flexão Simples de Barras

51 Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples Observações: r CG dF ds t x y VxVx VyVy xcxc ycyc CC b)O CC está sempre situado sobre eixos de simetria, quando estes existem. Sendo y um eixo de simetria, yy x-x x y Determinação do CC em Perfis Abertos Cálculo das Tensões III.3. Flexão Simples de Barras

52 Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples Observações: r CG dF ds t x y VxVx VyVy xcxc ycyc CC b)O CC está sempre situado sobre eixos de simetria, quando estes existem. x CC CG y xcxc x y CC CG ycyc x y CC L CG Determinação do CC em Perfis Abertos Cálculo das Tensões III.3. Flexão Simples de Barras

53 Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples Observações: r CG dF ds t x y VxVx VyVy xcxc ycyc CC c) Se as linhas médias de todos os componentes da seção concorrem para um mesmo ponto, este ponto é o seu CC. De fato, se o fluxo cisalhante resulta em um conjunto de forças concorrentes, o momento resultante é nulo. Determinação do CC em Perfis Abertos Cálculo das Tensões III.3. Flexão Simples de Barras x CC CG y xcxc ycyc As coordenadas do CC também são designadas por x o e y o

54 Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples Observações: r CG dF ds t x y VxVx VyVy xcxc ycyc CC d) Constante de Empenamento C. Esta propriedade é utilizada para se medir a perda de planicidade da seção sob torção. O momento setorial de inércia I calculado com base na área setorial principal (S = 0) e pólo no CC é uma propriedade geométrica da seção conhecida por Constante de Empenamento. Determinação do CC em Perfis Abertos Cálculo das Tensões III.3. Flexão Simples de Barras

55 Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples Observações: r CG dF ds t x y VxVx VyVy xcxc ycyc CC Seja c a área setorial tomando o CC como pólo e uma origem arbitrária. Alterando a origem de modo a se obter S = 0, tem-se: d) Constante de Empenamento C. Determinação do CC em Perfis Abertos Cálculo das Tensões III.3. Flexão Simples de Barras

56 Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples Observações: r CG dF ds t x y VxVx VyVy xcxc ycyc CC Assim,e d) Constante de Empenamento C. Determinação do CC em Perfis Abertos Cálculo das Tensões III.3. Flexão Simples de Barras

57 Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples A ordem de grandeza das tensões normais devidas ao momento fletor é, em geral, muito superior à das tensões de cisalhamento devidas ao cortante. Corte Exemplo: em z=0, V máx = P M máx = PL L P y z y x b h III.3. Flexão Simples de Barras Cálculo das Tensões

58 Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples Portanto, em geral, quem governa o projeto de barras submetidas à flexão simples é o momento fletor. Corte No entanto, à medida que o comprimento decresce, a diferença entre as máximas tensões normal e de cisalhamento diminui, podendo haver casos onde as tensões de cisalhamento serão de maior importância. Nestes casos a solicitação é denominada Corte. III.3. Flexão Simples de Barras Cálculo das Tensões

59 Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples Exemplos: Corte III.3. Flexão Simples de Barras Cálculo das Tensões ligações parafusadas em solicitação axial parafusos PP L2L2 L1L1 ligações soldadas em solicitação axial cordões de solda PP L2L2 L1L1

60 Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples Exemplos: Corte III.3. Flexão Simples de Barras Cálculo das Tensões ligações coladas em solicitação axial cola PP L2L2 L1L1 ligações com conectores de cisalhamento em solicitação axial conectores PP L2L2 L1L1

61 Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples Exemplos: Corte III.3. Flexão Simples de Barras Cálculo das Tensões entalhes V P ligações parafusadas sob flexão L P P M ligações soldadas sob flexão L P P M consoles L P P M

62 Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples Exemplos: Corte III.3. Flexão Simples de Barras Cálculo das Tensões ligações parafusadas sob torção T T T T ligações soldadas sob torção

63 Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples Exemplos: Corte III.3. Flexão Simples de Barras Cálculo das Tensões tensões longitudinais de cisalhamento perfil soldado viga mista com conectores de cisalhamento peças coladas peças ligadas por conectores peças parafusadas ou ligadas por pinos Seções

64 Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples Admitindo-se, neste caso, a hipótese das seções planas, Corte III.3. Flexão Simples de Barras Cálculo das Tensões O cálculo da tensão de cisalhamento, portanto, só depende da avaliação adequada do esforço cortante que está atuando no 'meio de ligação'.

65 Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples III.3. Flexão Simples de Barras Projeto de Barras Fletidas (Momento Fletor e Cortante) Resistência e Estabilidade: e onde são, respectivamente, as máximas tensões de cálculo normal e de cisalhamento são, respectivamente, as tensões limites normal e de cisalhamento (funções dos estados limites considerados) e é o coeficiente de resistência e e

66 Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples Resistência e Estabilidade: e e como na Flexão Pura e III.3. Flexão Simples de Barras Projeto de Barras Fletidas (Momento Fletor e Cortante)

67 Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples Resistência e Estabilidade: e para as seções, em geral, carregadas segundo o plano de simetria, onde é um fator que depende da geometria da seção, ou III.3. Flexão Simples de Barras Projeto de Barras Fletidas (Momento Fletor e Cortante)

68 Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples Resistência e Estabilidade: e para perfis abertos carregados segundo o seu CC ou III.3. Flexão Simples de Barras Projeto de Barras Fletidas (Momento Fletor e Cortante)

69 Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples Resistência e Estabilidade: e no caso de Corte. III.3. Flexão Simples de Barras Projeto de Barras Fletidas (Momento Fletor e Cortante)

70 Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples Rigidez: A verificação da Rigidez é feita da mesma forma que na Flexão Pura, pois as deformações devidas ao esforço cortante são, em geral, desprezíveis. III.3. Flexão Simples de Barras Projeto de Barras Fletidas (Momento Fletor e Cortante)

71 Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Fim da Aula 09


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