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Professor Rodrigo Cavalcanti. Prof: Rodrigo Cavalcanti Progressão Aritmética Professor: Eduardo Jatobá Imaginemos uma situação em que um atleta inicie.

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1 professor Rodrigo Cavalcanti

2 Prof: Rodrigo Cavalcanti Progressão Aritmética Professor: Eduardo Jatobá Imaginemos uma situação em que um atleta inicie seu treinamento numa pista de corrida de 300 m, percorrendo 2 voltas no 1º dia, 5 voltas no 2º dia, 8 voltas no 3º dia e assim por diante, até atingir o limite da sua capacidade. Monte uma tabela que informe a quantidade de voltas dadas em função do número de dias, detalhando como se chega ao resultado da quantidade de voltas dadas. (Monte sua tabela até o 5º dia) Exemplo do detalhamento: 1º dia = 2 voltas 2º dia = 2 voltas + 3 voltas = 5 voltas Há algo que sempre se repete nessa tabela? Em caso afirmativo, o que se repete?

3 Prof: Rodrigo Cavalcanti Progressão Aritmética Professor: Eduardo Jatobá Qual a quantidade de voltas dadas no 10º dia? Na sua opinião, por que este exemplo é uma PA? A partir do exemplo dado, generalize o conceito de PA. Agora, compare o seu conceito com o conceito formal de PA Progressão Aritmética (PA) é toda sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual à soma do termo anterior com uma constante r. O número r é chamado de razão da progressão aritmética. Exemplos a) A sequência (4, 9, 14, 19, 24, 29, 34, 39) é uma PA finita de razão r = 5 b) A sequência (18,10, 2, -6, -14,...) é uma PA infinita de razão r = - 8 c) A sequência (4, 4, 4, 4, 4,...) é uma PA infinita de razão r = 0.

4 Prof: Rodrigo Cavalcanti Progressão Aritmética Professor: Eduardo Jatobá No exemplo da pista de atletismo, temos uma PA finita ou infinita? Por que? Qual a razão do problema proposto? Considere uma PA qualquer de razão r: Como podemos obter a razão r na sequência acima? Resposta: A que conclusão podemos chegar a partir do resultado supracitado? Resposta: A diferença de dois termos consecutivos quaisquer é constante e igual à razão r.

5 Prof: Rodrigo Cavalcanti Progressão Aritmética Professor: Eduardo Jatobá Exercícios Resolvidos 01. Calcular a razão da PA que tem termos Resolução:

6 Prof: Rodrigo Cavalcanti Progressão Aritmética Professor: Eduardo Jatobá Exercícios Resolvidos 02. Verificar se as sequências abaixo são progressões aritméticas ou não. a) (5, 9, 13, 17, 21) Resposta: É uma PA de razão 4. b) (-2, -5, -8, -12) Resposta: Não é uma PA, pois a mesma não possui uma razão constante. c) tal que Resolução: Para n = 1, temos: Para n = 2, temos:

7 Prof: Rodrigo Cavalcanti Progressão Aritmética Professor: Eduardo Jatobá Para n = 3, temos: Para n = 4, temos: Logo, podemos escrever a seguinte sequência: (4, 7, 10, 13) Resposta: É uma PA de razão 3. d) Resolução: Para n = 1, temos: Para n = 2, temos: Para n = 3, temos: Para n = 4, temos: Logo, podemos escrever a seguinte sequência: (7,11, 15, 19,...) Resposta: É uma PA de razão 4.

8 Prof: Rodrigo Cavalcanti Progressão Aritmética Professor: Eduardo Jatobá Classificação de uma PA Uma PA é crescente quando cada termo, a partir do segundo, é maior que o anterior. Isso só ocorre quando a razão é positiva. Exemplo: (6, 10, 14, 18,...) é uma PA crescente pois sua razão é 4, ou seja, é uma razão positiva. Uma PA é decrescente quando cada termo, a partir do segundo, é menor que o anterior. Isso só ocorre quando a razão é negativa. Exemplo: (13, 8, 3, -2, -7,...) é uma PA crescente pois sua razão é -5, ou seja, é uma razão negativa. Uma PA é constante quando todos os seus termos são iguais. Isso só ocorre quando a razão é nula. Exemplo: (33, 33, 33, 33,...) é uma PA constante pois sua razão é 0, ou seja, é uma razão nula.

9 Prof: Rodrigo Cavalcanti Progressão Aritmética Professor: Eduardo Jatobá Exercício Resolvido 01. Determinar a PA decrescente de três termos, sabendo que a soma desses termos é 3 e o produto deles é. Resolução: 2º termo: x 1º termo: x - r 3º termo: x + r Se chamarmos cada termo de uma incógnita diferente teremos um problema, pois ficaremos com duas equações e três incógnitas, o que impossibilitará a resolução deste exercício. Para resolvermos este problema, basta chamar o termo do meio de x e escrever o 1º e o 3º termos em função do 2º termo. Logo, teremos:

10 Prof: Rodrigo Cavalcanti Progressão Aritmética Professor: Eduardo Jatobá 1ª informação: a soma desses termos é 3. Equação: 2ª informação: o produto deles é. Equação: Substituindo x por 1, temos: x (-1) Não serve, pois r > 0 Serve, pois r < 0

11 Prof: Rodrigo Cavalcanti Progressão Aritmética Professor: Eduardo Jatobá O que a questão pede?: determinar a PA decrescente de três termos Para encontrarmos os valores dos três termos, substituiremos x por 1 e r por - 2/3. Logo teremos os seguintes termos: 1º termo: x – r = 2º termo: x 3º termo: x + r = Concluímos então que a PA decrescente de três termos é dada por:

12 Prof: Rodrigo Cavalcanti Progressão Aritmética Professor: Eduardo Jatobá Fórmula do Termo Geral de uma PA Podemos escrever qualquer termo de uma PA apenas em função do 1º termo e da razão. Assim, podemos escrever: O que sempre se repete nos termos? Perceba que o número que multiplica a razão possui uma unidade a menos que o número que representa o termo da PA. Como podemos escrever o vigésimo termo de uma PA apenas em função do 1º termo e da razão? Como podemos escrever o enésimo termo de uma PA apenas em função do 1º termo e da razão?

13 Prof: Rodrigo Cavalcanti Progressão Aritmética Professor: Eduardo Jatobá Exercícios Resolvidos 01. Determinar o 51º termo da PA (4, 10, 16, 22,...) Resolução: De acordo com o que vimos, podemos calcular o 51º termo da PA acima utilizando a seguinte equação: Podemos perceber que, para encontrarmos o 51º termo, necessitamos dos valores do primeiro termo e da razão. Observando a PA acima, podemos verificar que o primeiro termo é o número 4 e que a razão é o número 6. Então, teremos: Concluímos, assim, que o 51º termo da PA é 304.

14 Prof: Rodrigo Cavalcanti Progressão Aritmética Professor: Eduardo Jatobá Exercícios Resolvidos 02. Obter a razão da PA tal que Resolução: De acordo com o que vimos, podemos calcular a razão da PA acima utilizando a seguinte equação: Se substituirmos n por 5, ficaremos apenas com a razão como incógnita e teremos: Concluímos que a razão da PA é 1/4.

15 Prof: Rodrigo Cavalcanti Progressão Aritmética Professor: Eduardo Jatobá Exercícios Resolvidos 03. Determinar o número de termos da PA (2, 10, 18,..., 250) Resolução: De acordo com o que vimos, podemos calcular o número de termos n da PA acima utilizando a seguinte equação: De acordo com a fórmula acima, podemos perceber que para acharmos o valor de n, precisamos dos valores do primeiro termo, do enésimo termo e da razão da PA dada. Podemos verificar que o primeiro termo é o número 2 e que a razão da PA dada é o número 8. Se a PA tem n termos, então o enésimo termo será, necessariamente, o último termo, logo o enésimo termo é o número 250 Resumindo, temos as seguintes informações: Substituindo esses valores na fórmula do termo geral de uma PA, temos: Concluímos, então, que a PA possui 32 termos.

16 Prof: Rodrigo Cavalcanti Progressão Aritmética Professor: Eduardo Jatobá Exercícios Resolvidos 04. A partir do momento em que havia 684 pessoas em um ginásio de esportes, a contagem dos torcedores que entravam passou a ser feita por catracas que registraram o ingresso de 208 pessoas por hora, até completar a capacidade máxima do ginásio de expectadores. Ninguém saiu antes do jogo, que começou quando a capacidade máxima do ginásio foi atingida. a)Construir a sequência em que os termos representem o número de pessoas no ginásio, hora a hora, a partir do instante em que a contagem das pessoas passou a ser feita por catracas. Resolução: Podemos perceber que a sequência solicitada no item a trata-se de uma PA, de acordo com sua definição.

17 Prof: Rodrigo Cavalcanti Progressão Aritmética Professor: Eduardo Jatobá O primeiro termo é o número 684, pois refere-se a quantidade de pessoas que havia no ginásio no momento em que se começou a controlar a entrada das mesmas no ginásio pela catraca. A razão é o número 208, pois refere-se a quantidade fixa de pessoas que entram no ginásio a cada hora. O enésimo e último termo é o número 3.180, pois refere-se à capacidade máxima do ginásio de esportes. Logo, para respondermos o item a, precisaremos encontrar o número n de termos da sequência para podermos escrevê-la. Resumindo, temos: Construiremos a sequência da seguinte maneira:

18 Prof: Rodrigo Cavalcanti Progressão Aritmética Professor: Eduardo Jatobá Logo, podemos escrever a seguinte PA: (684, 892, 1.100, 1.308, 1516,..., 3.180) b) Durante quantas horas as catracas estiveram em funcionamento? Resolução: 684 pessoas (n = 1) t = 0 hora 892 pessoas (n = 2) t = 1 hora 1100 pessoas (n = 3) t = 2 horas Percebe-se que, o valor do tempo t, em horas, é uma unidade inferior à quantidade n de termos da PA em questão. Então podemos concluir que: As catracas estiveram em funcionamento durante 12 horas.

19 Progressão Aritmética Exercícios Resolvidos 05. Qual a razão de uma determinada PA, sabendo-se que nela, a soma do primeiro termo com o quinto é 26 e que a soma do segundo termo com o nono é 46? Resolução: Temos as seguintes informações: De acordo com as informações, temos quatro incógnitas e duas equações. Além disso, em nenhuma das equações aparece a incógnita que queremos descobrir, que, no caso, é r. Logo, colocaremos todos os termos em função do primeiro termo e da razão, da seguinte maneira: Logo, reescrevendo as informações iniciais, temos:

20 Progressão Aritmética Iremos resolver o sistema encontrado pelo método da adição x (-2) Adicionando as duas equações, temos: Conclusão: A razão da PA em questão é 4.

21 Progressão Aritmética Exercícios Resolvidos 06. Interpolar (ou seja, inserir) 4 meios aritméticos entre 1 e 11, nessa ordem. Resolução: O que queremos é completar uma PA com 6 termos, conhecendo-se o primeiro termo o último termo. Logo, podemos fazer a representação do seguinte esquema: De acordo com o esquema, precisamos descobrir a razão para encontrarmos os termos que estão faltando. Logo, a PA é (1, 3, 5, 7, 9, 11)

22 Progressão Aritmética Exercícios Resolvidos 07. Obter o 40º termo da PA de razão 3, em que o vigésimo primeiro termo é o número 62. Resolução: Esquema do problema: Sabemos que, ou seja, precisamos encontrar o primeiro termo para encontramos o quadragésimo termo. Conclusão: O 40º termo da PA é 119.

23 Prof: Rodrigo Cavalcanti Progressão Aritmética Professor: Eduardo Jatobá


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