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Métodos Numéricos e Estatísticos Prof. Marcone Jamilson Freitas Souza Aula 6: Métodos numéricos para determinação de autovalores e autovetores.

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1 Métodos Numéricos e Estatísticos Prof. Marcone Jamilson Freitas Souza Aula 6: Métodos numéricos para determinação de autovalores e autovetores

2 y´´ = Ay y = xe t y´´ = 2 xe t = Ay = A xe t dividindo por e t e fazendo = 2 A x = x Problemas de autovalores

3 Autovalor (eigenvalue, valor característico): é um número (real ou complexo) tal que a equação A x = x tem solução não trivial x 0 x é um autovetor (eigenvector). O conjunto de autovalores de A é chamado de o espectro de A. (A - I)x= 0 Só existe solução não trivial se det | A - I| = 0. Matrizes similares têm os mesmos autovalores. D é similar a A se existe uma matriz T tal que D = T -1 A T

4 Desvio espectral: se A tem o conjunto de autovalores 1, 2, , então A - k I terá como autovalores 1 - k, 2 - k, 3 - k..... O maior valor absoluto do conjunto { } é chamado de raio espectral de A. Os autovalores são as raízes da equação característica det | A - I| = 0 A soma dos autovalores é chamado de traço de A. traço A

5 Obtenção dos autovalores: método da potência Trata-se de um método iterativo. Iniciamos com um vetor x o 0, calculando um novo vetor x 1 = A x o. E assim sucessivamente: x 2 = A x 1 ; x 3 = A x x s = A x s-1 y = x s ; x = x s-1 (y = A x) Se A for uma matriz real e simétrica (A T = A), entãoé uma aproximação para um autovalor de A (em geral, o maior valor absoluto), com erro estimado em m o = x T x m 1 = x T y m 2 = y T y

6 Achado um autovalor 1, com achar os demais? Deve-se obter uma nova matriz A 1 cujo espectro seja {0, 2, 3...}. A obtenção de A 1 a partir de A é chamado de deflação de A. Deflação de Wielandt Temos a matriz A, um autovalor 1 e o correspondente autovetor x 1. A matriz A 1 pode ser obtida como: A 1 = (I - x 1 z 1 T ) A z 1 T é um vetor tal que z 1 T x 1 = 1 Atenção: =


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