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EST 43 / AE 213 - ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer., Ph. D. Capítulo 2.

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1 EST 43 / AE ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer., Ph. D. Capítulo 2

2 EST 43 / AE ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer., Ph. D. Flambagem Primária

3 EST 43 / AE ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer., Ph. D. Flambagem Primária

4 EST 43 / AE ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer., Ph. D. Flambagem Secundária

5 EST 43 / AE ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer., Ph. D. Flambagem Secundária

6 EST 43 / AE ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer., Ph. D. Equações Básicas – Teoria da Elasticidade

7 EST 43 / AE ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer., Ph. D. O Método do Equilíbrio Neutro

8 EST 43 / AE ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer., Ph. D. A Coluna Simplesmente Apoiada - Hipóteses

9 EST 43 / AE ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer., Ph. D. A Coluna Simplesmente Apoiada z, w P x P P w MyMy P x P P L

10 EST 43 / AE ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer., Ph. D. Coluna Simplesmente Apoiada - Solução P w MyMy P x

11 EST 43 / AE ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer., Ph. D. O Comportamento da Coluna de Euler P max Equilíbrio Estável Equilíbrio Instável Equilíbrio Neutro

12 EST 43 / AE ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer., Ph. D. Coluna Bi-Engastada P P P P M0M0 M0M0 M0M0 w x L z, w x -EIw

13 EST 43 / AE ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer., Ph. D. Coluna Bi-Engastada - Solução P P M0M0 w x -EIw

14 EST 43 / AE ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer., Ph. D. Coluna Equivalente de Euler

15 EST 43 / AE ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer., Ph. D. Coluna em Balanço L P P x z, w P P L 2L Coluna Equivalente de Euler P

16 EST 43 / AE ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer., Ph. D. Coluna em Balanço - Solução w P P P EIw x w -EIw

17 EST 43 / AE ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer., Ph. D. Coluna com Restrições Elásticas M P P M / L z, w k P P L x M = k

18 EST 43 / AE ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer., Ph. D. Coluna com Restrições Elásticas - Solução P M / L P w x -EIw

19 EST 43 / AE ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer., Ph. D. Restrição Elástica – Casos Particulares

20 EST 43 / AE ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer., Ph. D. Coluna em Pórtico P P L x z, w L EI M

21 EST 43 / AE ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer., Ph. D. Comprimento Efetivo

22 EST 43 / AE ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer., Ph. D. Comprimento Efetivo

23 EST 43 / AE ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer., Ph. D. Coeficientes de Engastamento Restrições de Rotação nas Extremidades: a)Numa Extremidade b)Iguais, em Ambas as Extremidades

24 EST 43 / AE ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer., Ph. D. Coeficientes de Engastamento Restrições de Rotação Distintas nas Extremidades

25 EST 43 / AE ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer., Ph. D. Métodos de Energia O Método da Conservação da Energia O Princípio do Valor Estacionário da Energia Potencial Total Cálculo de Variações O método de Rayleigh-Ritz O método de Galerkin

26 EST 43 / AE ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer., Ph. D. O Método da Conservação da Energia Trabalho das Forças Externas ds dw dx s L L PP z, w x, u

27 EST 43 / AE ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer., Ph. D. Trabalho das Forças Externas

28 EST 43 / AE ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer., Ph. D. Energia de Deformação

29 EST 43 / AE ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer., Ph. D. Energia de Deformação

30 EST 43 / AE ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer., Ph. D. O Método da Conservação de Energia Exemplo A comparação com o valor exato, 2 EI/L 2, indica um erro de aproximadamente 21%.

31 EST 43 / AE ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer., Ph. D. O Método da Conservação de Energia A comparação com o valor exato, 2 EI/L 2, indica um erro de aproximadamente 1,3%.

32 EST 43 / AE ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer., Ph. D. O Método de Conservação de Energia Erro de 0,13% Erro de 0,014%

33 EST 43 / AE ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer., Ph. D. O Princípio do Valor Estacionário do Potencial Total Trabalho das Forças Externas u u WeWe W e P Se o corpo é elástico linear, o trabalho é dado pela expressão W e = ½ P u.

34 EST 43 / AE ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer., Ph. D. O Princípio do Valor Estacionário do Potencial Total F F Energia de Deformação

35 EST 43 / AE ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer., Ph. D. O Princípio do Valor Estacionário do Potencial Total Energia de Deformação

36 EST 43 / AE ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer., Ph. D. Energia de Deformação - Particularização Unidimensional

37 EST 43 / AE ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer., Ph. D. Energia de Deformação - Particularização Estado Plano de Tensões

38 EST 43 / AE ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer., Ph. D. O Princípio do Valor Estacionário do Potencial Total O Princípio dos Trabalhos Virtuais (PTV) reza: um corpo elástico de dimensões finitas está em equilíbrio se e somente se o trabalho virtual feito pelas forças externas for igual à energia de deformação virtual para qualquer deslocamento virtual arbitrário e pode ser expresso na forma Princípio do Valor Estacionário do Potencial Total: Uma estrutura elástica está em equilíbrio se e somente se a energia potencial total assumir um valor estacionário neste ponto, ou seja, se não ocorrer mudança na energia potencial total do sistema quando os seus deslocamentos são perturbados por pequenos valores arbitrários. Forças conservativas

39 EST 43 / AE ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer., Ph. D. O Princípio do Valor Estacionário do Potencial Total Resumo – Exemplo Seja,. A condição de equilíbrio é dada por. A natureza da equação do equilíbrio é dada por M k v p v v eq Mínimo g

40 EST 43 / AE ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer., Ph. D. Cálculo de Variações Deseja-se achar o extremo de

41 EST 43 / AE ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer., Ph. D. Cálculo de Variações

42 EST 43 / AE ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer., Ph. D. Cálculo de Variações Equação de Euler Possíveis condições de contorno

43 EST 43 / AE ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer., Ph. D. Cálculo de Variações - Exemplo k k P x P EI(x) L z, w Coluna com suportes elásticos – Formulação do Problema k z (x)

44 EST 43 / AE ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer., Ph. D. Coluna com Suportes Elásticos - Formulação

45 EST 43 / AE ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer., Ph. D. Problema de Auto-Valor de 4a. Ordem - Solução

46 EST 43 / AE ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer., Ph. D. Problema de Auto-Valor: Caso Especial Coluna simplesmente apoiada x w P Sistema de Coordenadas para Coluna em Balanço

47 EST 43 / AE ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer., Ph. D. Potencial de Cargas Concentradas e Distribuídas p x (x) PkPk d x xkxk Ponto de deslocamento horizontal nulo

48 EST 43 / AE ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer., Ph. D. O Método de Rayleigh-Ritz w j (x) são funções assumidas que neces- sariamente têm de satisfazer as condições de contorno geométricas do problema.

49 EST 43 / AE ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer., Ph. D. O Método de Rayleigh-Ritz

50 EST 43 / AE ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer., Ph. D. O Método de Rayleigh-Ritz: Caso Especial Considere, agora, o caso sem os apoios e fundação elástica (basta zerar os termos correspondentes na expressão dos a ij ). Se a coluna tem ambas as extremidades articuladas ou, uma extremidade livre e a outra engastada, os podem ser expressos em termos de em vez de.

51 EST 43 / AE ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer., Ph. D. Método de Rayleigh-Ritz: Exemplo P L/2 L EI 0 2EI 0 EI 0 2EI 0 Coluna de Seção Variável x x P P Erro de 0,97%

52 EST 43 / AE ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer., Ph. D. Método de Rayleigh-Ritz - Exemplo Viga de Seção Variável - Solução com dois Termos Isto dá, exata em até três dígitos significativos

53 EST 43 / AE ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer., Ph. D. Método de Galerkin

54 EST 43 / AE ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer., Ph. D. Método de Galerkin Se os w j (x) satisfizerem todas as condições de contorno, os dois primeiros termos da equação acima se anulam identicamente e Erro na satisfação da equação de Euler é feito ortogonal às funções de base w j (x) no domínio

55 EST 43 / AE ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer., Ph. D. Coluna Sujeita a Grandes Deflexões dw ds dx

56 EST 43 / AE ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer., Ph. D. Coluna Sujeita a Grandes Deflexões -Galerkin

57 EST 43 / AE ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer., Ph. D. Coluna Sujeita a Grandes Deflexões -Galerkin

58 EST 43 / AE ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer., Ph. D. Coluna Sujeita a Grandes Deflexões -Galerkin

59 EST 43 / AE ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer., Ph. D. Coluna Carregada Excentricamente

60 EST 43 / AE ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer., Ph. D. Coluna Carregada Excentricamente Curva Carga-Deflexão para Coluna Carregada Excentricamente

61 EST 43 / AE ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer., Ph. D. Coluna com Forma Imperfeita

62 EST 43 / AE ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer., Ph. D. Coluna com Forma Imperfeita

63 EST 43 / AE ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer., Ph. D. Coluna com Forma Imperfeita P/P E A1A2A

64 EST 43 / AE ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer., Ph. D. Curva Carga-Deslocamento (Teoria Linear)

65 EST 43 / AE ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer., Ph. D. Forma Imperfeita – Teoria Não-Linear

66 EST 43 / AE ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer., Ph. D. Colunas Imperfeitas - Observações 1) A posição reta é a única configuração de equilíbrio possível para colunas com imperfeições tendendo a zero, até que P = P E ; 2) Em P = P E as deflexões, para a coluna com imperfeições tendendo a zero, crescem rapidamente até que as fibras do lado côncavo excedem o limite de proporcionalidade; 3) Colunas com imperfeições usuais (relativamente pequenas) não fletem apreciavel- mente até que P se aproxime de P E. As deflexões crescem rapidamente à medida que P se aproxima de P E, seguindo de perto a curva para colunas com imperfeições tendendo a zero; 4) As deformações que crescem rapidamente logo atingem a tensão de escoamento e a coluna prática (pequenas imperfeições) entra em colapso quando P P E ; 5) As deflexões no colapso são pequenas o suficiente para permitir o uso da teoria linear, na qual a curvatura é aproximada por d 2 w/dx 2 ; 6) Colunas de manufatura pobre, com imperfeições sensíveis, entram em colapso sob cargas sensivelmente menores do que a de Euler.

67 EST 43 / AE ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer., Ph. D. Colunas Imperfeitas - Conclusões A coincidência física de que a capacidade última de absorção de carga de uma coluna com pequenas imperfeições, como aquelas manufaturadas para uso aeronáutico, pode ser prevista pela teoria linear para a coluna perfeita é afortunada. Significa que colunas que falham numa tensão média no regime elástico podem ser projetadas através da fórmula simples de Euler, não sendo necessária uma análise não-linear relativamente complicada. Um critério alternativo de estabilidade que pode ser enunciado como a carga crítica é aquela sob a qual as deformações de um sistema levemente imperfeito tendem a infinito. Desta forma, a carga crítica pode ser obtida através da análise linear de um sistema com qualquer tipo de imperfeição (deformação inicial, cargas excêntricas ou cargas laterais). Em placas e cascas a carga de colapso pode ser sensivelmente diferente daquela prevista pela análise da condição de equilíbrio neutro sob pequenas deformações.

68 EST 43 / AE ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer., Ph. D. Flambagem Inelástica de Colunas

69 EST 43 / AE ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer., Ph. D. Flambagem Inelástica de Colunas as fibras do lado côncavo comprimem, portanto segundo o módulo tangente E t, e as fibras do lado convexo estendem, portanto segundo o módulo de elasticidade E. Uma situação de carga constante durante a flambagem (como aquela da teoria linearizada de Euler para flambagem elástica) exige que haja reversão de tensões no lado convexo. todas as fibras continuam comprimindo ao se dar a flexão, de modo que o módulo efetivo para a seção é o módulo tangente E t. Isto só é possível, se a carga continua aumentando durante a flambagem; ?

70 EST 43 / AE ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer., Ph. D. Flambagem Inelástica de Colunas - Histórico Teoria de Euler Início S IXX Ensaios mostram que teoria de Euler é não conservativa para colunas curtas Lamarle mostra que teoria de Euler vale no regime elástico Considère e Engesser, independentemente, mostram que teoria de Euler vale para colunas esbeltas; vale também para colunas curtas se E é substituído por um módulo efetivo Engesser – módulo tangente Considère – módulo duplo (ou reduzido) 1910 Von Karman re-deriva a teoria do módulo duplo e ensaios a substanciam – a teoria do módulo duplo passa a ser aceita universalmente (30 anos)

71 EST 43 / AE ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer., Ph. D. Flambagem Inelástica de Colunas - Histórico Anos 1940 Extenso programa de ensaios em colunas em liga de alumínio pela indústria aeronáutica mostra a carga mais próxima àquela dada pelo módulo tangente do que Von Karman Críticos culpam as imperfeições iniciais e pobre controle sobre as condições de contorno pelas cargas menores obtidas nestes ensaios Indústria passa a utilizar a teoria do módulo tangente porque as condições dos testes eram típicas de condições operacionais 1947 Shanley resolve a questão

72 EST 43 / AE ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer., Ph. D. Modelo de Shanley rígida

73 EST 43 / AE ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer., Ph. D. Flambagem Inelástica - Conclusões A carga do módulo reduzido satisfaz o critério clássico de estabilidade – coluna reta e fletida coexistindo sem aumento de carga; A carga do módulo reduzido corresponde a um ponto de equilíbrio instável e realizável em laboratório somente em condições especiais; o seu cálculo é complicado Carga máxima está entre os valores fornecidos pelas teorias dos módulos tangente e duplo Carga máxima está mais perto do valor dado pela teoria do módulo tangente Engenheiro está interessado na carga última sob imper- feições e não no ponto de bifurcação A carga do módulo tangente é conservativa para colunas retas ou com pequenas imperfeições; cálculo simples USAR A TEORIA DO MÓDULO TANGENTE

74 EST 43 / AE ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer., Ph. D. Teoria do Módulo Tangente O devido cuidado deve ser tomado nos casos em que o comprimento efetivo depender do módulo: E t deve ser utilizado ao invés de E.

75 EST 43 / AE ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer., Ph. D. Módulo Tangente: Uso de Ramberg-Osgood

76 EST 43 / AE ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer., Ph. D. Uso do Modelo de Ramberg-Osgood Função de

77 EST 43 / AE ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer., Ph. D. Flambagem Inelástica – Formulas Empíricas Parábola de Johnson Fórmula da Reta

78 EST 43 / AE ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer., Ph. D. Exemplo 1

79 EST 43 / AE ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer., Ph. D. Exemplo 1 Cálculo de I x : Considere inicialmente considerada um retângulo de dimensão 2.5 x 2.75 e subtraia as contribuições das porções (1) e (2): (no cálculo acima foram desprezados os momentos de inércia dos triângulos em torno de seus eixos centroidais)

80 EST 43 / AE ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer., Ph. D. Exemplo 1 Cálculo de I y : Para falha em torno do eixo Portanto, a falha é crítica para flexão em torno do eixo y, com L/ = 41.

81 EST 43 / AE ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer., Ph. D. Exemplo 1 Caso 1: F c =50.5 ksi, donde P = 220 kips Caso 2: F c =40.4 ksi, donde P = 177 kips Caso 3: F c =6.1 ksi, donde P = 26.7 kips sujeitando este membro a uma temperatura de 600 o F durante ½ hora reduz a sua resistência de 220 kips à 26.7 kips, o que significa que a liga de alumínio é um material muito pobre para suportar cargas sob tais temperaturas, uma vez que a redução em resistência é muito grande.

82 EST 43 / AE ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer., Ph. D. Exemplo 2: Uso do Modelo de Ramberg-Osgood Caso 1: temp. amb.: E c = ksi, F 0.7 = 59.5 ksi, n = 26, F cy = 59 ksi A Fig. 2-41: F c /F 0.7 vs. B para n = 26: O resultado é praticamente o mesmo obtido no exemplo anterior! Caso2: ½ h. a 300 o F: E c = 9400 ksi, F 0.7 = 46.5 ksi, n = 29, F cy = 47 ksi A solução numérica fornece F c /F 0.7 = A solução via Fig é Calculadora ou processo iterativo, resulta em F c /F 0.7 = 0.854, ou F c = 50.8 ksi.

83 EST 43 / AE ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer., Ph. D. Exemplo 3 A figura mostra uma coluna de seção variável, simplesmente apoiada. O membro é usinado de uma barra extrudada de 1 in de diâmetro, feita em liga Al 7075-T6. O problema consiste em achar a carga admissível para o membro. As propriedades da seção podem ser calculadas através das expressões Desta forma, tem-se E 1 = E 2 = ksi Porção 1: Porção 2:

84 EST 43 / AE ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer., Ph. D. Exemplo 3

85 EST 43 / AE ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer., Ph. D. Exemplo 4 A figura mostra a coluna do exemplo anterior com as dimensões longitudinais encurtadas para 1/5 dos comprimentos originais. Não há alterações no que tange o material e seções transversais. Propriedades da extrusão Al 7075-T6: E c = ksi, F 0.7 = 72 ksi, n = 16.6, F cy = 70 ksi P = F c A = 33.5 x = 26.3 kips ; f 1 = 33.5 ksi e f 2 = 26.3 / = 59.5 ksi Com L/r = 12 / , obtém-se F c = 33.5 ksi. Portanto, Acima do Limite de Proporcionalidade Método Iterativo

86 EST 43 / AE ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer., Ph. D. Exemplo 4 Porção 1: f 1 / F 0.7 = 33.5 / 72 = E t1 = E = ksi Porção 2: f 2 / F 0.7 = 59.5 / 72 = E t2 = E = ksi P cr = 5.8 x x / 12 2 = 20.8 kips. P=26.3 Porção 1: f 1 / F 0.7 = / 72 = E t1 = E = ksi Porção 2: f 2 / F 0.7 = / 72 = E t2 = E = ksi P cr = 6.7 x x / 12 2 = 24 kips. P=23.6 f 1 = 23.6 / = ksi e f 2 = 23.6 / = ksi 2a. Iteração


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