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RED143 - Métodos Numéricos e Estatísticos Marcone Jamilson Freitas Souza DECOM/ICEB/UFOP - 3559-1658

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Apresentação em tema: "RED143 - Métodos Numéricos e Estatísticos Marcone Jamilson Freitas Souza DECOM/ICEB/UFOP - 3559-1658"— Transcrição da apresentação:

1 RED143 - Métodos Numéricos e Estatísticos Marcone Jamilson Freitas Souza DECOM/ICEB/UFOP

2 Ementa: Erros Equações Interpolação Integração Autovalores Equações diferenciais Mínimos Quadrados

3 Avaliação : - listas de exercícios (50% da nota) - provinhas (50% da nota) Livro texto para Métodos Numéricos : E. KREYSZIG Advanced Engineering Mathematics Wiley

4 Software para métodos numéricos SCILAB Página Prof. J. Álvaro (Cálculo Numérico)

5 CAPÍTULO I - ERROS 1) Conversão de nºs binários em decimais: N= (b m b m-1... b 1 b 0 ) 2 = (b m 2 m + b m-1 2 m b b ) 10 Onde b i {0,1} i=1,...,m Ex 1 : (1001) 2 = (b 3 b 2 b 1 b 0 ) 2 = = ( ) 10 = = ( ) 10 = = (9 ) 10

6 2) Conversão de nºs decimais em binários: N=(d n d n-1... d 1 d 0 ) 10 = (b m b m-1... b 1 b 0 ) 2 = Onde m é a maior potência de 2 tal que 2 m N Ex 2 : (47) 10 = (b 5 b 4 b 3 b 2 b 1 b 0 ) 2 = = b b b b b b = = 32b b 4 + 8b 3 + 4b 2 + 2b 1 + b 0 = = ( ) 2

7 3) Representação de nºs decimais fracionários: f=(0.d 1 d 2... d k...) 10 = d d d k 10 -k +... Onde d j {0,1,...9} Se existir m tal que d k =0 k > m f tem representação decimal finita Ex 3 : f = 1/8 = = Ex 4 : f = 1/9 = = finita não finita

8 4) Conversão de nºs decimais fracionários em binários: f=(0.d 1 d 2... d k...) 10 = (0.b 1 b 2... b k...) 2 = b b b k 2 -k +... Onde b j {0,1} Como converter uma fração decimal em uma fração binária? Parte inteira binária de 2f Parte frac. binária de 2f b 1 = 0 ou 1 Seguindo esse raciocínio, obtemos b 3,..., b k, que são os dígitos que compõem a representação binária!

9 5) Aritmética de ponto flutuante Seja x um número qualquer na base em aritmética de ponto flutuante de t dígitos: x = ±(.d 1 d 2... d t ) e Onde: (i) ±(.d 1 d 2... d t ) e é uma fração na base (ii) d j {0,1,2,..., -1} (iii) e [m, M] (iv) t = número máximo de dígitos da mantissa

10 Um número não pode ser representado se o expoente e estiver fora dos limites m e M. Underflow se e < m Overflow se e > M Números cuja representação em aritmética de ponto flutuante de t dígitos extrapolam os t dígitos da mantissa são armazenados por arredondamento ou por truncamento. truncagem: descartar todos os decimais a partir de um específico arredondamento: –para cima, descartado para > 5 –para baixo, descartado para < 5 0,57 0,6 0,52 0,5 0,57 0,5 0,52 0,5

11 xRepresentação por arredondamento Representação por truncamento Underflow UnderflowOverflow Ex 5 : Seja um sistema de aritmética de ponto flutuante cuja mantissa tenha t=3 dígitos, base =10, m=-4 e M=4.

12 Ex 6 : Dados x = e y = , calcule x + y para um sistema em que t=4 e =10. x + y = =

13 Estimativa de erros Definição de erro: – = a - ã, onde –erro relativo: Tipos de erros: –operações (truncagens e arredondamento) –experimentais ã = valor aproximado a = valor verdadeiro (não conhecido) Na prática, também não é conhecido. Assim, devemos definir um valor limite para o erro: | |

14 Propagação de erros Seja y uma função das variáveis x 1, x 2, x 3,... x n, ou seja, y = f (x 1, x 2, x 3,... x n ) onde x i é uma medida com um erro experimental x i, ou seja x i = x i x i O erro y em y devido aos erros x i das medidas de x i pode ser obtido como:

15 Ex 7 : Para determinar o período de oscilação de um sistema massa-mola, um aluno mediu a constante elástica da mola e a massa do bloco, encontrando: m = (100,36 0,03) g e k = (200,4 0,7)x10 2 N/m O período de oscilação do sistema é: O erro T no período será dado por onde m = 0,03x10 -3 kg e k=0,7 x 10 2 N/m Substituindo esses valores na equação, obtém-se T = 2,66 x10 -5 s = 0,00266 x s T=(1,406 0,003) x s

16 CAPÍTULO II - EQUAÇÕES Objetivo: Resolver f(x) = 0, isto é, encontrar números i tais que f( i )=0

17 Fase I: isolar as raízes Teorema de Cauchy-Bolzano: Seja f uma função contínua em [a,b]. Se f(a) f(b) < 0 então existe pelo menos uma raiz [a,b]. Teorema: Se fpreservar o sinal em [a,b] então a raiz é única.

18 Ex 8 : Isolar a(s) raíz(es) positiva(s) de f(x) = 2x – cos(x) = 0; Processo I (Esboço do gráfico - varredura): Determinar um ponto inicial, um passo h e um ponto final de busca Façamos a = 0, h=1, b = 10 x f(x) Conclusão: Há raiz [0,1]. Como f(x) = 2 + sen(x) > 0 x [0,1] então é única.

19 Processo II: Transformar f(x) = 0 em g(x) – h(x) = 0 e encontrar os pontos de interseção de g e h. Ex 8 : Isolar a(s) raíz(es) positiva(s) de f(x) = 2x – cos(x) = 0; Ex 9 : Isolar a(s) raíz(es) de f(x) = x + ln(x) = 0; Resp.: [0, /2]. Ex 10 : Isolar a(s) raíz(es) de f(x) = xln(x) - 1 = 0; Resp.: [?, ?].

20 Fase II: Refinar cada raiz Diz-se que x k é uma boa aproximação para a raiz se: (i) |f(x k )| < (ii) |x k - | < Sendo a tolerância máxima admissível. Estes dois critérios não são equivalentes!

21 |f(x k )| >

22 |x k - | >

23 Solução: Impor os dois critérios: i) |f(x k )| < ii) |x k - | < Como utilizar o segundo critério não se conhecendo ? Solução 1: Reduzir o intervalo [a,b] que contém a raiz até que sua amplitude seja menor que, isto é, que b – a <. Se b – a < x k [a,b] tem-se: |x k - | < b – a < Obs.: Como um método numérico pode não convergir é comum impor um número máximo de iterações como critério adicional de parada.

24 Solução 2: Aplicar o teorema: TEOREMA: Sejam f e fcontínuas em [a,b]. Se fpreserva o sinal em [a,b] e se m=min|f(x)| e M=max|f(x)| para x [a,b], então: Além disso, se [a,b] é tão pequeno que M 2m então: |x k - | |x k – x k-1 | Conclusão: Para intervalo [a,b] suficientemente pequeno: |x k – x k-1 | < substitui |x k - | < |x k – | ((M-m)/m)|x k – x k-1 |

25 Método da Bisseção Idéia: Reduzir o intervalo que contém a raiz, dividindo-o ao meio a cada iteração.

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27 Método da Falsa Posição Idéia: Tomar como aproximação x para a raiz a média ponderada dos extremos do intervalo [a,b] com pesos |f(b)| e |f(a)| respectivamente. Desta forma, x estará mais próximo do extremo cuja imagem for menor. Simplificação:

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31 Método da Iteração Linear f(x) = 0, solução é o número x = s tal que f(s) = 0 métodos iterativos: iniciar com um valor tentativo x o, calcular iterativamente os valores x 1, x Ponto fixo: transformar f(x) = 0 em x = g(x) x o x 1 = g(x o ) x 1 x 2 = g(x 1 ) a solução da equação é o ponto fixo do processo x n+1 = x n = x* Algoritmos estáveis e instáveis

32 Exemplo : divergeconverge

33 Teorema: sendo x=s uma solução de x=g(x) e supondo que g(x) tem uma derivada contínua no intervalo J que contém s; então, se | g´(x) | <= k < 1 em J, o processo iterativo definido por x n+1 = g(x n ) para qualquer x o em J é convergente. Ex.: f(x) = x 3 + x - 1

34 Método de Newton (Newton-Raphson) f(x) tem uma derivada contínua f´(x) Exigências para convergência: (i) fe f devem preservar o sinal em [a,b] e não se anularem (ii) x 0 deve ser tal que f(x 0 ) f(x 0 ) > 0.

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