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Raizes de Equacões Não-lineares Aurora Pozo. Introdução Seja F(x) uma função real definida num intervalo [a, b]. Chama-se raiz(es) desta função em [a,

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1 Raizes de Equacões Não-lineares Aurora Pozo

2 Introdução Seja F(x) uma função real definida num intervalo [a, b]. Chama-se raiz(es) desta função em [a, b] a todo ξ є (a, b) tal que F(ξ) = 0.

3 Zeros de Equações Transcendentes e Polinomiais

4 Fases na determinação de raízes Fase I - Isolamento – Nesta fase o objetivo é o de determinar um intervalo [a; b], o menor possível, que contenha uma única raiz.

5 Teorema de Bolzano Teorema: Se uma função f(x) contínua num intervalo [a, b] assume valores de sinais opostos nos pontos extremos deste intervalo, isto é, f(a). f(b) < 0, então o intervalo conterá, no mínimo, uma raiz da equação f(x) = 0; em outras palavras haverá, no mínimo, um número ξ є (a, b) tal que F(ξ) = 0. Se f preservar o sinal em (a,b) então a raiz é única.

6 Procedimento I: Esboçar o gráfico de f, determinando os intervalos [xi, xi+1] que contenham uma única raiz. Este objetivo pode ser cumprido gerando-se uma tabela de pontos (xi; f(xi)), onde os pontos inicial e final, bem como o valor do passo considerado (xi+1 ¡ xi), dependerão do problema considerado e da experiência do usuário.

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8 Procedimento II: Decompor a função f, se possível, na forma f=g+h, onde os gráficos de g e h sejam conhecidos e mais simples. Neste caso, os pontos de interseção dos gráficos de g e h representam as raízes de f(x)=0.

9 Exemplo: Isolar as raízes de f(x) = 2x - cos x. Inicialmente, façamos a decomposição da função f dada: – f(x) = 0 2x - cos(x) = 0 – g(x) = 2x, h(x) = cos(x)

10 Funções Scilab function[a] = f(x) a = x*cos(x) - 1 function muda(x0,h) while (f(x0)*f(x0+h) >0), x0=x0+h; end a=x0 b=x0+h; printf('Muda sinal em:\na=%f f(x0)=%f\nb=%f f(x0+h)=%f',a,f(x0),b,f(x0+h)) x=[0:0.1:10]; y=x.*cos(x)-1; plot(x,y);xgrid();


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