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MÉTODOS COMPUTACIONAIS NA DINÂMICA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Análise dos métodos de integração direta1 Objetivos: Discutir em detalhe o problema.

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1 MÉTODOS COMPUTACIONAIS NA DINÂMICA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Análise dos métodos de integração direta1 Objetivos: Discutir em detalhe o problema da seleção de um passo de tempo apropriado t para integração direta. Analisar os conceitos fundamentais de estabilidade e exatidão dos esquemas de integração. ANÁLISE DOS MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO DIRETA

2 MÉTODOS COMPUTACIONAIS NA DINÂMICA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Análise dos métodos de integração direta2 Introdução A seleção de um passo de tempo apropriado nos métodos de integração é vital para garantir estabilidade e exatidão. A despeito da mudança de base no método de sobreposição modal, a solução é também obtida por integração numérica. Assumindo amortecimento proporcional, é matriz diagonal, =diag(2 i i ), e i é a ração de amortecimento no i-ésimo modo. A eq. (a.1) envolve n equações desacopladas, a ser resolvida com a integral de Duhamel ou com um dos esquemas de integração numérica. (a.1) Como os períodos de vibração são conhecidos T i =2 / i (i=1,..,n), da para escolher na integração numérica de (1) um passo apropriado que garanta exatidão. Se as n equações são integradas com o mesmo passo do tempo t, a análise de sobreposição modal é equivalente à análise de integração direta onde o mesmo esquema de integração e passo é usado. Para estudar a exatidão da integração direta, presta-se atenção na integração das eqs. (a.1) e não mais na eq. original, com um passo de tempo comum. As variáveis na estabilidade e exatidão no método de integração direta são agora t, i e i (i=1,..,n). Como as n equações são similares, estuda-se só a integração de uma fila (sistema 1GDL com período de vibração livre T, ração amortecimento e carga r) :

3 MÉTODOS COMPUTACIONAIS NA DINÂMICA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Análise dos métodos de integração direta3 Aproximação de integração direta e operadores de carga Para o método de integração considerado, existe a relação recursiva: Obtém-se a solução em qualquer tempo t+n t de forma recursiva, relação a ser usada para estabilidade e exatidão dos métodos de integração. Método de diferença central Resolvendo desde a primeira para t+ t x Escrevendo na forma recursiva: O método é bastante usado para =0. Aproxima-se a acel. e vel. no tempo t; e escreve-se a eq. de equilíbrio no tempo t.

4 MÉTODOS COMPUTACIONAIS NA DINÂMICA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Análise dos métodos de integração direta4 Aproximação de integração direta e operadores de carga (cont.) Método de Houbolt Resolvendo desde a primeira para t+ t x, da para escrever de forma recursiva: Aproxima-se a acel. e vel. no tempo t+ t com fórmulas de dois passos para atrás; e escreve-se a eq. de equilíbrio para t+ t.

5 MÉTODOS COMPUTACIONAIS NA DINÂMICA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Análise dos métodos de integração direta5 Aproximação de integração direta e operadores de carga (cont.) Método de Wilson A aceleração varia linearmente no intervalo de tempo de t a t+ t, onde 1, usado para obter estabilidade e exatidão ótima. Seja o incremento no tempo desde o tempo t, onde t t, logo para o intervalo t a t+ t tem-se: A equação de equilíbrio é considerada no tempo t+ t, com uma carga extrapolada: Fazendo = t nas equações (b.1) e colocada em (b.3), uma equação é obtida para a aceleração no tempo t+ t, que lsubstituida em (b.2), a seguinte relação é estabelecida: (b.1) No tempo t+ t tem-se (b.2) (b.3)

6 MÉTODOS COMPUTACIONAIS NA DINÂMICA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Análise dos métodos de integração direta6 Aproximação de integração direta e operadores de carga (cont.) Método de Newmark A equação de equilíbrio é considerada no tempo t+ t: A velocidade e deslocamento resultam de: onde e são parâmetros a serem escolhidos para obter estabilidade e exatidão ótima, sendo que para estabilidade incondicional =1/2 e =1/4. (b.4) (b.5) Substituindo (b.5) em (b.4) obtém-se a aceleração no tempo t+ t, que logo é colocada em (b.5) para obter a velocidade e descolamento no tempo t+ t, resultando:

7 MÉTODOS COMPUTACIONAIS NA DINÂMICA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Análise dos métodos de integração direta7 Análise de estabilidade (cont.) Sendo T n o menor período estima-se que t T n /10. A idealização de elementos finitos deve ser escolhida de forma que as p menores freqüências e modos sejam preditas exatamente, onde p é determinado pela distribuição e freqüência da carga. Então t T p /10. Percebe-se que na integração direta a resposta nos modos elevados é automaticamente integrada com esse t. Como não se pode integrar exatamente a resposta nos modos para o qual t T/2. Qué resposta é predita na integração numérica quando t/T é grande? (questão de estabilidade da integração numérica) Estabilidade de um método de integração significa que as C.I. físicas para as equações com elevado t/T não pode ser amplificado artificialmente. Estabilidade significa que as C.I. no tempo t causada por erros nos deslocamentos, velocidades e acelerações, devidos a erros de arredondamento no computador, não crescem na integração. A estabilidade é assegurada se o passo do tempo é pequeno o suficiente para integrar exatamente a resposta nos componentes de altas freqüências. A estabilidade de um método de integração é determinada examinando o comportamento da solução numérica para condições iniciais arbitrárias.

8 MÉTODOS COMPUTACIONAIS NA DINÂMICA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Análise dos métodos de integração direta8 Quando nenhuma carga é satisfeita, r=0, a solução para C.I. prescritas é: Um método de integração é estável incondicionalmente se a solução para toda C.I. não cresce sem limite para qualquer t, em particular quando t/T é grande. O método é condicionalmente estável se o dito é mantido previsto que t/T seja menor ou igual a um certo valor, denominado o limite da estabilidade. Usando a decomposição espectral de A: P: matriz de autovetores de A J: forma canônica de Jordan de A, com autovalores i de A na sua diagonal J não é necessariamente uma matriz diagonal mas pode exibir elementos unitários na linha superdiagonal (correspondente a autovalores múltiplos) Seja (A) o raio espectral A definido por: onde o sinal do valor absoluto precisa a avaliação de i no plano complexo. O critério de estabilidade menciona que: 1. Se os autovalores são distintos, (A) 1 2. Se A contem autovalores múltiplos, o módulo desses autovalores será 1. Se (A)<1, J n 0 e A n 0, e a diminuição em A n é mais rápido se (A) é pequeno. Análise de estabilidade (cont.)

9 MÉTODOS COMPUTACIONAIS NA DINÂMICA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Análise dos métodos de integração direta9 O raio espectral e portanto a estabilidade do método depende da relação do tempo t/T, da relação de amortecimento e dos parâmetros de integração. Para t/T e dados, é possível que nos métodos de Wilson e Newmark se varie os parâmetros e, para obter estabilidade e exatidão ótimas. Exemplo Análise de estabilidade do método de diferença central para =0,0. O problema de autovalor a ser resolvido é: Os autovalores são as raízes do polinômio característico p( ): Para estabilidade precisa-se que | 1, 2 |1, ou seja (A) 1, e esta da a condição t/T1/. Então, o método de diferença central é estável previsto que t t cr, sendo que t cr =T n /. Observa-se que o limite de estabilidade para o mesmo passo de tempo é também aplicável quando >0. Análise de estabilidade (cont.)

10 MÉTODOS COMPUTACIONAIS NA DINÂMICA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Análise dos métodos de integração direta10 A estabilidade dos métodos de integração é efetuada com os operadores de aproximação, onde o método de diferença central é condicionalmente estável. Para avaliar um valor ótimo de para o método de Wilson, calcula-se a variação do raio espectral do operador de aproximação como função de, (estabilidade incondicional para 1,37). No método de Newmark os parâmetros e podem ser modificados para obter estabilidade e exatidão ótima, estabilidade incondicional para 0,5 e 0,25( +0,5) 2. O analista deve escolher certo método, influenciado pelas características de exatidão do método para certo t. Análise de estabilidade (cont.) Raio espectral de operadores de aproximação, caso =0Raio espectral (A) função de no método Wilson

11 MÉTODOS COMPUTACIONAIS NA DINÂMICA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Análise dos métodos de integração direta11 Como a integração direta das equações, Análise de exatidão é equivalente a integrar simultaneamente as n equações desacopladas da forma, da para estudar a exatidão da integração nestas como função de t/T, e r. A solução destas equações é, usada para avaliar os erros da integração. Considera-se para uma análise de exatidão simples a solução do problema de valor inicial com solução exata x=cos t: No método de Houbolt as C.I. de deslocamento exato para t x e 2 t x através da solução x=cos t são empregadas. O custo de usar um certo método de integração depende do número de passos. Nos métodos explícitos o passo fica definido pelo t cr.. Nos métodos implícitos o passo deve gerar uma solução exata. Os erros nas integrações são avaliados em termos do alongamento do período PE e do decremento da amplitude AD.

12 MÉTODOS COMPUTACIONAIS NA DINÂMICA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Análise dos métodos de integração direta12 Análise de exatidão (cont.) Os desenhos mostram os percentuais de PE e AD como função de t/T obtidas ao comparar a solução numérica com a exata. As integrações numéricas usando qualquer método são exatas quando t/T0,01. Para valores superiores o método de Wilson introduz menor PE e AD que o método de Houbolt, e Newmark introduz só PE. As equações onde t/T é pequeno são integradas exatamente, mas quando t/T é grande a resposta é obtida sem precisão. Nos métodos explícitos o passo deve ser escolhido de forma que t t cr, mas só quando a carga ou as CI excitam as altas freqüências deve ser usado t t cr.. Nos métodos implícitos o t pode ser muito maior mas pequeno o suficiente de forma que a resposta nos modos que contribuam significativamente à resposta seja calculada exatamente. Alongamento do período e diminuição da amplitude percentual


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