ANÁLISE DOS MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO DIRETA

Apresentação em tema: "ANÁLISE DOS MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO DIRETA"— Transcrição da apresentação:

1 ANÁLISE DOS MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO DIRETA
Objetivos: Discutir em detalhe o problema da seleção de um passo de tempo apropriado t para integração direta. Analisar os conceitos fundamentais de estabilidade e exatidão dos esquemas de integração. Análise dos métodos de integração direta

2 Análise dos métodos de integração direta
Introdução Se as n equações são integradas com o mesmo passo do tempo Dt, a análise de sobreposição modal é equivalente à análise de integração direta onde o mesmo esquema de integração e passo é usado. A seleção de um passo de tempo apropriado nos métodos de integração é vital para garantir estabilidade e exatidão. A despeito da mudança de base no método de sobreposição modal, a solução é também obtida por integração numérica. Para estudar a exatidão da integração direta, presta-se atenção na integração das eqs. (a.1) e não mais na eq. original, com um passo de tempo comum. (a.1) Assumindo amortecimento proporcional,  é matriz diagonal, =diag(2ii), e i é a ração de amortecimento no i-ésimo modo. As variáveis na estabilidade e exatidão no método de integração direta são agora Dt, i e i (i=1,..,n). A eq. (a.1) envolve n equações desacopladas, a ser resolvida com a integral de Duhamel ou com um dos esquemas de integração numérica. Como as n equações são similares, estuda-se só a integração de uma fila (sistema 1GDL com período de vibração livre T, ração amortecimento  e carga r) : Como os períodos de vibração são conhecidos Ti=2/i (i=1,..,n), da para escolher na integração numérica de (1) um passo apropriado que garanta exatidão. Análise dos métodos de integração direta

3 Análise dos métodos de integração direta
Aproximação de integração direta e operadores de carga Método de diferença central Para o método de integração considerado, existe a relação recursiva: Aproxima-se a acel. e vel. no tempo t; e escreve-se a eq. de equilíbrio no tempo t. Resolvendo desde a primeira para t+tx Obtém-se a solução em qualquer tempo t+nt de forma recursiva, Escrevendo na forma recursiva: relação a ser usada para estabilidade e exatidão dos métodos de integração. O método é bastante usado para =0. Análise dos métodos de integração direta

4 Análise dos métodos de integração direta
Aproximação de integração direta e operadores de carga (cont.) Método de Houbolt Aproxima-se a acel. e vel. no tempo t+t com fórmulas de dois passos para atrás; e escreve-se a eq. de equilíbrio para t+ t. Resolvendo desde a primeira para t+tx, da para escrever de forma recursiva: Análise dos métodos de integração direta

5 Análise dos métodos de integração direta
Aproximação de integração direta e operadores de carga (cont.) Método  de Wilson (b.3) A aceleração varia linearmente no intervalo de tempo de t a t+ t, onde ≥1, usado para obter estabilidade e exatidão ótima. Fazendo = t nas equações (b.1) e colocada em (b.3), uma equação é obtida para a aceleração no tempo t+t, que lsubstituida em (b.2), a seguinte relação é estabelecida: Seja  o incremento no tempo desde o tempo t, onde t≤ ≤ t, logo para o intervalo t a t+ t tem-se: (b.1) No tempo t+t tem-se (b.2) A equação de equilíbrio é considerada no tempo t+ t, com uma carga extrapolada: Análise dos métodos de integração direta

6 Análise dos métodos de integração direta
Aproximação de integração direta e operadores de carga (cont.) Método de Newmark A equação de equilíbrio é considerada no tempo t+t: (b.4) A velocidade e deslocamento resultam de: (b.5) onde  e  são parâmetros a serem escolhidos para obter estabilidade e exatidão ótima, sendo que para estabilidade incondicional =1/2 e =1/4. Substituindo (b.5) em (b.4) obtém-se a aceleração no tempo t+t, que logo é colocada em (b.5) para obter a velocidade e descolamento no tempo t+t, resultando: Análise dos métodos de integração direta

7 Análise dos métodos de integração direta
Análise de estabilidade (cont.) Sendo Tn o menor período estima-se que t ≤Tn/10. A idealização de elementos finitos deve ser escolhida de forma que as p menores freqüências e modos sejam preditas exatamente, onde p é determinado pela distribuição e freqüência da carga. Então t ≤Tp/10. Percebe-se que na integração direta a resposta nos modos elevados é automaticamente integrada com esse t. Como não se pode integrar exatamente a resposta nos modos para o qual t ≥T/2. Qué resposta é predita na integração numérica quando t/T é grande? (questão de estabilidade da integração numérica) Estabilidade de um método de integração significa que as C.I. físicas para as equações com elevado t/T não pode ser amplificado artificialmente. Estabilidade significa que as C.I. no tempo t causada por erros nos deslocamentos, velocidades e acelerações, devidos a erros de arredondamento no computador, não crescem na integração. A estabilidade é assegurada se o passo do tempo é pequeno o suficiente para integrar exatamente a resposta nos componentes de altas freqüências. A estabilidade de um método de integração é determinada examinando o comportamento da solução numérica para condições iniciais arbitrárias. Análise dos métodos de integração direta

8 Análise dos métodos de integração direta
Análise de estabilidade (cont.) J não é necessariamente uma matriz diagonal mas pode exibir elementos unitários na linha superdiagonal (correspondente a autovalores múltiplos) Quando nenhuma carga é satisfeita, r=0, a solução para C.I. prescritas é: Um método de integração é estável incondicionalmente se a solução para toda C.I. não cresce sem limite para qualquer t, em particular quando t/T é grande. O método é condicionalmente estável se o dito é mantido previsto que t/T seja menor ou igual a um certo valor, denominado o limite da estabilidade. Seja (A) o raio espectral A definido por: onde o sinal do valor absoluto precisa a avaliação de i no plano complexo. O critério de estabilidade menciona que: 1. Se os autovalores são distintos, (A) ≤1 2. Se A contem autovalores múltiplos, o módulo desses autovalores será ≤1. Usando a decomposição espectral de A: Se (A)<1, Jn→0 e An→0, e a diminuição em An é mais rápido se (A) é pequeno. P: matriz de autovetores de A J: forma canônica de Jordan de A, com autovalores i de A na sua diagonal Análise dos métodos de integração direta

9 Análise dos métodos de integração direta
Análise de estabilidade (cont.) Os autovalores são as raízes do polinômio característico p(l): O raio espectral e portanto a estabilidade do método depende da relação do tempo t/T, da relação de amortecimento  e dos parâmetros de integração. Para t/T e  dados, é possível que nos métodos de  Wilson e Newmark se varie os parâmetros  e a, d para obter estabilidade e exatidão ótimas. Para estabilidade precisa-se que |l1,l2|≤1, ou seja (A) ≤1, e esta da a condição t/T≤1/. Exemplo Então, o método de diferença central é estável previsto que t≤ tcr, sendo que tcr=Tn/ . Análise de estabilidade do método de diferença central para =0,0. Observa-se que o limite de estabilidade para o mesmo passo de tempo é também aplicável quando >0. O problema de autovalor a ser resolvido é: Análise dos métodos de integração direta

10 Análise dos métodos de integração direta
Análise de estabilidade (cont.) A estabilidade dos métodos de integração é efetuada com os operadores de aproximação, onde o método de diferença central é condicionalmente estável. Para avaliar um valor ótimo de  para o método  de Wilson, calcula-se a variação do raio espectral do operador de aproximação como função de , (estabilidade incondicional para ≥1,37). Raio espectral de operadores de aproximação, caso =0 Raio espectral (A) função de  no método Wilson  No método de Newmark os parâmetros a e d podem ser modificados para obter estabilidade e exatidão ótima, estabilidade incondicional para d≥0,5 e a≥0,25(d+0,5)2. O analista deve escolher certo método, influenciado pelas características de exatidão do método para certo t. Análise dos métodos de integração direta

11 Análise dos métodos de integração direta
Análise de exatidão Considera-se para uma análise de exatidão simples a solução do problema de valor inicial com solução exata x=cost: O custo de usar um certo método de integração depende do número de passos. Nos métodos explícitos o passo fica definido pelo tcr.. Nos métodos implícitos o passo deve gerar uma solução exata. Como a integração direta das equações, No método de Houbolt as C.I. de deslocamento exato para tx e 2tx através da solução x=cost são empregadas. é equivalente a integrar simultaneamente as n equações desacopladas da forma, Os erros nas integrações são avaliados em termos do alongamento do período PE e do decremento da amplitude AD. da para estudar a exatidão da integração nestas como função de t/T,  e r. A solução destas equações é, usada para avaliar os erros da integração. Análise dos métodos de integração direta

12 Análise dos métodos de integração direta
Análise de exatidão (cont.) As equações onde t/T é pequeno são integradas exatamente, mas quando t/T é grande a resposta é obtida sem precisão. Os desenhos mostram os percentuais de PE e AD como função de t/T obtidas ao comparar a solução numérica com a exata. Nos métodos explícitos o passo deve ser escolhido de forma que t≤ tcr, mas só quando a carga ou as CI excitam as altas freqüências deve ser usado t≤ tcr.. Nos métodos implícitos o t pode ser muito maior mas pequeno o suficiente de forma que a resposta nos modos que contribuam significativamente à resposta seja calculada exatamente. Alongamento do período e diminuição da amplitude percentual As integrações numéricas usando qualquer método são exatas quando t/T≤0,01. Para valores superiores o método de  Wilson introduz menor PE e AD que o método de Houbolt, e Newmark introduz só PE. Análise dos métodos de integração direta