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Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Aula 02 continuação.

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1 Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Aula 02 continuação

2 Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.1. O que é a Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis I.2. Elementos Básicos I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas I.2.2. Esforços nas Estruturas I.2.3. Características Mecânicas dos Materiais I.3. Problemas e Métodos

3 Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas Translação e Rotação de Eixos Rotação: x1x1 x1x1 dx dy y1y1 x2x2 y2y2 x2x2 y2y2 y1y1

4 Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas Translação e Rotação de Eixos Rotação: x1x1 x1x1 dx dy y1y1 x2x2 y2y2 x2x2 y2y2 y1y1

5 Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas Translação e Rotação de Eixos Rotação: x1x1 x1x1 dx dy y1y1 x2x2 y2y2 x2x2 y2y2 y1y1

6 Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas Translação e Rotação de Eixos Rotação: x1x1 x1x1 dx dy y1y1 x2x2 y2y2 x2x2 y2y2 y1y1

7 Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas Translação e Rotação de Eixos Rotação: x1x1 x1x1 dx dy y1y1 x2x2 y2y2 x2x2 y2y2 y1y1

8 Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas Translação e Rotação de Eixos Rotação: x1x1 x1x1 dx dy y1y1 x2x2 y2y2 x2x2 y2y2 y1y1

9 Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas Translação e Rotação de Eixos Rotação: x1x1 x1x1 dx dy y1y1 x2x2 y2y2 x2x2 y2y2 y1y1

10 Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas Translação e Rotação de Eixos Rotação: x1x1 x1x1 dx dy y1y1 x2x2 y2y2 x2x2 y2y2 y1y1 Como os momentos de inércia são sempre positivos, haverá, para cada origem, uma posição dos eixos (x 2,y 2 ) tal que I x 2 =I máx e I y 2 =I min ou vice-versa. Estes são os Eixos Principais de Inércia para esta origem.

11 Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas Translação e Rotação de Eixos Determinação de I máx e I min : x1x1 x1x1 dx dy y1y1 x2x2 y2y2 x2x2 y2y2 y1y1 direções dos eixos principais

12 Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas Translação e Rotação de Eixos Determinação de I máx e I min : x1x1 x1x1 dx dy y1y1 x2x2 y2y2 x2x2 y2y2 y1y1 Logo:

13 Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas Translação e Rotação de Eixos Determinação de I máx e I min : x1x1 x1x1 dx dy y1y1 x2x2 y2y2 x2x2 y2y2 y1y1 Substituindo sen2 p e cos2 p nas expressões dos momentos de inércia, tem-se:

14 Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas Translação e Rotação de Eixos Determinação de I xy,máx e I xy,min : x1x1 x1x1 dx dy y1y1 x2x2 y2y2 x2x2 y2y2 y1y1

15 Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas Translação e Rotação de Eixos Determinação de I xy,máx e I xy,min : x1x1 x1x1 dx dy y1y1 x2x2 y2y2 x2x2 y2y2 y1y1 Logo:

16 Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas Translação e Rotação de Eixos Determinação de I xy,máx e I xy,min : x1x1 x1x1 dx dy y1y1 x2x2 y2y2 x2x2 y2y2 y1y1 Substituindo sen2 c e cos2 c nas expressões dos momentos de inércia, tem-se:

17 Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas Translação e Rotação de Eixos Círculo de Mohr: Se (x 1,y 1 ) são os eixos principais, I x 1 y 1 = 0 e = p onde (x,y) são eixos quaisquer

18 Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas Translação e Rotação de Eixos Círculo de Mohr:

19 Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas Translação e Rotação de Eixos Equação de uma circunferência onde x = I x,y e y = I xy, de centro em (I méd,0) e raio igual a (I máx - I min )/2 Círculo de Mohr:

20 Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas Translação e Rotação de Eixos Círculo de Mohr:

21 Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas Translação e Rotação de Eixos Círculo de Mohr:

22 Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas Translação e Rotação de Eixos Eixos Centrais Principais:Se a origem dos eixos principais for o CG, estes eixos são ditos centrais principais. eixos centrais eixos principais x y CG

23 Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas Momentos Principais de Inércia – Exemplos Momentos Axiais em relação aos eixos centrais principais:

24 Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas Momentos Principais de Inércia – Exemplos Momentos Axiais em relação aos eixos centrais principais:

25 Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas Momentos Principais de Inércia – Exemplos Momentos Axiais em relação aos eixos centrais principais: seções compostas por retângulos 1 2 (x R,y R ): eixos arbitrários de referência

26 Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas Momentos Principais de Inércia – Exemplos Momentos Axiais em relação aos eixos centrais principais: seções compostas por retângulos 1 2 (x R,y R ): eixos arbitrários de referência

27 Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas Momentos Principais de Inércia – Exemplos Momentos Axiais em relação aos eixos centrais principais: :momentos de inércia em relação aos eixos centrais principais do retângulo 1 :momentos de inércia em relação aos eixos centrais principais do retângulo 2 seções compostas por retângulos 1 2 (x R,y R ): eixos arbitrários de referência

28 Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas Momentos Principais de Inércia – Exemplos Momentos Axiais em relação aos eixos centrais principais: seções compostas por retângulos 1 2 Usando a translação de eixos:

29 Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas Momentos Principais de Inércia – Exemplos Momentos Axiais em relação aos eixos centrais principais: seções compostas por retângulos 1 2 x CG e y CG são eixos centrais, porém não necessariamente principais

30 Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas Momentos Principais de Inércia – Exemplos Momentos Axiais em relação aos eixos centrais principais: I x e I y são os momentos principais de inércia em relação aos eixos centrais seções compostas por retângulos 1 2 (x,y): eixos centrais principais

31 Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Fim da Aula 02


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