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Resolução de Sistemas Lineares Métodos Exatos Fatoração LU Profª. Dra. Tina Andreolla Abril de 2008 Universidade Tecnológica Federal do Paraná-UTFPR CÁLCULO.

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1 Resolução de Sistemas Lineares Métodos Exatos Fatoração LU Profª. Dra. Tina Andreolla Abril de 2008 Universidade Tecnológica Federal do Paraná-UTFPR CÁLCULO NUMÉRICO Elaborado por: Elaine Harada Teixeira de Oliveira Universidade Federal do Amazonas Instituto de Ciências Exatas Departamento de Ciência da Computação

2 Resolução de Sistemas Lineares Métodos numéricos –Exatos ou Diretos Método de Eliminação de Gauss Fatoração LU –Métodos Iterativos ou Indiretos Método de Jacobi Método de Gauss-Seidel

3 Fatoração (Decomposição) LU Seja o sistema linear Ax = b. O processo de fatoração para resolução deste sistema consiste em decompor a matriz A dos coeficientes em um produto de dois ou mais fatores e, em seguida, resolver uma seqüência de sistemas lineares que nos conduzirá à solução do sistema linear original. Por exemplo, se pudermos realizar a decomposição: A = CD, o sistema linear Ax = b, pode ser escrito: (CD)x = b Se y = Dx, então resolver o sistema linear Ax = b é equivalente a resolver o sistema linear Cy = b, e em seguida, o sistema linear Dx = y.

4 Decomposição LU A vantagem dos processos de fatoração é que podemos resolver qualquer sistema linear que tenha A como matriz de coeficientes. Se o vetor b for alterado, a resolução do novo sistema linear será quase que imediata. A fatoração LU é um dos processos de fatoração mais empregados. Nesta fatoração a matriz L é triangular inferior com diagonal unitária e a matriz U é triangular superior.

5 Esquema Prático para a Fatoração LU Observe que teoricamente, para obtermos as matrizes L e U, devemos calcular a inversa de L k1 e U k1. Entretanto na prática podemos calcular L e U simplesmente aplicando a definição de produto e de igualdade de matrizes, isto é, impondo que LU = A.

6 Esquema Prático para a Fatoração LU Seja então: LU = e a matriz A =

7 Esquema Prático para a Fatoração LU Para obtermos os elementos da matriz L e da matriz U devemos calcular os elementos das linhas de U e os elementos da colunas de L na seguinte ordem: 1ª linha de U: Fazendo o produto da 1ª linha de L por todas as colunas de U e igualando com os elementos da 1ª linha de A, obtemos,

8 Esquema Prático para a Fatoração LU 1 ª coluna de L: Fazendo o produto de todas as linhas de L, (da 2 ª a até a n ª ), pela 1 ª coluna de U e igualando com os elementos da 1 ª coluna de A, (abaixo da diagonal principal), obtemos,

9 Esquema Prático para a Fatoração LU 2ª linha de U: Fazendo o produto da 2ª linha de L por todas as colunas de U, (da 2ª até a nª), e igualando com os elementos da 2ª linha de A, ( da diagonal principal em diante), obtemos,

10 Esquema Prático para a Fatoração LU 2ª coluna de L: Fazendo o produto de todas as linhas de L (da 3ª até a nª) pela 2ª coluna de U e igualando com os elementos da 2ª coluna de A, (abaixo da diagonal principal), obtemos,

11 Esquema Prático para a Fatoração LU Se continuarmos calculando 3ª linha de U, 3ª coluna de L, 4ª linha de U, 4ª coluna de L, etc..., teremos as fórmulas gerais:

12 Aplicação à Solução de Sistemas Lineares Seja o sistema Ax = b de ordem n determinado, onde A satisfaz as condições da fatoração LU. Então o sistema Ax = b pode ser escrito como: LUx = b. Transformamos o sistema linear Ax = b no sistema equivalente LUx = b cuja solução é facilmente obtida. Fazendo Ux = y, a equação acima reduz-se a Ly = b. Resolvendo o sistema triangular inferior Ly = b, obtemos o vetor y. Substituindo o valor de y no sistema Ux = y obtemos um sistema triangular superior cuja solução é o vetor x que procuramos. Assim, a aplicação da fatoração LU na resolução de sistemas lineares requer a solução de dois sistemas triangulares.

13 Exemplo 4.2 Seja: a) Verificar se A satisfaz as condições da fatoração LU. b) Fatorar A em LU. c) Através da fatoração LU, calcular o determinante de A. d) Resolver o sistema Ax = b, onde b = (0, 7, 5)t, usando a fatoração LU. A =


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