Aula 03 continuação.

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Cap. I: Conceitos Preliminares
I.1. O que é a Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis I.2. Elementos Básicos I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas I.2.2. Esforços nas Estruturas I.2.3. Características Mecânicas dos Materiais I.3. Problemas e Métodos

Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas
Conceito de Tensão Reduzindo os esforços distribuídos ao longo de uma área elementar a um ponto qualquer desta área: Tensão Média: área elementar força elementar momento elementar (desprezível) Tensão num Ponto: A unidade de tensão é, portanto, unidade de “força / comprimento2 ”: N/m2, kN/cm2, MPa, GPa, etc.

I.2.2. Esforços nas Estruturas Conceito de Tensão A tensão num ponto pode ser decomposta em: Tensão Normal sz, na direção normal z e Tensão de Cisalhamento tz, na direção tangencial (plano x-y, normal à direção z). A Tensão de Cisalhamento tz pode ser decomposta em duas componentes: tzx, na direção x, e tzy, na direção y.

I.2.2. Esforços nas Estruturas Conceito de Tensão A tensão normal se opõe à força de coesão entre as moléculas do corpo, que impede a sua separação por afastamento ou esmagamento. A tensão de cisalhamento se opõe à força de atrito entre as moléculas do corpo, que impede a sua separação por deslizamento ou cisalhamento.

I.2.2. Esforços nas Estruturas Conceito de Tensão Por um ponto qualquer de um corpo pode-se passar infinitos planos. Logo, para cada ponto do corpo solicitado, existe um conjunto infinito de valores da tensão r ou de suas componentes s e t. A este conjunto dá-se o nome de Estado de Tensão no Ponto.

representação do ponto P
Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Conceito de Tensão O Estado de Tensão Num Ponto pode, no entanto, ser definido a partir do conhecimento das componentes s e t em apenas três planos ortogonais entre si que contenham o ponto. Se dx, dy e dz são as distâncias infinitesimais entre planos paralelos que isolem um ponto P, o paralelepípedo resultante da interseção destes planos entre si pode ser utilizado para representar este ponto. representação do ponto P

I.2.2. Esforços nas Estruturas Conceito de Tensão As componentes de tensão nas facetas deste paralelepípedo elementar são: sx, txy, txz, sy, tyz, tyx, sz, tzx e tzy. As forças resultantes nes-tas facetas constituem um sistema em equilí-brio estático. Em um plano inclinado em relação aos planos das facetas do paralelepípedo agem as compo-nentes sn e tn. Este plano também contém o ponto.

I.2.2. Esforços nas Estruturas Conceito de Tensão sn é a tensão normal e tn a tensão de cisalha-mento neste plano (n é o eixo normal ao plano e t é um eixo tangente). A partir das condições de equilíbrio estático, SFn = 0 e SFt = obtém-se as componentes sn e tn em função de sx, txy, txz, sy, tyz, tyx, sz, tzx, tzy e dos cossenos diretores da normal n.

I.2.2. Esforços nas Estruturas Conceito de Tensão Assim, conhecendo-se as componentes de tensão em três planos arbitrários, ortogonais entre si, pode-se conhecer as componentes em qualquer outro plano que contenha o ponto, por meio de fórmulas de recorrência obtidas a partir das citadas condições de equilíbrio estático das forças elementares que atuam nas facetas do tetraedro infinitesimal indicado.

I.2.2. Esforços nas Estruturas Conceito de Tensão Desta forma, o Estado de Tensão Num Ponto pode ser representado, como dito, pelas com-ponentes em três planos ortogonais arbitrá-rios: sx, txy, txz, sy, tyz, tyx, sz, tzx e tzy. Da condição de equilíbrio de momentos em torno do eixo x indicado, tem-se: SMx = 0 a (tyzdxdz)dy – (tzydxdy)dz = 0

I.2.2. Esforços nas Estruturas Conceito de Tensão Logo, tyz = tzy . Analogamente, txy = tyx e tzx = txz. Teorema: “Em planos ortogonais, as tensões de cisalhamento são iguais e formam binários em sentidos opostos” Assim, são seis as componentes que definem o Estado de Tensão Num Ponto: sx, sy, sz, txy, tyz, e tzx.

Conceito de Tensão Logo, tyz = tzy . Analogamente, txy = tyx e tzx = txz. Teorema: “Em planos ortogonais, as tensões de cisalhamento são iguais e formam binários em sentidos opostos” Convenção de Sinais: + _ + _

Conceito de Tensão Relações entre Esforços Internos e Tensões Se sz, tzx e tzy são as componentes de tensão num ponto qualquer do plano x-y, os esforços elementares correspondentes são: Integrando estes esforços elementares: esforço cortante na direção x esforço cortante na direção y esforço normal

Conceito de Tensão Relações entre Esforços Internos e Tensões Os momentos elementares em torno dos eixos de referência são: Integrando estes momentos elementares: momentos fletores em torno de x e de y momento torsor

Conceito de Deformação
Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Conceito de Deformação Sejam AB e AC dois segmentos de reta defi-nindo um plano do corpo e formando um ân-gulo q entre si. A B C q plano indeformado O corpo se deforma após a ação dos esforços e, consequentemente, os pontos A, B e C se deslocam para as posições A’, B’ e C’, respec-tivamente. A’ B’ C’ q’ plano deformado

Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Conceito de Deformação Deformação Linear Média: A B C q plano indeformado A’ B’ C’ q’ plano deformado

Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Conceito de Deformação Se x é o eixo orientado que define a direção do segmento AB e y o eixo orientado que define a direção do segmento AC, A B C q plano indeformado Deformação Linear de um Ponto: e A’ B’ C’ q’ plano deformado O conceito de deformação linear de um ponto pressupõe a direção na qual é medida.

Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Conceito de Deformação A B C q plano indeformado ex é a deformação linear do ponto A na direção x e ey é a deformação linear do ponto A na direção y. A’ B’ C’ q’ plano deformado Deformação Linear é uma grandeza adimensional. Pode ser expressa em %.

Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Conceito de Deformação Deformação Angular Média: A B C q plano indeformado A’ B’ C’ q’ plano deformado

Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Conceito de Deformação Se x é o eixo orientado que define a direção do segmento AB e y o eixo orientado que define a direção do segmento AC, A B C q plano indeformado Deformação Angular de um Ponto: A’ B’ C’ q’ plano deformado O conceito de deformação angular de um ponto pressupõe o plano na qual é medida.

Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Conceito de Deformação A B C q plano indeformado gxy é a deformação angular do ponto A no plano x-y. A’ B’ C’ q’ plano deformado Deformação Angular é uma grandeza adimensional. Deve ser expressa em rd.

Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Conceito de Deformação Por um ponto qualquer de um corpo pode-se passar infinitos planos. Logo, para cada ponto do corpo solicitado, existe um conjunto infini-to de valores das deformações e e g. A este conjunto dá-se o nome de Estado de Defor-mação no Ponto. A B C q plano indeformado A’ B’ C’ q’ plano deformado

Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Conceito de Deformação Analogamente ao Estado de Tensão, o Estado de Deformação Num Ponto também pode ser definido a partir do conhecimento das deformações e e g em apenas três planos ortogonais entre si que contenham o ponto. Representado o ponto pelo paralelepípedo elementar, as deformações em suas facetas são: ex, ey, ez, gxy, gyz e gzx.

Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Conceito de Deformação ex: deformação linear na direção x, ey: deformação linear na direção y, ez: deformação linear na direção z, gxy: deformação angular no plano x-y, gyz : deformação angular no plano y-z, gzx : deformação angular no plano z-x.

Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Conceito de Deformação Relações entre Deslocamentos e Deformações A A’ plano deformado Seja o deslocamento do ponto A após a deformação do corpo solicitado. Decompondo este deslocamento em direções x, y e z tri-ortogonaias arbitrárias: A A’ z x y u v w u: deslocamento do ponto A na direção x v: deslocamento do ponto A na direção y w: deslocamento do ponto A na direção z

Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Conceito de Deformação Relações entre Deslocamentos e Deformações Supondo um ponto B sobre o eixo x, após a deforma-ção, este ponto se deslocará para uma posição B’. A A’ plano deformado : projeção do ponto A’ no plano x-y : projeção do ponto B’ no plano x-y A A’ z x y u v w A’xy

Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Conceito de Deformação Relações entre Deslocamentos e Deformações A A’ plano deformado xB: coordenada do ponto B segundo o eixo x u: deslocamento do ponto A na direção x DxB = u + Du : deslocamento do ponto B na direção x A A’ z x y u v w A’xy

Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Conceito de Deformação Relações entre Deslocamentos e Deformações A A’ plano deformado Por definição, a deformação linear média do segmento AB é: A A’ z x y u v w A’xy

Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Conceito de Deformação Relações entre Deslocamentos e Deformações Assim, a deformação linear do ponto A na direção x é: A A’ plano deformado Logo, A A’ z x y u v w A’xy

Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Conceito de Deformação Relações entre Deslocamentos e Deformações A A’ plano deformado Supondo um ponto C sobre o eixo y, após a deforma-ção, este ponto se deslocará para uma posição C’. : projeção do ponto C’ no plano x-y A A’ z x y u v w A’xy

Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Conceito de Deformação Relações entre Deslocamentos e Deformações A A’ plano deformado yC: coordenada do ponto C segundo o eixo y v: deslocamento do ponto A na direção y DyC = v + Dv : deslocamento do ponto C na direção y A A’ z x y u v w A’xy

Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Conceito de Deformação Relações entre Deslocamentos e Deformações Por definição, a deformação angular média do plano ABC é: A A’ plano deformado A A’ z x y u v w A’xy

Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Conceito de Deformação Relações entre Deslocamentos e Deformações A A’ plano deformado A A’ z x y u v w A’xy

Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Conceito de Deformação Relações entre Deslocamentos e Deformações Assim, a deformação angular do ponto A no plano xy é: A A’ plano deformado Logo, A A’ z x y u v w A’xy

Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Conceito de Deformação Relações entre Deslocamentos e Deformações A A’ plano deformado Finalmente, as relações entre deslocamentos e deformações são: deformações lineares A A’ z x y u v w A’xy deformações angulares

Casos Particulares de Estados de Tensão e de Deformação Estados de Tensão: Estado Triplo ou Triaxial Estado Triaxial Uniforme

Casos Particulares de Estados de Tensão e de Deformação Estados de Tensão: Estado Plano notação alternativa

Estado Duplo ou Biaxial Estado Biaxial Uniforme
Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Casos Particulares de Estados de Tensão e de Deformação Estados de Tensão: Estado Duplo ou Biaxial Estado Biaxial Uniforme

Estado de Cisalhamento Puro
Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Casos Particulares de Estados de Tensão e de Deformação Estados de Tensão: Estado Simples Estado de Cisalhamento Puro

Casos Particulares de Estados de Tensão e de Deformação Estados de Deformação: Estado Triplo ou Triaxial Estado Triaxial Uniforme

Casos Particulares de Estados de Tensão e de Deformação Estados de Deformação: Estado Plano notação alternativa

Estado Duplo ou Biaxial Estado Biaxial Uniforme
Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Casos Particulares de Estados de Tensão e de Deformação Estados de Deformação: Estado Duplo ou Biaxial Estado Biaxial Uniforme

Estado de Cisalhamento Puro
Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Casos Particulares de Estados de Tensão e de Deformação Estados de Deformação: Estado Simples Estado de Cisalhamento Puro

Relações entre Tensões e Deformações
Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Relações entre Tensões e Deformações Lei de Hooke: “As tensões são proporcionais às deformações até um certo limite” Às tensões normais correspondem deformações lineares Às tensões tangenciais correspondem deformações angulares elemento indeformado elemento indeformado elemento deformado elemento deformado

Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Relações entre Tensões e Deformações Lei de Hooke: “As tensões são proporcionais às deformações até um certo limite” Constantes de Proporcionalidade: elemento indeformado E: Módulo de Young ou Módulo de Deformação Longitudinal elemento deformado n: Coeficiente de Poisson

Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Relações entre Tensões e Deformações Lei de Hooke: “As tensões são proporcionais às deformações até um certo limite” Constantes de Proporcionalidade: elemento indeformado elemento deformado G: Módulo de Deformação Transversal

Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Relações entre Tensões e Deformações Lei de Hooke: “As tensões são proporcionais às deformações até um certo limite” Constantes de Proporcionalidade: E e G são também chamados de Módulos de Elasticidade Longitudinal e Transversal, respectivamente, porque a Lei de Hooke só é válida no regime elástico.

Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Relações entre Tensões e Deformações Lei de Hooke: “As tensões são proporcionais às deformações até um certo limite” Princípio da Superposição dos Efeitos (PSE): “Se é válida a Lei de Hooke, os efeitos de um sistema de ações sobre um corpo sólido correspondem às somas dos efeitos de cada ação se-paradamente”

Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Relações entre Tensões e Deformações Lei Generalizada de Hooke: Utilizando o PSE, as somas das defor-mações decorrentes de cada componen-te de tensão, no ca-so geral de Estado de Tensão em um ponto, serão:

Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Relações entre Tensões e Deformações Lei Generalizada de Hooke: Resolvendo para obter as tensões : l e G são as Constantes de Lamé

Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Relações entre Tensões e Deformações Observações: Estado Triplo de Deformação Estado Simples de Tensão A um estado simples de tensão corresponde um estado triplo de deformação

Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Relações entre Tensões e Deformações Observações: Estado Triplo de Tensão Estado Simples de Deformação A um estado simples de deformação corresponde um estado triplo de tensão

Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Relações entre Tensões e Deformações Energia Potencial de Deformação: Os esforços externos provocam deslocamentos e, portanto, realizam TRABALHO. onde W é o trabalho realizado pelos esforços, U é a energia potencial do corpo deformado e K é a energia cinética da velocidade da massa do corpo. Como os esforços são aplicados lentamente, e

Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Relações entre Tensões e Deformações Energia Potencial de Deformação: Seja dw a variação do deslocamento na direção z. O trabalho realizado pelo esforço N é dUN = Ndw. O esforço N é proporcional ao deslocamento w.

Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Relações entre Tensões e Deformações Energia Potencial de Deformação: Seja dw a variação do deslocamento na direção z. O trabalho realizado pelo esforço N é dUN = Ndw. O esforço N é proporcional ao deslocamento w. é a variação da energia que se acumula no corpo durante o processo de deformação.

Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Relações entre Tensões e Deformações Energia Potencial de Deformação: Seja dw a variação do deslocamento na direção z. O trabalho realizado pelo esforço N é dU = Ndw. O esforço N é proporcional ao deslocamento w.

Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Relações entre Tensões e Deformações Energia Potencial de Deformação: Como a energia é uma grandeza escalar, é a energia potencial de deformação acumulada em um elemento de volume infinitesimal dV=dx.dy.dz.

Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Relações entre Tensões e Deformações Energia Potencial de Deformação: Seja o estado de cisalhamento puro. Em um plano inclinado de 45º, tem-se:

Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Relações entre Tensões e Deformações Energia Potencial de Deformação: Repetindo o raciocínio para um plano perpendicular ao plano inclinado considerado (-45º): 45º e Logo, são equivalentes os seguintes estados de tensão: cisalhamento puro biaxial

Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Relações entre Tensões e Deformações Energia Potencial de Deformação: A energia potencial de deformação unitária para o estado de cisalhamento puro é: Para o estado biaxial é:

Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Relações entre Tensões e Deformações Energia Potencial de Deformação: A energia potencial de deformação unitária para o estado de cisalhamento puro é: Para o estado biaxial é: Igualando as duas expressões:

Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Relações entre Tensões e Deformações Energia Potencial de Deformação: Em suma, as constantes de Lamé podem ser escritas em função do Módulo de Elasticidade e do Coeficiente de Poisson como: e

Fim da Aula 03

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