Sinais e Sistemas – Capítulo 2

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1 Sinais e Sistemas – Capítulo 2
Aula 1 Sinais e Sistemas – Capítulo 2 Simon Haykin Aula 8

2 Resposta ao Degrau A resposta de um sistema LTI ao degrau caracteriza como o sistema responde a mudanças repentinas na entrada. Como então Ou seja, a resposta ao degrau é a soma corrente da resposta ao impulso. Aula 8

3 Resposta ao Degrau Similarmente, a resposta ao degrau de um sistema LTI de tempo contínuo é Podemos inverter a relação e expressar a resposta ao impulso em termos da resposta ao degrau, como segue: ou Aula 8

4 Resposta ao Degrau Exemplo: Encontre a resposta ao degrau do circuito RC da figura abaixo, que tem resposta ao impulso dada por Solução: Como Simplificando a integral, temos Aula 8

5 Resposta Senoidal em Estado Estacionário
Sinais de entrada senoidais frequentemente são usados para caracterizar a resposta de um sistema. Aqui, iremos examinar a relação entre a resposta ao impulso e a resposta em estado estacionário ou permanente de um sistema LTI com uma entrada senoidal complexa. Considere h[n] a resposta ao impulso e uma entrada complexa de amplitude unitária dada por logo Aula 8

6 Resposta Senoidal em Estado Estacionário
onde Consequentemente, a saída do sistema é uma senóide complexa que tem a mesma frequência que a entrada multiplicada por Aula 8

7 Resposta Senoidal em Estado Estacionário
A quantidade não é uma função do tempo, n, mas sim da frequência Ω , sendo denominada de Resposta em Frequência. Resultados similares são obtidos para sistemas de tempo contínuo, onde h(t) é a resposta ao impulso e é uma entrada senoidal. onde Aula 8

8 Resposta Senoidal em Estado Estacionário
U ma interpretação intuitiva da resposta senoidal em estado estacionário é obtida escrevendo o número complexo H(jω) na forma polar. Sabendo que é um número complexo, então, sua forma polar é dada por onde e Logo Resposta em módulo ou magnitude do sistema Resposta em fase do sistema Aula 8

9 Resposta Senoidal em Estado Estacionário
Assim, Observe que o sistema modifica a amplitude da entrada por e a fase por Considere agora Usando a linearidade, obtemos Aula 8

10 Resposta Senoidal em Estado Estacionário
Supondo que h(t) tenha valor real, então H(jω) possui simetria conjugada, isto é, Isto implica que é uma função par de ω e é uma função ímpar de ω. Explorando essas condições de simetria, podemos simplificar a resposta Aula 8

11 Resposta Senoidal em Estado Estacionário
Aula 8

12 Resposta Senoidal em Estado Estacionário
Resultados similares são obtidos para sistemas de tempo discreto, Considerando a forma polar de Especificamente, para a entrada então Além disso, se então Aula 8

13 Resposta Senoidal em Estado Estacionário
A resposta em frequência caracteriza a resposta em estado estacionário do sistema para entradas senoidais como uma função da frequência da senóide. Dizemos que esta é uma resposta em estado estacionário porque se presume que a senóide de entrada exista em todos os instantes de tempo, estando o sistema em condição de equilíbrio, ou estacionário. A resposta em frequência fornece uma grande quantidade de informações e é útil tanto para entendermos quanto analisarmos sistemas. É uma prática padrão representar a resposta em frequência graficamente, exibido separadamente as resposta em módulo e em fase como função da frequência. Aula 8

14 Resposta Senoidal em Estado Estacionário
Exemplo: As respostas ao impulso de dois sistemas de tempo discreto são dadas por Encontre a resposta em frequência de cada sistema e trace graficamente a resposta em módulo Aula 8

15 Resposta Senoidal em Estado Estacionário
Solução: sabendo que então que pode ser reescrito como Aula 8

16 Resposta Senoidal em Estado Estacionário
Logo, a resposta em módulo é e a resposta em fase é Aula 8

17 Resposta Senoidal em Estado Estacionário
Solução: sabendo que então que pode ser reescrito como Aula 8

18 Resposta Senoidal em Estado Estacionário
Logo, a resposta em módulo é e a resposta em fase é Aula 8

19 Resposta Senoidal em Estado Estacionário
Observe nas respostas em módulo que h1 deixa passar as frequências baixas e atenua as frequências altas, enquanto que h2 faz o inverso. Logo, h1 caracteriza um filtro passa-baixas e h2 um passa-altas. Aula 8

20 Resposta Senoidal em Estado Estacionário
Exemplo: A resposta ao impulso do sistema que relaciona a tensão de entrada com a tensão no capacitor da figura abaixo é dada por Encontre uma expressão para a resposta em frequência e trace graficamente a resposta em módulo e em fase. Aula 8

21 Resposta Senoidal em Estado Estacionário
Solução: sabendo que então Aula 8

22 Resposta Senoidal em Estado Estacionário
A resposta em módulo é A resposta em fase é Aula 8

23 Resposta Senoidal em Estado Estacionário
A resposta em módulo indica que o circuito RC tende a atenuar senóides de alta frequência, ou seja, o circuito é incapaz de responder a mudanças rápidas na tensão de entrada. Além disso, as senóides de baixa frequência experimentam pouco deslocamento de fase. Aula 8