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Métodos Numéricos e Estatísticos Prof. Marcone Jamilson Freitas Souza Aula 04: Sistemas Lineares.

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1 Métodos Numéricos e Estatísticos Prof. Marcone Jamilson Freitas Souza Aula 04: Sistemas Lineares

2 Sistemas lineares n equações n incógnitas homogêneo: se b j =0 j, caso contrário, não homogêneo o sistema de equações pode ser representado pelo produto de matrizes: AX=B, onde

3 Eliminação de Gauss Reduzir o sistema para forma triangular: elimina-se x 1 de E 2 a E n ; elimina-se x 2 de E 3 a E n ; Calcular x n a partir da última equação Fazer a substituição reversa: x n x (n-1) x 1

4 Fatoração LU A matriz A pode ser escrita como A = LU, onde L é o triângulo de baixo (lower), e U é o de cima (upper). A = L U LU Para matrizes não singulares, as linhas podem ser reordenadas e a matriz A é fatorável. A é não singular quando tem uma inversa A -1, tal que A A -1 = I I =

5 A solução é obtida resolvendo-se em primeiro lugar L y = B e depois Ux = y A x = B = L U x = B Métodos Doolittle: Os elementos da matriz L são os ij e os de U são os u ij.

6 Cholesky: Para A positiva, definida e simétrica: A = A T x T A x>0 para todo x 0, podemos escolher U= L T ( jk = u kj ). A = L L T

7 Métodos iterativos: Para sistemas esparsos (com muitos coeficientes igauis a zero) ou sistemas com grandes coeficientes na diagonal principal. Gauss-Seidel - rearranjar as equações de tal forma que os a jj = 1. A = I + L + U Agora L e U tem diagonal nula! Ax = (I + L + U) x = B I x = B - (L + U) x I x = x x = B - (L + U) x x (t+1) = B - L x (t+1) - U x t

8 Convergência: Um método iterativo converge se a sequência x 0 x 1 X x (t - 1) x t tende para um valor x t tal que r = x t - x (t - 1) é dado por |r ij | <, onde é a tolerância do processo ( <<1). O método de G.S. converge para todo X 0 se e somente se todos os autovalores da matriz C = (I - L) -1 U tiverem valores absolutos menores que 1. Se o maior autovalor for pequeno, a convergência é rápida. Condição suficiente: || C || < 1, sendo CCCCCC


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