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Www.dca.ufrn.br/~lmarcos/courses/compgraf Computação Gráfica Geometria de Transformações Luiz M. G. Gonçalves.

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1 Computação Gráfica Geometria de Transformações Luiz M. G. Gonçalves

2 Transformações F Vetores, bases e matrizes F Translação, rotação e escala F Coordenadas homogêneas F Rotações e translações 3D F Composição de transformações

3 Uso de transformações F Construir modelos complexos a partir de componentes simples F Transformar coordenadas de câmera em mundo, objeto e imagem e vice-versa F Analisar efeitos de transformações rígidas e não rígidas em objetos xoxo zozo yoyo ycyc xcxc zczc xwxw zwzw ywyw y im x im

4 Cinemática

5 Vetores F Noção da Física: wcomprimento, direção, sentido F Exemplos: wvelocidade, força, deslocamento F Representação matemática: wtuplas ordenadas v = (v 1,v 2,…,v n ) v u

6 Vetores F Definições: wProduto escalar: u.v = u 1 v 1 +u 2 v 2 +…+u n v n wNorma: ||v ||= (v 1 2 +v 2 2 +…+v n 2 ) 1/2 wUnitário: ||v ||= 1 wÂngulo: (u,v) = acos -1 [(u.v) / (||u|| ||v)] wOrtogonalidade: u.v = 0 ( (u,v)=90 o ) v u 0

7 Combinação linear F Dados dois vetores v 1 e v 2,ande uma distância qualquer na direção de v 1 e então ande outra distância na direção de v 2 F O conjunto de todos os lugares (vetores, pontos) que podem ser atingidos é dado pelas combinações lineares possíveis entre v 1 e v 2

8 Combinação linear F V = k 1 V 1 +k 2 V 2 v1v1 v2v2 k1V1k1V1 k2V2k2V2 V = k 1 V 1 +k 2 V 2

9 Independência Linear F Um conjunto de vetores é dito linearmente independente se nenhum dos vetores pode ser escrito como uma combinação linear dos outros F Exemplo de 3 vetores LI: we 1 = (1,0,0) we 2 = (0,1,0) we 3 = (0,0,1)

10 Base vetorial F Uma base vetorial é um conjunto de vetores linearmente independentes entre si, cuja combinação linear leva a qualquer lugar do espaço considerado, isto é, varre o espaço. F Significa: para varrer um espaço n- dimensional, são necessários n vetores

11 Base vetorial F Se os vetores da base possuem todos norma 1 e se são mutuamente ortogonais, a base é dita ser ortonormal F Exemplo: vetores da base canônica de R 3 : we 1 = (1,0,0) we 2 = (0,1,0) we 3 = (0,0,1) F Obviamente, há muito mais que uma base possível para um dado espaço vetorial.

12 Representação de vetores F Todo vetor tem uma representação única numa dada base wOs multiplicadores pelos vetores da base são chamados de componentes ou coordenadas wMudando a base, muda os componentes, mas não o vetor V= v 1 E 1 +v 2 E v n E n F Os vetores E 1, E 2,..., E n são vetores da base F Os escalares v 1, v 2,..., v n são os componentes de v com respeito à base.

13 Transformação Linear F Uma função (ou mapeamento ou ainda transformação) F é linear se, para todos os vetores u e v e todos escalares k: F(u+v) = F(u) + F(v) F(kv) = kF(v) Ou F(ku+lv) = kF(u)+lF(v) F Qualquer mapeamento linear é completamente especificado pelo seu efeito numa base vetorial

14 Efeito na base v = v 1 E 1 + v 2 E 2+ v 3 E 3 F(v) = F(v 1 E 1 +v 2 E 2+ v 3 E 3 )= = F(v 1 E 1 )+F(v 2 E 2 )+F(v 3 E 3 )= = v 1 F(E 1 ) + v 2 F(E 2 )+v 3 F(E 3 ) F Obs: uma função F é afim se ela é linear mais uma translação wEx: y = mX+b não é linear, mas é afim

15 Transformando um vetor F As coordenadas do vetor da base transformado (em termos dos vetores da base original): F(E 1 ) = f 11 E 1 +f 21 E 2 +f 31 E 3 F(E 2 ) = f 12 E 1 +f 22 E 2 +f 32 E 3 F(E 3 ) = f 13 E 1 +f 23 E 2 +f 33 E 3 F O vetor geral V transformado torna-se: F(V) = v 1 F(E 1 ) + v 2 F(E 2 )+v 3 F(E 3 ) = v 1 (f 11 E 1 +f 21 E 2 +f 31 E 3 )+v 2 (f 12 E 1 +f 22 E 2 +f 32 E 3 )+v 3 (f 13 E 1 +f 23 E 2 +f 33 E 3 )= (f 11 v 1 +f 12 v 2 +f 13 v 3 )E 1 +(f 21 v 1 +f 22 v 2 +f 23 v 3 )E 2 +(f 31 v 1 +f 32 v 2 +f 33 v 3 )E 3

16 Transformando um vetor F Suas coordenadas ainda em referência a E tornam-se: v 1 t = f 11 v 1 +f 12 v 2 +f 13 v 3 v 2 t = f 21 v 1 +f 22 v 2 +f 23 v 3 v 3 t = f 31 v 1 +f 32 v 2 +f 33 v 3 F Ou simplesmente v i = f ij v j que é a fórmula de multiplicação matricial

17 Multiplicação de matrizes! F Uma matriz F de dimensões nxn representa uma função linear em n dimensões wA i-ésima coluna mostra o que a função faz ao vetor de base correspondente F Transformação é uma combinação linear das colunas de F wPrimeiro componente do vetor de entrada escala a primeira coluna da matriz wacumula no vetor de saída wrepete para cada coluna e componente

18 Multiplicação matricial F Usualmente calcula-se de modo diferente wfaça o produto interno da coluna i da matriz com o vetor de entrada para conseguir componente i do vetor de saída: v 1 t f 11 f 12 f 13 v 1 v 2 t = f 21 f 22 f 23 v 2 v 3 t f 31 f 32 f 33 v 3

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20 Translação

21 Rotação

22 Matriz de rotação possui vetores unitários

23 Representação da rotação

24 Exemplo de rotação

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30 Relações espaciais F Representação em relação a um frame (sistema de coordenadas) F P (X,Y,Z)

31 Orientação

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33 Matriz de orientação

34 Propriedade elementar (unitária)

35 Juntando orientação e posição

36 Coordenadas Homogêneas

37 Juntar rotação e translação

38 Coordenadas homogêneas F Translação não é linear. Como representar em forma de matriz? wAdiciona uma coordenada extra a cada vetor x ´ 100t x x y ´ =0 10t y y z´0 01t z z F Coordenada extra é chamada de homogênea (ou w) F Transformação denominada homogênea

39 Translação pura

40 Transformação Homogênea

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42 Transformações Homogêneas 3D F São muito similar ao 2D F Coordenadas homogêneas requerem matrizes 4x4 F Matrizes de translação e escala são:

43 Operador de Translação

44 Transformação Homogênea 3D F Rotação é um pouco mais complicado F Sistema de coordenadas de mão direita ou esquerda afeta direção de rotação F Sistema de mão direita F Sistema de mão esquerda x y z x y z

45 Produto Cruzado (Vetorial) F Eixo Z é determinado a partir dos eixos X e Y pelo produto vetorial F Produto vetorial segue regra da mão direita em um sistema de mão direita e regra da mão esquerda em um sistema de mão esquerda F Estaremos trabalhando quase sempre com sistema de mão direita

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47 Roll, Pitch, Yaw

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49 Rotação em torno de cada eixo

50 Generalização da Rotação

51 Exemplo de rotação + translação

52 Exemplo: continuação

53 Transformações homogêneas em cadeias

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61 Invertendo a transf. homogênea


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