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CAPITULO 8 Flexão Resistência dos Materiais DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial Resistência dos Materiais.

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1 CAPITULO 8 Flexão Resistência dos Materiais DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial Resistência dos Materiais

2 Sumário: Flexão Competências: Determinar o diagrama de esforços internos de flexão e cortantes. Relacionar as tensões com as deformações. Relacionar as tensões normais com os esforços de flexão e propriedades geométricas dos corpos deformáveis. Calcular as tensões relacionadas com a flexão pura, carregamento axial excêntrico, flexão simétrica e assimétrica para diferentes geometrias. Perceber o significado físico de linha neutra e superfície neutra. Determinar a localização da linha neutra. Desenhar a distribuição dos vectores tensão na secção transversal do corpo solicitado. DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial Resistência dos Materiais Esforços internos de flexão e cortantes Flexão pura Equação matemática para cálculo das tensões normais Distribuição das tensões normais nos corpos solicitados Superfície neutra e linha neutra Carregamento axial excêntrico Flexão simétrica e não simétrica Momentos de Inércia e eixos principais de Inércia

3 Diagramas de Esforços Internos Cortantes e de Flexão A determinação das tensões normais e tangenciais máximas requer a identificação dos esforços internos cortantes e de flexão máximos. Os esforços internos cortantes e de flexão num ponto podem ser determinados seccionando a viga pela secção transversal correspondente e realizando uma análise de equilíbrio estático na porção da viga à esquerda ou à direita desse ponto, tal como ilustrado nas figuras (a) e (b) (Método das Secções). Convenção de sinais positivos para os esforços cortantes V e V e esforços de flexão M e M: DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial Resistência dos Materiais

4 Para a viga de madeira e para o carregamento indicado, desenhe os diagramas de esforços internos cortantes e de flexão. Método das Secções: Considerando a viga como um corpo rígido, determine as forças reactivas nos apoios. Represente graficamente a distribuição dos esforços internos cortantes e de flexão em função do comprimento da viga. Seccione a viga junto aos apoios e pontos de aplicação de cargas. Aplique as equações de equilíbrio estático nos diagramas de corpo livre assim obtidos, de modo a determinar os esforços internos cortantes e de flexão. Exercício Resolvido 1 DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial Resistência dos Materiais

5 Cálculo das reacções nos apoios: Análise de equilíbrio estático: DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial Resistência dos Materiais

6 DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial Resistência dos Materiais Representação gráfica dos esforços internos cortantes e de flexão:

7 Relação entre carregamento e esforço cortante: Relação entre esforço cortante e esforço de flexão: DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial Resistência dos Materiais Relação entre Carregamento, Esforço Cortante e Esforço de Flexão

8 Aplique a relação entre carregamento e esforço cortante para representar o diagrama de esforços internos cortantes. Aplique a relação entre esforço cortante e esforço de flexão para representar o diagrama de esforços internos de flexão. DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial Resistência dos Materiais Exercício Resolvido 2 Para a viga e para o carregamento indicado, represente os diagramas de esforços internos cortantes e de flexão. Método Gráfico: Considerando a viga como um corpo rígido, determine as forças reactivas nos apoios.

9 DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial Resistência dos Materiais Cálculo das reacções nos apoios: Representação gráfica do diagrama de esforços internos cortantes:

10 DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial Resistência dos Materiais Representação gráfica do diagrama de esforços internos de flexão:

11 Exercício de Esforços Internos 1 Para o carregamento indicado na figura represente os diagramas de esforços cortantes (V) e de esforços de flexão (M) utilizando os seguintes métodos: a) método das secções; b) método gráfico. DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial Resistência dos Materiais

12 8 kN 12 kN.m 2 kN/m 1 m 2 m Exercício de Esforços Internos 2 Para o carregamento indicado na figura represente os diagramas de esforços cortantes (V) e de esforços de flexão (M) utilizando os seguintes métodos: a) método das secções; b) método gráfico. DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial Resistência dos Materiais

13 Flexão Pura Flexão Pura: Membros prismáticos sujeitos a dois momentos, iguais e de sentidos opostos, actuando no mesmo plano longitudinal. DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial Resistência dos Materiais

14 Outros Tipos de Carregamento Princípio da Sobreposição: Combinar as tensões originadas pela carga com as tensões provocadas pela flexão pura. Carregamento excêntrico: Um carregamento axial excêntrico à secção considerada, origina esforços internos equivalentes a uma força normal e a um momento flector. Carregamento transversal: Uma carga concentrada na extremidade livre A origina esforços internos equivalentes a uma força igual, e de sentido oposto, e a um momento flector. DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial Resistência dos Materiais

15 Análise das Tensões na Flexão Pura O momento flector M consiste em duas forças iguais e de sentidos opostos. A soma das componentes dessas forças em qualquer direcção é igual a zero. O momento flector, em relação a qualquer eixo perpendicular ao seu plano, é sempre o mesmo. O momento flector, em relação a qualquer eixo contido no seu plano, é igual a zero. DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial Resistência dos Materiais

16 Deformações na Flexão Pura Barra prismática que contém um plano de simetria, em flexão pura: a barra permanece simétrica em relação ao plano; flecte uniformemente formando um arco de circunferência; qualquer secção plana perpendicular ao eixo da barra permanece plana; a linha AB diminui de comprimento e a linha AB aumenta; deve existir uma superfície neutra, paralela às faces superior e inferior, para a qual o comprimento não varie; tensões e deformações são negativas (compressão) acima da superfície neutra, e positivas (tracção) abaixo dela. DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial Resistência dos Materiais

17 Deformações na Flexão Pura Considere uma barra prismática de comprimento L. Depois da deformação, o comprimento da superfície neutra permanece igual a L. Nas outras secções, DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial Resistência dos Materiais

18 Tensões e Deformações no Regime Elástico Para um material homogéneo, A partir da estática, A linha neutra passa pelo centro geométrico da secção. Do equilíbrio estático, DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial Resistência dos Materiais

19 Tensões e Deformações no Regime Elástico DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial Resistência dos Materiais

20 DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial Resistência dos Materiais Propriedades dos Perfis

21 Deformações numa Secção Transversal A deformação da barra submetida à flexão é medida pela curvatura da superfície neutra. DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial Resistência dos Materiais

22 Uma peça de máquina de ferro fundido fica submetida à acção do momento flector M = 3 kN.m. Sabendo-se que E = 165 GPa e desprezando o efeito da curvatura das arestas do perfil, determinar: (a) as máximas tensões de tracção e compressão; (b) o raio da curvatura. DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial Resistência dos Materiais Exercício Resolvido 3

23 Calcular a localização do centro geométrico da secção e o momento de inércia. DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial Resistência dos Materiais

24 Calcular as máximas tensões de tracção e compressão. Calcular a curvatura. DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial Resistência dos Materiais

25 Carregamento Axial Excêntrico num Plano de Simetria Carregamento excêntrico, Os resultados só são válidos quando as condições de aplicação do princípio da sobreposição e de Saint-Venant forem satisfeitas. DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial Resistência dos Materiais N

26 A peça mostrada é feita de ferro fundido e tem tensões admissíveis de 30 MPa à tracção e de 120 MPa à compressão. Determinar a maior força P que pode ser aplicada à peça. Do exercício resolvido 3, Exercício Resolvido 4 DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial Resistência dos Materiais

27 Força e momento flector aplicados em C. Máxima força que pode ser aplicada. Sobreposição. DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial Resistência dos Materiais

28 Flexão Fora do Plano de Simetria Em geral, a linha neutra da secção não coincide com eixo do momento flector. Não podemos supor que a barra vá flectir no plano de simetria. A linha neutra da secção transversal coincide com o eixo do momento flector. Permanecem simétricas e flectem no plano de simetria. DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial Resistência dos Materiais

29 Flexão Fora do Plano de Simetria linha neutra passa pelo centro geométrico. define a distribuição de tensões. DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial Resistência dos Materiais

30 Decompor o vector M em dois vectores, segundo z e y, Sobrepor, Obtém-se, Aplicação do princípio da sobreposição. DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial Resistência dos Materiais Flexão Fora do Plano de Simetria

31 Um momento flector de 1600 lb.in é aplicado a uma viga de madeira de secção rectangular, num plano que forma um ângulo de 30º com a vertical. Determinar: (a)A tensão máxima na viga; (b)O ângulo que a linha neutra forma com o plano horizontal. DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial Resistência dos Materiais Exercício Resolvido 5

32 Determinar a tensão máxima na viga. A maior tensão de tracção devida ao carregamento combinado ocorre em A. DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial Resistência dos Materiais

33 Determinar o ângulo que a linha neutra forma com o plano horizontal. DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial Resistência dos Materiais

34 Caso Geral de Carga Excêntrica A força excêntrica é equivalente a um sistema constituído por uma força centrada e dois momentos flectores. Aplicando o princípio da sobreposição, Se x = 0, obtém-se a equação de uma recta, que representa a linha neutra da secção. DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial Resistência dos Materiais


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