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Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Aula 03 continuação.

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1 Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Aula 03 continuação

2 Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.1. O que é a Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis I.2. Elementos Básicos I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas I.2.2. Esforços nas Estruturas I.2.3. Características Mecânicas dos Materiais I.3. Problemas e Métodos

3 Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Conceito de Tensão Reduzindo os esforços distribuídos ao longo de uma área elementar a um ponto qualquer desta área: Tensão Média: Tensão num Ponto: área elementar força elementar momento elementar (desprezível) A unidade de tensão é, portanto, unidade deforça / comprimento 2 : N/m 2, kN/cm 2, MPa, GPa, etc.

4 Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas A tensão num ponto pode ser decomposta em: Tensão Normal z, na direção normal z e Tensão de Cisalhamento z, na direção tangencial (plano x-y, normal à direção z). A Tensão de Cisalhamento z pode ser decomposta em duas componentes: zx, na direção x, e zy, na direção y. Conceito de Tensão

5 Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas A tensão de cisalhamento se opõe à força de atrito entre as moléculas do corpo, que impede a sua separação por deslizamento ou cisalhamento. A tensão normal se opõe à força de coesão entre as moléculas do corpo, que impede a sua separação por afastamento ou esmagamento. Conceito de Tensão

6 Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Por um ponto qualquer de um corpo pode-se passar infinitos planos. Logo, para cada ponto do corpo solicitado, existe um conjunto infinito de valores da tensão ou de suas componentes e. A este conjunto dá-se o nome de Estado de Tensão no Ponto. Conceito de Tensão

7 Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas O Estado de Tensão Num Ponto pode, no entanto, ser definido a partir do conhecimento das componentes e em apenas três planos ortogonais entre si que contenham o ponto. Se dx, dy e dz são as distâncias infinitesimais entre planos paralelos que isolem um ponto P, o paralelepípedo resultante da interseção destes planos entre si pode ser utilizado para representar este ponto. representação do ponto P Conceito de Tensão

8 Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas As componentes de tensão nas facetas deste paralelepípedo elementar são: x, xy, xz, y, yz, yx, z, zx e zy. As forças resultantes nes- tas facetas constituem um sistema em equilí- brio estático. Em um plano inclinado em relação aos planos das facetas do paralelepípedo agem as compo- nentes n e n. Este plano também contém o ponto. Conceito de Tensão

9 Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas n é a tensão normal e n a tensão de cisalha- mento neste plano (n é o eixo normal ao plano e t é um eixo tangente). A partir das condições de equilíbrio estático, F n = 0 e F t = 0 obtém-se as componentes n e n em função de x, xy, xz, y, yz, yx, z, zx, zy e dos cossenos diretores da normal n. Conceito de Tensão

10 Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Assim, conhecendo-se as componentes de tensão em três planos arbitrários, ortogonais entre si, pode-se conhecer as componentes em qualquer outro plano que contenha o ponto, por meio de fórmulas de recorrência obtidas a partir das citadas condições de equilíbrio estático das forças elementares que atuam nas facetas do tetraedro infinitesimal indicado. Conceito de Tensão

11 Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Desta forma, o Estado de Tensão Num Ponto pode ser representado, como dito, pelas com- ponentes em três planos ortogonais arbitrá- rios: x, xy, xz, y, yz, yx, z, zx e zy. Da condição de equilíbrio de momentos em torno do eixo x indicado, tem-se: M x = 0 ( yz dxdz)dy – ( zy dxdy)dz = 0 Conceito de Tensão

12 Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Logo, yz = zy. Analogamente, xy = yx e zx = xz. Teorema: Em planos ortogonais, as tensões de cisalhamento são iguais e formam binários em sentidos opostos Assim, são seis as componentes que definem o Estado de Tensão Num Ponto: x, y, z, xy, yz, e zx. Conceito de Tensão

13 Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Logo, yz = zy. Analogamente, xy = yx e zx = xz. Teorema: Em planos ortogonais, as tensões de cisalhamento são iguais e formam binários em sentidos opostos Convenção de Sinais: + _ + _ Conceito de Tensão

14 Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Se z, zx e zy são as componentes de tensão num ponto qualquer do plano x-y, os esforços elementares correspondentes são: Relações entre Esforços Internos e Tensões Conceito de Tensão Integrando estes esforços elementares: esforço cortante na direção x esforço normal esforço cortante na direção y

15 Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Os momentos elementares em torno dos eixos de referência são: Relações entre Esforços Internos e Tensões Conceito de Tensão Integrando estes momentos elementares: momentos fletores em torno de x e de y momento torsor

16 Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Conceito de Deformação Sejam AB e AC dois segmentos de reta defi- nindo um plano do corpo e formando um ân- gulo entre si. A B C plano indeformado A B C plano deformado O corpo se deforma após a ação dos esforços e, consequentemente, os pontos A, B e C se deslocam para as posições A, B e C, respec- tivamente.

17 Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas A B C plano indeformado A B C plano deformado Deformação Linear Média: Conceito de Deformação

18 Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas A B C plano indeformado A B C plano deformado Se é o eixo orientado que define a direção do segmento AB e o eixo orientado que define a direção do segmento AC, Deformação Linear de um Ponto: e O conceito de deformação linear de um ponto pressupõe a direção na qual é medida. Conceito de Deformação

19 Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas A B C plano indeformado A B C plano deformado é a deformação linear do ponto A na direção e é a deformação linear do ponto A na direção. Deformação Linear é uma grandeza adimensional. Pode ser expressa em %. Conceito de Deformação

20 Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas A B C plano indeformado A B C plano deformado Deformação Angular Média: Conceito de Deformação

21 Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas A B C plano indeformado A B C plano deformado Se é o eixo orientado que define a direção do segmento AB e o eixo orientado que define a direção do segmento AC, Deformação Angular de um Ponto: O conceito de deformação angular de um ponto pressupõe o plano na qual é medida. Conceito de Deformação

22 Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas A B C plano indeformado A B C plano deformado é a deformação angular do ponto A no plano Deformação Angular é uma grandeza adimensional. Deve ser expressa em rd. Conceito de Deformação

23 Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Por um ponto qualquer de um corpo pode-se passar infinitos planos. Logo, para cada ponto do corpo solicitado, existe um conjunto infini- to de valores das deformações e. A este conjunto dá-se o nome de Estado de Defor- mação no Ponto. A B C plano indeformado A B C plano deformado Conceito de Deformação

24 Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Analogamente ao Estado de Tensão, o Estado de Deformação Num Ponto também pode ser definido a partir do conhecimento das deformações e em apenas três planos ortogonais entre si que contenham o ponto. Representado o ponto pelo paralelepípedo elementar, as deformações em suas facetas são: x, y, z, xy, yz e zx. Conceito de Deformação

25 Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas x : deformação linear na direção x, y : deformação linear na direção y, z : deformação linear na direção z, xy : deformação angular no plano x-y, yz : deformação angular no plano y-z, zx : deformação angular no plano z-x. Conceito de Deformação

26 Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas A A plano deformado Decompondo este deslocamento em direções x, y e z tri-ortogonaias arbitrárias: Seja o deslocamento do ponto A após a deformação do corpo solicitado. u: deslocamento do ponto A na direção x v: deslocamento do ponto A na direção y w: deslocamento do ponto A na direção z A A z x y u v w Relações entre Deslocamentos e Deformações Conceito de Deformação

27 Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Supondo um ponto B sobre o eixo x, após a deforma- ção, este ponto se deslocará para uma posição B. A A z x y u v w : projeção do ponto A no plano x-y : projeção do ponto B no plano x-y A xy A A plano deformado Relações entre Deslocamentos e Deformações Conceito de Deformação

28 Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas x B : coordenada do ponto B segundo o eixo x A A z x y u v w A xy u: deslocamento do ponto A na direção x x B = u + u : deslocamento do ponto B na direção x A A plano deformado Relações entre Deslocamentos e Deformações Conceito de Deformação

29 Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Por definição, a deformação linear média do segmento AB é: A A z x y u v w A xy A A plano deformado Relações entre Deslocamentos e Deformações Conceito de Deformação

30 Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Assim, a deformação linear do ponto A na direção x é: A A z x y u v w A xy Logo, A A plano deformado Relações entre Deslocamentos e Deformações Conceito de Deformação

31 Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas A A z x y u v w A xy Supondo um ponto C sobre o eixo y, após a deforma- ção, este ponto se deslocará para uma posição C. : projeção do ponto C no plano x-y A A plano deformado Relações entre Deslocamentos e Deformações Conceito de Deformação

32 Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas A A z x y u v w A xy y C : coordenada do ponto C segundo o eixo y v: deslocamento do ponto A na direção y y C = v + v : deslocamento do ponto C na direção y A A plano deformado Relações entre Deslocamentos e Deformações Conceito de Deformação

33 Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas A A z x y u v w A xy Por definição, a deformação angular média do plano ABC é: A A plano deformado Relações entre Deslocamentos e Deformações Conceito de Deformação

34 Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas A A z x y u v w A xy A A plano deformado Relações entre Deslocamentos e Deformações Conceito de Deformação

35 Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas A A z x y u v w A xy A A plano deformado Relações entre Deslocamentos e Deformações Conceito de Deformação

36 Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas A A z x y u v w A xy Assim, a deformação angular do ponto A no plano xy é: Logo, A A plano deformado Relações entre Deslocamentos e Deformações Conceito de Deformação

37 Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas A A z x y u v w A xy Finalmente, as relações entre deslocamentos e deformações são: deformações lineares deformações angulares A A plano deformado Relações entre Deslocamentos e Deformações Conceito de Deformação

38 Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Estados de Tensão: Estado Triplo ou TriaxialEstado Triaxial Uniforme Casos Particulares de Estados de Tensão e de Deformação

39 Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Estados de Tensão: Estado Plano notação alternativa Casos Particulares de Estados de Tensão e de Deformação

40 Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Estados de Tensão: Estado Duplo ou Biaxial Estado Biaxial Uniforme Casos Particulares de Estados de Tensão e de Deformação

41 Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Estados de Tensão: Estado SimplesEstado de Cisalhamento Puro Casos Particulares de Estados de Tensão e de Deformação

42 Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Estados de Deformação: Estado Triplo ou TriaxialEstado Triaxial Uniforme Casos Particulares de Estados de Tensão e de Deformação

43 Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Estados de Deformação: Estado Plano notação alternativa Casos Particulares de Estados de Tensão e de Deformação

44 Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Estados de Deformação: Estado Duplo ou Biaxial Estado Biaxial Uniforme Casos Particulares de Estados de Tensão e de Deformação

45 Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Estados de Deformação: Estado SimplesEstado de Cisalhamento Puro Casos Particulares de Estados de Tensão e de Deformação

46 Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Relações entre Tensões e Deformações Lei de Hooke: Às tensões normais correspondem deformações lineares As tensões são proporcionais às deformações até um certo limite elemento indeformado elemento deformado Às tensões tangenciais correspondem deformações angulares elemento deformado elemento indeformado

47 Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Relações entre Tensões e Deformações Lei de Hooke: As tensões são proporcionais às deformações até um certo limite elemento indeformado elemento deformado Constantes de Proporcionalidade: E: Módulo de Young ou Módulo de Deformação Longitudinal : Coeficiente de Poisson

48 Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Relações entre Tensões e Deformações Lei de Hooke: As tensões são proporcionais às deformações até um certo limite elemento deformado elemento indeformado Constantes de Proporcionalidade: G: Módulo de Deformação Transversal

49 Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Relações entre Tensões e Deformações Lei de Hooke: Constantes de Proporcionalidade: As tensões são proporcionais às deformações até um certo limite E e G são também chamados de Módulos de Elasticidade Longitudinal e Transversal, respectivamente, porque a Lei de Hooke só é válida no regime elástico.

50 Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Relações entre Tensões e Deformações Lei de Hooke: Princípio da Superposição dos Efeitos (PSE): As tensões são proporcionais às deformações até um certo limite Se é válida a Lei de Hooke, os efeitos de um sistema de ações sobre um corpo sólido correspondem às somas dos efeitos de cada ação se- paradamente

51 Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Relações entre Tensões e Deformações Lei Generalizada de Hooke: Utilizando o PSE, as somas das defor- mações decorrentes de cada componen- te de tensão, no ca- so geral de Estado de Tensão em um ponto, serão:

52 Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Relações entre Tensões e Deformações Lei Generalizada de Hooke: Resolvendo para obter as tensões : e G são as Constantes de Lamé

53 Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Relações entre Tensões e Deformações Observações: Estado Simples de Tensão Estado Triplo de Deformação A um estado simples de tensão corresponde um estado triplo de deformação

54 Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Relações entre Tensões e Deformações Observações: Estado Simples de Deformação Estado Triplo de Tensão A um estado simples de deformação corresponde um estado triplo de tensão

55 Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Relações entre Tensões e Deformações Energia Potencial de Deformação: Os esforços externos provocam deslocamentos e, portanto, realizam TRABALHO. onde W é o trabalho realizado pelos esforços, U é a energia potencial do corpo deformado e K é a energia cinética da velocidade da massa do corpo. Como os esforços são aplicados lentamente, e

56 Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Relações entre Tensões e Deformações Energia Potencial de Deformação: Seja dw a variação do deslocamento na direção z. O trabalho realizado pelo esforço N é dU N = Ndw. O esforço N é proporcional ao deslocamento w.

57 Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Relações entre Tensões e Deformações Energia Potencial de Deformação: Seja dw a variação do deslocamento na direção z. O trabalho realizado pelo esforço N é dU N = Ndw. O esforço N é proporcional ao deslocamento w. é a variação da energia que se acumula no corpo durante o processo de deformação.

58 Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Relações entre Tensões e Deformações Energia Potencial de Deformação: Seja dw a variação do deslocamento na direção z. O trabalho realizado pelo esforço N é dU = Ndw. O esforço N é proporcional ao deslocamento w.

59 Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Relações entre Tensões e Deformações Energia Potencial de Deformação: Como a energia é uma grandeza escalar, é a energia potencial de deformação acumulada em um elemento de volume infinitesimal dV=dx.dy.dz.

60 Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Relações entre Tensões e Deformações Energia Potencial de Deformação: Seja o estado de cisalhamento puro. Em um plano inclinado de 45º, tem-se:

61 Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Relações entre Tensões e Deformações Energia Potencial de Deformação: Repetindo o raciocínio para um plano perpendicular ao plano inclinado considerado (-45º): e Logo, são equivalentes os seguintes estados de tensão: 45º cisalhamento purobiaxial

62 Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Relações entre Tensões e Deformações Energia Potencial de Deformação: A energia potencial de deformação unitária para o estado de cisalhamento puro é: Para o estado biaxial é:

63 Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Relações entre Tensões e Deformações Energia Potencial de Deformação: A energia potencial de deformação unitária para o estado de cisalhamento puro é: Para o estado biaxial é: Igualando as duas expressões:

64 Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Relações entre Tensões e Deformações Energia Potencial de Deformação: Em suma, as constantes de Lamé podem ser escritas em função do Módulo de Elasticidade e do Coeficiente de Poisson como: e

65 Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Fim da Aula 03


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