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Estruturas Aeroespaciais Estabilidade Estrutural 1 Introdução Falha da estrutura: Falha do material –Deformação plástica –Rotura –Fadiga –Aumento incontrolável.

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1 Estruturas Aeroespaciais Estabilidade Estrutural 1 Introdução Falha da estrutura: Falha do material –Deformação plástica –Rotura –Fadiga –Aumento incontrolável de uma fractura Falha da estrutura –Flutter –Encurvadura

2 Estruturas Aeroespaciais Estabilidade Estrutural 2 Introdução Definição : –Vigas são elementos estruturais que têm uma das dimensões (o comprimento) muito maior do que as outras duas e que resistem a esforços de flexão. Objectivo : –Deduzir as equações de equilíbrio de uma viga plana em termos gerais de 2º ordem, linearizando depois as equações para o caso de pequenas deflexões

3 Estruturas Aeroespaciais Estabilidade Estrutural 3 Equações de equilíbrio Equilíbrio de um elemento de viga na sua configuração de deflectida, (viga falhou por encurvadura) z P

4 Estruturas Aeroespaciais Estabilidade Estrutural 4 Equações de equilíbrio Equações de equilíbrio de forças nas direcções horizontais e verticais e o equilibro de momentos

5 Estruturas Aeroespaciais Estabilidade Estrutural 5 Equações de equilíbrio Utilizando a equação de equilíbrio segundo z e substituindo na equação de equilíbrio dos momentos podemos obter:

6 Estruturas Aeroespaciais Estabilidade Estrutural 6 Hipótese de Navier: secções planas e perpendiculares ao eixo da viga, permanecem planas e perpendiculares após a deformação: x z R Equações de equilíbrio

7 Estruturas Aeroespaciais Estabilidade Estrutural 7 Comprimento da linha média: Extensão: Tensão Momento Equações de equilíbrio

8 Estruturas Aeroespaciais Estabilidade Estrutural 8 Para pequenas deformações onde podemos negligenciar o encurtamento da barra e as deformações por corte e obter: Substituindo na equação encontrada para o equilibro da viga obtemos: onde Equações de equilíbrio

9 Estruturas Aeroespaciais Estabilidade Estrutural 9 A solução da equação terá a seguinte forma: Sujeita às seguintes condições fronteira Apoio simples Encastramento Apoio Livre Equações de equilíbrio

10 Estruturas Aeroespaciais Estabilidade Estrutural 10 Viga simplesmente apoiada Sujeita às seguintes condições fronteira

11 Estruturas Aeroespaciais Estabilidade Estrutural 11 Viga simplesmente apoiada Obtemos as seguintes equações : Para não obtermos a solução trivial (C 1 =C 2 =C 3 =C 4 =0):

12 Estruturas Aeroespaciais Estabilidade Estrutural 12 Viga simplesmente apoiada As cargas que garentem a solução serão: A que correspondem a deflexões

13 Estruturas Aeroespaciais Estabilidade Estrutural 13 Como podemos obter o 2º modo se há deflexão com a menor carga critica (1º modo)? Introduzindo um apoio a meio da viga Viga simplesmente apoiada

14 Estruturas Aeroespaciais Estabilidade Estrutural 14 Assim o primeiro modo de encurvadura é suprimido. Logo a menor carga crítica: Esta carga é quatro vezes a carga critica da viga quando esta não tem o suporte a meio vão. Viga simplesmente apoiada

15 Estruturas Aeroespaciais Estabilidade Estrutural 15 As condições fronteira serão: Viga encastrada livre Em que V=0 pode ser escrito como

16 Estruturas Aeroespaciais Estabilidade Estrutural 16 Introduzindo as condições de fronteira acima descritas na Equação de equilíbrio: Para não obtermos a solução trivial (C 1 =C 2 =C 3 =C 4 =0): Viga encastrada livre

17 Estruturas Aeroespaciais Estabilidade Estrutural 17 As cargas criticas de encurvadura e os modos de instabilidade serão: Viga encastrada livre

18 Estruturas Aeroespaciais Estabilidade Estrutural 18 As condições fronteira serão: Viga encastrada apoiada

19 Estruturas Aeroespaciais Estabilidade Estrutural 19 Introduzindo as condições de fronteira acima descritas na Equação de equilíbrio: Para não obtermos a solução trivial (C 1 =C 2 =C 3 =C 4 =0): Viga encastrada apoiada

20 Estruturas Aeroespaciais Estabilidade Estrutural 20 A 1ª carga critica de encurvadura e o modo de instabilidade serão: Viga encastrada apoiada

21 Estruturas Aeroespaciais Estabilidade Estrutural 21 As condições fronteira serão: Viga duplamente encastrada

22 Estruturas Aeroespaciais Estabilidade Estrutural 22 Introduzindo as condições de fronteira acima descritas na Equação de equilíbrio: Solução possível Viga duplamente encastrada

23 Estruturas Aeroespaciais Estabilidade Estrutural 23 As cargas criticas de encurvadura e os modos de instabilidade serão: Viga duplamente encastrada z(x)=C 2 cos kx + C 4 = C 2 (cos kx-1)

24 Estruturas Aeroespaciais Estabilidade Estrutural 24 Comprimento equivalente Todas as cargas criticas encontradas podem ser descritas na forma: L e é o comprimento equivalente que seria necessário para uma coluna de Euler (simplesmente apoiada) ter a mesma carga crítica do que a coluna em questão

25 Estruturas Aeroespaciais Estabilidade Estrutural 25 Comprimento equivalente Para os casos estudados: Le=L Coluna de Euler (simplesmente apoiada) Le=0.5LColuna duplamente encastrada Le=0.7LColuna encastrada apoiada Le=2LColuna encastrada livre

26 Estruturas Aeroespaciais Estabilidade Estrutural 26 Exemplo Considere-se a coluna da figura abaixo, onde a rigidez da metade esquerda é quatro vezes maior que a rigidez de metade direita:

27 Estruturas Aeroespaciais Estabilidade Estrutural 27 Exemplo Continuação Considere-se a coluna da figura abaixo, onde a rigidez da metade esquerda é quatro vezes maior que a rigidez de metade direita:

28 Estruturas Aeroespaciais Estabilidade Estrutural 28 Exemplo Considere-se a coluna simplesmente apoiada, de rigidez EI e comprimento L, carregada a meio vão pela força axial P:

29 Estruturas Aeroespaciais Estabilidade Estrutural 29 Exemplo continuação Considere-se a coluna simplesmente apoiada, de rigidez EI e comprimento L, carregada a meio vão pela força axial P:

30 Estruturas Aeroespaciais Estabilidade Estrutural 30 Exemplo continuação Considere-se a coluna simplesmente apoiada, de rigidez EI e comprimento L, carregada a meio vão pela força axial P:

31 Estruturas Aeroespaciais Estabilidade Estrutural 31 Colunas com apoios elásticos Numa estrutura muitas vezes os apoios são da viga são elásticos e não rígidos: Em que os apoios de têm rigidez extensional k i (força por unidade de comprimento, N/m) e rigidez torcional h i (momento por radiano, Nm/rad).

32 Estruturas Aeroespaciais Estabilidade Estrutural 32 Colunas com apoios elásticos A equação de equilíbrio é a já encontrada para os casos anteriores. As condições de fronteira serão

33 Estruturas Aeroespaciais Estabilidade Estrutural 33 Colunas com apoios elásticos Pode-se então escrever para os momentos: Para o esforço transverso:

34 Estruturas Aeroespaciais Estabilidade Estrutural 34 Colunas com apoios elásticos Introduzindo os parâmetros: Obtêm-se

35 Estruturas Aeroespaciais Estabilidade Estrutural 35 Colunas com apoios elásticos Dado que a solução é a já encontrada : Podemos escrever:

36 Estruturas Aeroespaciais Estabilidade Estrutural 36 Colunas com apoios elásticos Que simplificando dá o sistema: Cuja equação característica é

37 Estruturas Aeroespaciais Estabilidade Estrutural 37 Colunas com apoios elásticos Vamos agora aplicar este método às vigas já estudadas: –Coluna simplesmente apoiada Não há deslocamento : Mola com rigidez infinita Rotação livre: Mola com rigidez zero

38 Estruturas Aeroespaciais Estabilidade Estrutural 38 Coluna simplesmente apoiada Introduzindo no sistema encontrado: Para não obter a solução trivial

39 Estruturas Aeroespaciais Estabilidade Estrutural 39 Coluna Encastrada-Livre –Encastramento Não há deslocamento : Mola com rigidez infinita Não há Rotação: Mola com rigidez infinita –Extremo livre Deslocamento livre: Mola com rigidez zero Rotação Livre: Mola com rigidez zero

40 Estruturas Aeroespaciais Estabilidade Estrutural 40 Coluna Encastrada-Livre Então o nosso sistema será: Com a solução não trivial:

41 Estruturas Aeroespaciais Estabilidade Estrutural 41 Coluna Encastrada-Apoiada –Encastramento Não há deslocamento : Mola com rigidez infinita Não há Rotação: Mola com rigidez infinita –Apoiada Não há deslocamento : Mola com rigidez infinita Rotação Livre: Mola com rigidez zero

42 Estruturas Aeroespaciais Estabilidade Estrutural 42 Coluna Encastrada-Apoiada Então o nosso sistema será: Com a solução não trivial:

43 Estruturas Aeroespaciais Estabilidade Estrutural 43 Coluna Duplamente Encastrada –Encastramento Não há deslocamento : Mola com rigidez infinita Não há Rotação: Mola com rigidez infinita

44 Estruturas Aeroespaciais Estabilidade Estrutural 44 Coluna Duplamente Encastrada Então o nosso sistema será: Pode-se obter:

45 Estruturas Aeroespaciais Estabilidade Estrutural 45 Coluna Duplamente Encastrada Cuja equação característica é

46 Estruturas Aeroespaciais Estabilidade Estrutural 46 Exemplo Considere-se uma coluna uniforme, simplesmente apoiada em um dos apoios e tendo o outro apoio com elasticidade extensional de rigidez, conforme a figura abaixo.

47 Estruturas Aeroespaciais Estabilidade Estrutural 47 Exemplo Considere-se agora a coluna do exemplo anterior mas à qual se substitui o apoio esquerdo por um encastramento, tal como demonstrado na figura abaixo:

48 Estruturas Aeroespaciais Estabilidade Estrutural 48 As colunas das estruturas porticadas são um exemplo muito comum de colunas com apoios elásticos. A rigidez extensional das vigas BC é igual a (EI) 1 /L 1. Na maioria dos casos práticos esta rigidez costuma tomar-se como infinitamente grande. Estabilidade de Pórticos

49 Estruturas Aeroespaciais Estabilidade Estrutural 49 Estabilidade de Pórticos Então o modelo para o cálculo das cargas críticas das colunas AB Onde a rigidez de rotação h do apoio B baseada nas propriedades de flexão das vigas BC

50 Estruturas Aeroespaciais Estabilidade Estrutural 50 Estabilidade de Pórticos Para deduzir estas rigidezes de rotação impõe-se um momento concentrado no apoio B da viga BC. Para o 1º caso:

51 Estruturas Aeroespaciais Estabilidade Estrutural 51 Estabilidade de Pórticos Onde são impostas as condições de fronteira:

52 Estruturas Aeroespaciais Estabilidade Estrutural 52 Estabilidade de Pórticos Obtém-se assim Ou seja a rigidez torcional para os casos 1,3 (viga apoiada no extremo C)

53 Estruturas Aeroespaciais Estabilidade Estrutural 53 Estabilidade de Pórticos Para o segundo caso (viga encastrada na extremidade C) Com condições de fronteira

54 Estruturas Aeroespaciais Estabilidade Estrutural 54 Estabilidade de Pórticos E Obtendo-se o sistema De onde se pode finalmente obter a rigidez torcional para os casos 2 e 4 :

55 Estruturas Aeroespaciais Estabilidade Estrutural 55 Estabilidade de Pórticos Podemos agora aplicar ao pórtico 1 e 2: –Apoio simples (x=0) Não há deslocamento : Mola com rigidez infinita α 0 = Rotação Livre: Mola com rigidez zero β 0 = 0 –Apoio elástico (x=L) Não há deslocamento : Mola com rigidez infinita α l = Rotação condicionada: Mola com rigidez β l = h 1,2 /EI

56 Estruturas Aeroespaciais Estabilidade Estrutural 56 Estabilidade de Pórticos Substituindo nas equações para a viga com apoios elásticos obtém-se: Ou seja

57 Estruturas Aeroespaciais Estabilidade Estrutural 57 Estabilidade de Pórticos Dado que o nosso β L depende de h que por sua vez depende da condição fronteira em C obtém-se para os casos 1 e 2

58 Estruturas Aeroespaciais Estabilidade Estrutural 58 Estabilidade de Pórticos Podemos agora aplicar ao pórtico 3 e 4: –Encastramento (x=0) Não há deslocamento : Mola com rigidez infinita α 0 = Não há Rotação : Mola com rigidez infinita β 0 = –Apoio elástico (x=L) Não há deslocamento : Mola com rigidez infinita α l = Rotação condicionada: Mola com rigidez β l = h 1,2 /EI

59 Estruturas Aeroespaciais Estabilidade Estrutural 59 Estabilidade de Pórticos Substituindo nas equações para a viga com apoios elásticos obtém-se: Ou seja

60 Estruturas Aeroespaciais Estabilidade Estrutural 60 Estabilidade de Pórticos E finalmente Dado que o nosso β L depende de h que por sua vez depende da condição fronteira em C obtém-se para os casos 3 e 4

61 Estruturas Aeroespaciais Estabilidade Estrutural 61 Exemplo Considerem-se agora os dois pórticos da figura abaixo, os quais se distinguem apenas pelas condições dos apoios. Determinar a carga crítica que provocará a instabilidade destes pórticos de modo anti-simétrico indicado na figura.

62 Estruturas Aeroespaciais Estabilidade Estrutural 62 Exemplo Considerem-se agora os dois pórticos da figura abaixo, os quais se distinguem apenas pelas condições dos apoios. Determinar a carga crítica que provocará a instabilidade destes pórticos de modo anti-simétrico indicado na figura.

63 Estruturas Aeroespaciais Estabilidade Estrutural 63 Coluna com carregamento descentrado Na prática as cargas axiais nunca se exercem segundo o eixo longitudinal da viga. Este factor pode ser devido a imperfeições geométricas, imperfeições do material ou mesmo desalinhamento da carga axial. Pode existir por isso uma excentricidade no carregamento axial.

64 Estruturas Aeroespaciais Estabilidade Estrutural 64 Coluna com carregamento descentrado Continuamos a ter a mesma equação de flexão: Cuja solução continua a ser :

65 Estruturas Aeroespaciais Estabilidade Estrutural 65 Coluna com carregamento descentrado Condições de fronteira para este caso

66 Estruturas Aeroespaciais Estabilidade Estrutural 66 Coluna com carregamento descentrado Resolvendo o sistema obtém-se Deflexão completamente determinada

67 Estruturas Aeroespaciais Estabilidade Estrutural 67 Coluna com carregamento descentrado Estudando o ponto de deflexão máxima: Deflexão máxima é obtida a x=L/2

68 Estruturas Aeroespaciais Estabilidade Estrutural 68 Coluna com carregamento descentrado Carga crítica quando Ou seja O momento de Flexão máximo E a correspondente tensão máxima de compressão

69 Estruturas Aeroespaciais Estabilidade Estrutural 69 Efeitos de imperfeições iniciais Então para um determinado ponto da coluna já existe um momento flector dado por

70 Estruturas Aeroespaciais Estabilidade Estrutural 70 Efeitos de imperfeições iniciais Ao ser aplicada a carga axial P o momento flector terá um acréscimo:

71 Estruturas Aeroespaciais Estabilidade Estrutural 71 Efeitos de imperfeições iniciais Dado que a deformada inicial também tem que respeitar as condições de fronteira z 0 (0)=z 0 (L)=z 0 (0)=z 0 (L)=0 a sua forma pode ser dado por: Então a equação de equilíbrio é:

72 Estruturas Aeroespaciais Estabilidade Estrutural 72 Efeitos de imperfeições iniciais A solução da equação anterior é: Introduzindo as condições de fronteira z(0)=0=z(L) (ou seja C 1 =0=C 2 )

73 Estruturas Aeroespaciais Estabilidade Estrutural 73 Efeitos de imperfeições iniciais Se P=Pcr, onde estamos numa situação de equilíbrio neutro, onde a deformada encontra-se perfeitamente definida. Logo E então pode-se escrever

74 Estruturas Aeroespaciais Estabilidade Estrutural 74 Efeitos de imperfeições iniciais A maior flecha será a meio vão da coluna:

75 Estruturas Aeroespaciais Estabilidade Estrutural 75 Vigas sujeitas a carregamentos axiais e transversais Vamos agora estudar a viga com carregamentos transversais para além da carga axial de compressão

76 Estruturas Aeroespaciais Estabilidade Estrutural 76 Vigas sujeitas a carregamentos axiais e transversais Analisando uma secção da coluna a

77 Estruturas Aeroespaciais Estabilidade Estrutural 77 Vigas sujeitas a carregamentos axiais e transversais Com a solução A que são impostas as condições de fronteira

78 Estruturas Aeroespaciais Estabilidade Estrutural 78 Vigas sujeitas a carregamentos axiais e transversais Obtendo-se a equação da deformada Dado que se assumiu que o carregamento é simétrico tem-se que a meio vão

79 Estruturas Aeroespaciais Estabilidade Estrutural 79 Vigas sujeitas a carregamentos axiais e transversais Temos também Que também se pode escrever

80 Estruturas Aeroespaciais Estabilidade Estrutural 80 Vigas sujeitas a carregamentos axiais e transversais a W A B

81 Estruturas Aeroespaciais Estabilidade Estrutural 81 Vigas sujeitas a carregamentos axiais e transversais Fazendo o equilíbrio de momentos na parte à direita e à esquerda da coluna Com solução

82 Estruturas Aeroespaciais Estabilidade Estrutural 82 Vigas sujeitas a carregamentos axiais e transversais Aplicando as condições de fronteira e continuidade

83 Estruturas Aeroespaciais Estabilidade Estrutural 83 Vigas sujeitas a carregamentos axiais e transversais De onde se obtém Pode-se considerar o caso particular da carga aplicada a meio vão x=L/2.


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