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Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Aula 07.

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1 Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Aula 07

2 Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES II.1. Introdução II.2. Tração e Compressão de Barras II.3. Flexão Pura de Barras Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura

3 Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES II.3. Flexão Pura de Barras Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura Supondo Logo, MM eixo da barra AA dz d x y

4 Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura O eixo de flexão x é central Os eixos x e y são principais eixo da barra AA dz d x y MM II.3. Flexão Pura de Barras Supondo

5 Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura Flexão Reta: eixo da barra AA dz d x y MM O momento resultante M = M x atua segundo um eixo principal II.3. Flexão Pura de Barras Supondo

6 Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura eixo da barra AA dz d x y MM II.3. Flexão Pura de Barras Supondo

7 Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura eixo da barra AA dz d x y SN: Superfície Neutra LN: Linha Neutra MM LN: lugar geométrico dos pontos de tensão e deformação nulas. As tensões variam linearmente com y. De um lado da LN, tração; do outro lado, compressão II.3. Flexão Pura de Barras Supondo

8 Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura Resumindo: Equação da LN Flexão Reta (os eixos x e y são principais) MM II.3. Flexão Pura de Barras Supondo

9 Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura eixo da barra AA dz d y x MM Analogamente, II.3. Flexão Pura de Barras Supondo

10 Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura MM O eixo de flexão y é central Os eixos x e y são principais eixo da barra AA dz d y x II.3. Flexão Pura de Barras Supondo

11 Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura MM Flexão Reta: O momento resultante M = M y atua segundo um eixo principal eixo da barra AA dz d y x II.3. Flexão Pura de Barras Supondo

12 Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura MM eixo da barra AA dz d y x LN: lugar geométrico dos pontos de tensão e deformação nulas. As tensões variam linearmente com x. De um lado da LN, tração; do outro lado, compressão SN: Superfície Neutra LN: Linha Neutra II.3. Flexão Pura de Barras Supondo

13 Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura MM Resumindo: Equação da LN Flexão Reta (os eixos x e y são principais) II.3. Flexão Pura de Barras Supondo

14 Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura Se o eixo de flexão não é um eixo principal, obtém-se, do PSE, As tensões e as deformações variam linearmente com x e com y MM II.3. Flexão Pura de Barras Supondo

15 Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura MM Flexão Oblíqua: O momento resultante M não atua segundo um eixo principal II.3. Flexão Pura de Barras Supondo

16 Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura Equação da LN: ou LN A LN não coincide necessariamente com o eixo de flexão MM II.3. Flexão Pura de Barras Supondo

17 Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura Tensões Máximas: LN é a equação de um plano que intercepta a seção na LN. Logo, as máximas tensões na seção ocorrerão nos pontos mais afastados da LN: A e B A B xAxA yAyA xBxB yByB MM II.3. Flexão Pura de Barras Supondo

18 Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura Tensões Máximas: LN onde LN A B xAxA yAyA xBxB yByB MM II.3. Flexão Pura de Barras Supondo

19 Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura LN W [cm 3 ]: Módulos de Resistência à Flexão da Barra EI [kN.cm 2 ]: Módulos de Rigidez à Flexão da Barra LN A B xAxA yAyA xBxB yByB MM II.3. Flexão Pura de Barras Supondo

20 Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura LN LN A B xAxA yAyA xBxB yByB MM onde II.3. Flexão Pura de Barras Supondo

21 Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cálculo dos Deslocamentos Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura eixo da barra AA dz d x y Da Geometria Analítica, MM (equação da curvatura) II.3. Flexão Pura de Barras

22 Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura Da Geometria Analítica, MM (equação da curvatura)Como (hipótese das pequenas deformações), Cálculo dos Deslocamentos II.3. Flexão Pura de Barras

23 Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura MM Equação Diferencial da Linha Elástica (LE) Integrando esta equação, (expressão da rotação) (expressão da flecha) Cálculo dos Deslocamentos II.3. Flexão Pura de Barras

24 Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura MM As constantes de integração são determinadas a partir de: a)condições de apoio; b)condições de continuidade da LE Observação importante: Não se deve utilizar condições relacionadas ao carregamento; não são gerais para a viga e sim particulares para aquele carregamento específico. Cálculo dos Deslocamentos II.3. Flexão Pura de Barras

25 Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura MM Exemplos: a) Condições de apoio: Substituindo-se a expressão de M x e as condições de apoio nas expressões da rotação e da flecha, determina-se C 1 e C 2. Cálculo dos Deslocamentos II.3. Flexão Pura de Barras

26 Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura MM Exemplos: b) e Cálculo dos Deslocamentos II.3. Flexão Pura de Barras

27 Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura MM Exemplos: b) Condições de apoio: Substituindo-se a expressão de M x e as condições de apoio nas expressões da rotação e da flecha, determina-se C 1, C 2, C 3 e C 4. Condições de continuidade da LE: Cálculo dos Deslocamentos II.3. Flexão Pura de Barras

28 Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura MM Equação Diferencial da Linha Elástica (LE) Integrando esta equação, (expressão da rotação) (expressão da flecha) Cálculo dos Deslocamentos II.3. Flexão Pura de Barras

29 Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura MM (expressão da rotação) (expressão da flecha) Cálculo dos Deslocamentos II.3. Flexão Pura de Barras

30 Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura Convenção de Sinais: Cálculo dos Deslocamentos II.3. Flexão Pura de Barras

31 Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura Analogia de Mohr: equação diferencial da LE equação fundamental da Estática Viga Real:Viga Conjugada: viga realviga conjugada II.3. Flexão Pura de Barras Cálculo dos Deslocamentos

32 Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Analogia de Mohr: Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura A viga conjugada é construída a partir das condições iniciais (condições de apoio e de continuidade da LE) viga real: viga conjugada: viga conjugadaviga real II.3. Flexão Pura de Barras Cálculo dos Deslocamentos

33 Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura viga real: viga conjugada: viga conjugadaviga real Analogia de Mohr: A viga conjugada é construída a partir das condições iniciais (condições de apoio e de continuidade da LE) II.3. Flexão Pura de Barras Cálculo dos Deslocamentos

34 Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura viga real: viga conjugada: viga conjugadaviga real Analogia de Mohr: A viga conjugada é construída a partir das condições iniciais (condições de apoio e de continuidade da LE) II.3. Flexão Pura de Barras Cálculo dos Deslocamentos

35 Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura viga real: viga conjugada: viga conjugadaviga real Analogia de Mohr: A viga conjugada é construída a partir das condições iniciais (condições de apoio e de continuidade da LE) II.3. Flexão Pura de Barras Cálculo dos Deslocamentos

36 Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES MM Projeto de Barras Submetidas ao Momento Fletor Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura Resistência e Estabilidade: onde é a máxima tensão de cálculo é a tensão limite (função do estado limite considerado) e é o coeficiente de resistência e II.3. Flexão Pura de Barras

37 Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura Projeto de Barras Submetidas ao Momento Fletor MM Rigidez: e/ou onde é a rotação limite e é a flecha limite Ex: II.3. Flexão Pura de Barras

38 Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Fim da Aula 07


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