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Aula 11 Sinais e Sistemas – Capítulo 3 Simon Haykin.

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1 Aula 11 Sinais e Sistemas – Capítulo 3 Simon Haykin

2 Aula 11 Representações de Fourier para Sinais Os sinais podem ser representados por uma combinação ponderada de senóides complexas Tais sinais, quando aplicados a um sistema linear, proporciona uma saída que é a superposição ponderada das respostas do sistema a cada senóide complexa O estudo de sinais e sistemas usando representações senoidais é denominado análise de Fourier Os métodos de Fourier têm aplicação difundida, indo além dos sinais e sistemas, sendo usados em todos os ramos da engenharia e da ciência

3 Aula 11 Senóides Complexas e Sistema LTI Vimos no capítulo anterior que, a entrada resulta na saída em que

4 Aula 11 Senóides Complexas e Sistema LTI Vimos no capítulo anterior que, a entrada resulta na saída em que

5 Aula 11 Senóides Complexas e Sistema LTI Dizemos que a senóide complexa é uma autofunção do sistema H associado com o autovalor porque ela satisfaz um problema de autovalor descrito por Isto significa que o sistema provoca o efeito de uma multiplicação por um escalar em uma função de entrada de autofunção, tais como são as senóides complexas.

6 Aula 11 Senóides Complexas e Sistema LTI Observe que se representarmos um sinal arbitrário como sendo uma superposição ponderada de autofunções, então podemos transformar as complicadas operações de convolução em simples operações de multiplicação. Considere a entrada em um sistema LTI como sendo a soma ponderada de M senóides complexas

7 Aula 11 Senóides Complexas e Sistema LTI Se for uma autofunção do sistema com autovalor H(jω k ), então cada termo da entrada Produz um termo de saída, de modo que Ou seja, a saída é uma soma ponderada de M senóides complexas, sendo os pesos a k modificados pelas respostas em frequência do sistema, H(jω k ), de modo que a operação de convolução, h(t)*x(t), torna-se uma operação de multiplicação por

8 Aula 11 Representações de Fourier para Quatro Classes de Sinais Propriedade de Tempo PeriódicaNão Periódica ContínuoSérie de Fourier (FS) Transformada de Fourier (FT) DiscretoSérie de Fourier de Tempo Discreto (DTFS) Transformada de Fourier de Tempo Discreto (DTFT)

9 Aula 11 Sinais Periódicos: Representações da Série de Fourier Considere representar um sinal periódico como uma superposição ponderada de senóides complexas A superposição deve ter o mesmo período que o sinal, de modo que cada senóide da superposição deve ter o mesmo período do sinal Isto significa que a frequência de cada senóide deve ser um múltiplo inteiro da frequência fundamental do sinal

10 Aula 11 Sinais Periódicos: Representações da Série de Fourier Se x[n] for um sinal de período fundamental N, então procuramos representá-lo pela DTFS em que Ω 0 =2π/N é a frequência fundamental de x[n]. A frequência da k-ésima senóide na superposição é dada por k Ω 0

11 Aula 11 Sinais Periódicos: Representações da Série de Fourier De forma similar, se x(t) for um sinal de período fundamental T, então procuramos representá-lo pela FS em que ω 0 =2π/T é a frequência fundamental de x(t). A frequência da k-ésima senóide na superposição é dada por k ω 0

12 Aula 11 Sinais Periódicos: Representações da Série de Fourier Quantos termos e pesos devemos usar em cada soma? FS: DTFS: Portanto, há somente N senóides complexas distintas da forma

13 Aula 11 Sinais Periódicos: Representações da Série de Fourier Um conjunto único de N senóides complexas distintas é obtido admitindo-se que o índice de frequência assuma quaisquer N valores consecutivos, de modo que onde a notação k=(N) indica que k varia ao longo de quaisquer N valores consecutivos, sendo tais valores normalmente escolhidos de modo a simplificar o problema através da exploração de simetrias do sinal.

14 Aula 11 Sinais Periódicos: Representações da Série de Fourier Tipos de SimetriasEscolhas comuns Simetria ParK=0 a k=N-1 Simetria ÍmparK=-N/2 a k=N/2-1

15 Aula 11 Sinais Periódicos: Representações da Série de Fourier As senóides complexas de tempo contínuo possuem frequências kω 0 sempre distintas. Consequentemente, há potencialmente um número infinito de termos distintos na FS Aproximamos x(t) como

16 Aula 11 Sinais Periódicos de Tempo Discreto: A DTFS Para determinar os pesos ou coeficientes A(k), minimizaremos o Erro Quadrático Médio (MSE) entre o sinal e sua representação em série.

17 Aula 11 Seja c um número complexo qualquer. Então |c| 2 =cc*. Sinais Periódicos de Tempo Discreto: A DTFS

18 Aula 11 Definindo então Completando o quadrado, temos Sinais Periódicos de Tempo Discreto: A DTFS

19 Aula 11 Portanto, a dependência que o MSE tem com os coeficientes desconhecidos A[k] se reduz ao termo do meio. Consequentemente, o MSE é minimizado forçando o termo do meio tender a zero ou A[k]->x[k] Se A[k]=X[k], então MSE=0 Sinais Periódicos de Tempo Discreto: A DTFS

20 Aula 11 Dizemos que x[n] e X[k] são um par de DTFS e denotamos esta relação como A partir de N valores de X[k] podemos determinar x[n], e vice-versa Veremos que as vezes é mais conveniente representar o sinal através de x[n] e as vezes através dos coeficientes X[k] da DTFS Sinais Periódicos de Tempo Discreto: A DTFS

21 Aula 11 Exemplo 3.1: Encontre a representação por DTFS para Solução: O período fundamental é N=16. Consequentemente, Ω 0 =2π/16. Sinais Periódicos de Tempo Discreto: A DTFS

22 Aula 11 Igualando com a DTFS, com k iniciando em -7, isto é então, temos que Sinais Periódicos de Tempo Discreto: A DTFS Todos os componentes de x[n] estão concentrados em duas frequências, Ω 0 e –Ω 0.

23 Aula 11 Desde que N=16, então X[15]=X[31]=...=(1/2)e -jΦ e, similarmente, X[17]=X[33]=...=(1/2)e jΦ com todos os outros valores de X[k] iguais a zero Sinais Periódicos de Tempo Discreto: A DTFS

24 Aula 11 Exemplo 3.2: Encontre os coeficientes da DTFS para a onda quadrada com período N mostrada a seguir Solução: O período é N, de forma que Ω 0 =2π/N. É conveniente, para este caso, avaliar a DTFS em n=-M até n=N-M-1. Dessa forma temos Sinais Periódicos de Tempo Discreto: A DTFS

25 Aula 11 Fazendo a mudança m=n+M, então Sinais Periódicos de Tempo Discreto: A DTFS A soma da série geométrica produzirá

26 Aula 11 Que pode ser reescrito como Sinais Periódicos de Tempo Discreto: A DTFS Dividindo o numerador e o denominador por 2j, temos

27 Aula 11 Substituindo Ω 0 =2π/N, temos Sinais Periódicos de Tempo Discreto: A DTFS Usando a regra de LHopital, temos que

28 Aula 11 Supondo N=50 e M=4, então temos a seguinte DTFS Sinais Periódicos de Tempo Discreto: A DTFS

29 Aula 11 Supondo N=50 e M=12, então temos a seguinte DTFS Sinais Periódicos de Tempo Discreto: A DTFS


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