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REDEMAT - Métodos Numéricos e Estatísticos 1 Métodos Numéricos e Estatísticos Prof. Marcone Jamilson Freitas Souza Aula 7: Métodos numéricos para equações.

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1 REDEMAT - Métodos Numéricos e Estatísticos 1 Métodos Numéricos e Estatísticos Prof. Marcone Jamilson Freitas Souza Aula 7: Métodos numéricos para equações diferenciais 1 a ordem Passos múltiplos 2 a ordem

2 REDEMAT - Métodos Numéricos e Estatísticos 2 Equações diferenciais de 1 a ordem Métodos numéricos são usados quando não é possível obter uma solução geral, ou a forma dela é tão complicada que seu uso não é prático. Uma equação diferencial de 1 a ordem tem a forma, e em geral podemos escrevê-la como: Problema do valor inicial - uma equação diferencial - uma condição que deve ser satisfeita pela solução

3 REDEMAT - Métodos Numéricos e Estatísticos 3 Os métodos que estudaremos partem da idéia de que o espaço da variável independente (x) pode ser discretizado, formando uma rede x 0 x 1 = x 0 +h x 2 = x 1 +h h é o passo. O valor da função em cada ponto da rede é calculado a partir de expansões em série de Taylor.

4 REDEMAT - Métodos Numéricos e Estatísticos 4 Método de Euler ou Euler-Cauchy O valor de y para um passo h é dado pela expansão: Como em geral h é pequeno, suprimimos os termos de ordem O(h 2 ): h 2, h 3,..... Resultando na aproximação

5 REDEMAT - Métodos Numéricos e Estatísticos 5 O que resulta no processo iterativo A omissão dos termos de ordem superior a 2 causa erros de truncagem (que podem ocorrer junto a erros de arredondamento).

6 REDEMAT - Métodos Numéricos e Estatísticos 6 Exemplo: passo h=0,2 O erro não é (em geral) conhecido. Podemos estimá-lo utilizando um passo h´=2h

7 REDEMAT - Métodos Numéricos e Estatísticos 7 Método de Euler melhorado (2 a ordem) Método chamado de preditor-corretor.

8 REDEMAT - Métodos Numéricos e Estatísticos 8 Exemplo: o mesmo visto anteriormente

9 REDEMAT - Métodos Numéricos e Estatísticos 9 Método de Runge-Kutta (4 a ordem) Se f(x,y) não depender de y, o método reduz-se à regra de integração de Simpson

10 REDEMAT - Métodos Numéricos e Estatísticos 10 Comparação entre os métodos

11 REDEMAT - Métodos Numéricos e Estatísticos 11 Qual o valor mais adequado para o passo h? Se a função f varia muito com y, então h deve ser pequeno, para evitar erros de truncagem. Em geral, adota-se a proposta de que h h/2 se K 0,05 h 2h se 0,01 K h não muda se 0,05 K 0,01 Estimativa de erro:

12 REDEMAT - Métodos Numéricos e Estatísticos 12 Métodos para eq. dif. de segunda ordem P.V.I. Novamente o problema é obter os valores de y n e y n ´ para a seqüência x 1 = x 0 + h; x 2 = x 0 + 2h;... Começamos mais uma vez pelas expansões em série de Taylor da função e de sua derivada:

13 REDEMAT - Métodos Numéricos e Estatísticos 13 O método mais simples consiste em desprezar os termos em derivadas de ordem y´´´ ou superiores 1 o passo: 2 o passo:

14 REDEMAT - Métodos Numéricos e Estatísticos 14 Runge-Kutta-Nyström Valores iniciais: x 0, y 0, y 0 ´ passo h Saída

15 REDEMAT - Métodos Numéricos e Estatísticos 15 Equações diferenciais parciais Uma equação é dita quasilinear se for linear nas derivadas mais altas:

16 REDEMAT - Métodos Numéricos e Estatísticos 16 Equações de diferenças para Eq. de Laplace e Poisson Laplace Poisson Vamos ver o caso mais simples em duas dimensões (x e y): (x-h,y)(x,y)(x+h,y) h kkkk (x,y-k) (x,y+k)

17 REDEMAT - Métodos Numéricos e Estatísticos 17 (x-h,y)(x,y)(x+h,y) h kkkk (x,y-k) (x,y+k)

18 REDEMAT - Métodos Numéricos e Estatísticos 18 Para as derivadas segundas, desprezando os termos O(h 4 ), temos Juntando as aproximações das derivadas primeiras e segundas, fazendo h=k, obtemos a equação de diferenças correspondente à equação de Poisson:

19 REDEMAT - Métodos Numéricos e Estatísticos 19 Para f(x,y) = 0 temos a equação de Laplace. h é chamado de o comprimento da malha (mesh size). Equações elípticas - em geral - devem levar em conta problemas de contorno (condições previamente definidas numa dada fronteira - espacial, por exemplo). Casos mais comuns: Dirichlet: se u é definido na fronteira C Neumann: se u n = u/ n (derivada na direção normal) é definida na fronteira. Para resolver o problema, é necessário criar uma malha.: nós da rede ou da malha (P ij ) Fronteira C

20 REDEMAT - Métodos Numéricos e Estatísticos 20 Exemplo Uma placa de 12 cm de lado tem suas bordas mantidas às temperaturas mostradas na figura. Quais os valores das temperaturas no interior da placa? Será escolhido um comprimento h = 4 cm. 12 x y u=0 u=100 R u=0 u=100 P 02 P 10 P 20 P 01 P 11 P 21 P 12

21 REDEMAT - Métodos Numéricos e Estatísticos 21 A equação de transferência de calor é u t = c 2 (u xx +u yy ) Para o regime estacionário u t = 0, a equação se reduz à de Laplace u xx +u yy = 0 Para cada ponto da malha, temos a seguinte equação: u i+1,j + u i-1,j + u i,j+1 + u i,j-1 -4 u i,j = 0 P 11 : - 4u 11 + u 21 + u 01 + u 12 + u 10 = 0 - 4u 11 + u u = 0 - 4u 11 + u 21 + u 12 = u i+1,j u i-1,j u i,j+1 u i,j-1 u i,j

22 REDEMAT - Métodos Numéricos e Estatísticos u 11 + u 21 + u 12 = -200 u u 21 + u 22 = -200 u u 12 + u 22 = -100 u 21 +u u 22 = -100 Dando como resultados u 11 = u 21 = 87,5 (88,1) u 12 = u 22 = 62,5 (61,9)


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