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Eletricidade A - ENG04474 AULA IX. Senóides Período : T Período : T Tempo necessário para se percorrer um ciclo Tempo necessário para se percorrer um.

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1 Eletricidade A - ENG04474 AULA IX

2 Senóides Período : T Período : T Tempo necessário para se percorrer um ciclo Tempo necessário para se percorrer um ciclo Freqüência: f = 1/ T Freqüência: f = 1/ T Ciclos por segundo Ciclos por segundo Freqüência Angular: = 2 f Freqüência Angular: = 2 f Amplitude: V M Amplitude: V M Exemplo: Qual é a amplitude, a freqüência, o período e a freqüência angular da senóide abaixo

3 Fase Se quisermos expressar as senóides abaixo na forma v =V M sen( t + ) quais são os valores de para as três senóides, tomando uma senóide v =V P sen( t ) como referência. Se quisermos expressar as senóides abaixo na forma v =V M sen( t + ) quais são os valores de para as três senóides, tomando uma senóide v =V P sen( t ) como referência.

4 Fase em Atraso ou em Adianto x 1 (t) está adiantado em relação a x 2 (t) de - x 1 (t) está adiantado em relação a x 2 (t) de - x 2 (t) está atrasado em relação a x 1 (t) de - x 2 (t) está atrasado em relação a x 1 (t) de - Se fossemos desenhar estas curvas, qual das senóides passaria de negativo para positivo antes?

5 Circuitos RLC com Excitação Senoidal Resposta Transitória e de Regime Permanente Resposta Transitória e de Regime Permanente Exemplo (RL - fonte senoidal) Exemplo (RL - fonte senoidal) i(t) V p cos( t ) Resposta Permanente Amplitudedepende RL A Amplitude da corrente depende da amplitude da fonte, de R, de L e da freqüência da fonte Reposta Transitória ou Natural A corrente está defasada em atraso radianos em relação a cossenóide da fonte

6 Circuitos RLC com Excitação Senoidal Exemplo - Forma de onda da Resposta Exemplo - Forma de onda da Resposta Forma de onda da Fonte V1(t) Forma de onda da Corrente i (t) Regime Transitório Regime Permanente V1( t ) i ( t ) t

7 Circuitos RLC com Excitação Senoidal Em REGIME PERMANENTE todo Circuito RLC excitado com fontes senoidais de freqüência terá todas as correntes e tensões em seus dispositivos Em REGIME PERMANENTE todo Circuito RLC excitado com fontes senoidais de freqüência terá todas as correntes e tensões em seus dispositivos possuindo forma de onda senoidal de freqüência igual a das fontes possuindo forma de onda senoidal de freqüência igual a das fontes defasadas radianos em atraso ou adianto com relação as fontes defasadas radianos em atraso ou adianto com relação as fontes depende da estrutura e dos elementos do circuito amplitudes dependentes da freqüência, da amplitude das fontes e dos valores dos dispositivos R, L e C amplitudes dependentes da freqüência, da amplitude das fontes e dos valores dos dispositivos R, L e C Sabendo disso, seria possível obter a Resposta em Regime Permanente para Excitação Senoidal sem precisar resolver uma equação diferencial ???

8 Circuitos RLC - RP com Excitação Senoidal Para determinar uma tensão ou corrente em regime permanente, tudo o que precisamos saber é sua amplitude e sua fase em relação a senóide da fonte. A freqüência e a forma de onda já se sabe qual será. Para determinar uma tensão ou corrente em regime permanente, tudo o que precisamos saber é sua amplitude e sua fase em relação a senóide da fonte. A freqüência e a forma de onda já se sabe qual será. Usualmente, tensões ou correntes em regime permanente são obtidas de uma solução particular da equação diferencial do circuito. Usualmente, tensões ou correntes em regime permanente são obtidas de uma solução particular da equação diferencial do circuito. Preciso escrever e resolver uma Equação diferencial!!?? V p sen( wt ) Fonte A P sen( wt + ) Tensão ou Corrente do circuito em RP CIRCUITO RLC Amplitude ? Fase ?

9 Circuitos RLC - RP com Excitação Senoidal Não é preciso escrever a equação diferencial do circuito nem ao menos resolve-la para se obter a amplitude e fase de uma tensão ou corrente em RP em um circuito com excitação senoidal. Não é preciso escrever a equação diferencial do circuito nem ao menos resolve-la para se obter a amplitude e fase de uma tensão ou corrente em RP em um circuito com excitação senoidal. Ao invés disso usaremos o conceito de FASORES e IMPEDÂNCIAS COMPLEXAS Ao invés disso usaremos o conceito de FASORES e IMPEDÂNCIAS COMPLEXAS Fasores e Impedâncias Complexas convertem um problema envolvendo equações diferenciais em um problema envolvendo equações algébricas Fasores e Impedâncias Complexas convertem um problema envolvendo equações diferenciais em um problema envolvendo equações algébricas Boas Novas!!!

10 FASORES FASOR é um NÚMERO COMPLEXO que representa a amplitude e a fase de uma tensão ou corrente senoidal FASOR é um NÚMERO COMPLEXO que representa a amplitude e a fase de uma tensão ou corrente senoidal Domínio Tempo Domínio Freqüência

11 Impedância Complexa A Impedância Complexa descreve a relação entre a tensão sobre um elemento R, L ou C (expressa como Fasor) e a corrente no elemento (expressa como Fasor) A impedância é um número complexo O valor da impedância normalmente depende da freqüência Fasores e Impedâncias Complexas nos permitem utilizar a Lei de Ohm com números complexos para determinar tensões a partir de correntes e correntes a partir de tensões Como? Melhor ver esses Números Complexos...

12 Números Complexos x é a parte real x é a parte real y é a parte imaginária y é a parte imaginária z é a amplitude ou magnitude z é a amplitude ou magnitude é a fase é a fase z x y eixo real eixo imaginário Coordenadas Polares: A = z Coordenadas Polares: A = z Coordenadas Retangulares: A = x + jy Coordenadas Retangulares: A = x + jy P R R P

13 Representando Formas de Onda Senoidais como Fasores Fasor (domínio freqüencia) é um número complexo Fasor (domínio freqüencia) é um número complexo X = z = x + jy Um sinal senoidal é uma função do tempo Um sinal senoidal é uma função do tempo x(t) = z cos ( t + ) x(t) = z cos ( t + )Exemplo: Encontre a representação no domínio tempo para os seguinte fasores: X = -1 + j 2 V = 104V - j 60V A = -1mA - j 3mA

14 Aritmética com Números Complexos Para se determinar FASORES de Tensão ou Corrente é necessário que saibamos proceder operações aritméticas básicas com números complexos: Para se determinar FASORES de Tensão ou Corrente é necessário que saibamos proceder operações aritméticas básicas com números complexos: Soma Soma Subtração Subtração Multiplicação Multiplicação Divisão Divisão Será que lembro disso? É melhor dar uma olhada!

15 Soma e Subtração Soma Soma A = x + jy B = z + jw A + B = ( x + z ) + j ( y + w ) Subtração Subtração é mais facilmente feita em coordenadas retangulares A = x + jy B = z + jw A - B = ( x - z ) + j ( y - w ) eixo real eixo imag. AB A + B eixo real. eixo imag. AB A - B (melhor na forma retangular)

16 eixo real eixo imag. A B A / B Multiplicação e Divisão Multiplicação Multiplicação Multiplicação é mais facilmente feita em coordenadas polares Multiplicação é mais facilmente feita em coordenadas polares A = A M A = A M B = B M B = B M A B = ( A M B M ) ( ) Divisão Divisão é mais faclmente feita em em coordenadas polares A = A M B = B M A / B = ( A M / B M ) ( ) eixo real eixo imag. A B A B (melhor na forma polar)

17 Exponencial Complexa Uma senoide, função do tempo, pode ser representada como a parte real de uma exponencial complexa Uma senoide, função do tempo, pode ser representada como a parte real de uma exponencial complexa Exponenciais Complexas nos propiciam a ligação entre as funções senoidais do tempo e os fasores. Exponenciais Complexas nos propiciam a ligação entre as funções senoidais do tempo e os fasores. Exponenciais Complexas tornam a análise de um circuito RLC em regime permanente para excitação senoidal um problema algébrico Exponenciais Complexas tornam a análise de um circuito RLC em regime permanente para excitação senoidal um problema algébrico Funções Senoidais Exponenciai s Complexas FASORES

18 Exponenciais Complexas Um número complexo (FASOR) A = z pode ser representado como: Um número complexo (FASOR) A = z pode ser representado como: A = z = z e j = z cos + j z sen A = z = z e j = z cos + j z sen A exponencial complexa básica é: A exponencial complexa básica é: e j t = cos t + j sen t O que você obtêm ao multiplicar A por e j t e tomar a parte real deste produto? O que você obtêm ao multiplicar A por e j t e tomar a parte real deste produto?

19 Exponenciais Complexas Ae j t = z e j e j t = z e j ( t+ Ae j t = z e j e j t = z e j ( t+ z e j ( t+ = z cos ( t+ + j z sen ( t+ z e j ( t+ = z cos ( t+ + j z sen ( t+ Re[ Ae j t ] = z cos ( t+ Re[ Ae j t ] = z cos ( t+

20 Senóides, Exponenciais Complexas e Fasores Senóide: Senóide: z cos ( t+ z cos ( t+ Exponencial Complexa: Exponencial Complexa: Ae j t = z e j ( t+ Ae j t = z e j ( t+ Fasor: Fasor: A = z A = z O que se ganha com tudo isso??? z cos ( t+ Re{z e j( t+ }= Re{Ae j t }

21 Relações entre os Fasores associados aos Bipolos de um Circuito Os Fasores nos pertimem expressar a relação entre tensão e corrente em Indutores e Capacitores de forma bastante semelhante a que usamos para expressar a relação entre tensão e corrente em Resistores. Os Fasores nos pertimem expressar a relação entre tensão e corrente em Indutores e Capacitores de forma bastante semelhante a que usamos para expressar a relação entre tensão e corrente em Resistores. A exponencial complexa é a ferramenta matemática utilizada para obter tais relações. A exponencial complexa é a ferramenta matemática utilizada para obter tais relações. COMO?? ?

22 Relação V-I Fasorial para o Capacitor Suponha que v ( t ) seja uma senóide: v(t) = V M cos( t+ ) = Re[ V M e j ( t+ Re[ V e j t ] Determine i ( t ): C v(t) + - i(t)

23 Calculando a Corrente Representando na forma FASORIAL Representando na forma FASORIAL i(t) + v(t) - I +V-+V- A derivada na relação entre i ( t ) e v ( t ) (capacitor) torna- se uma multiplicação por j C na relação entre I e V

24 Exemplo Sendo: v(t) = 120V cos(377 t + 30 ) v(t) = 120V cos(377 t + 30 ) C = 2 F Qual é a representação Fasorial de v ( t ) e i ( t ) e a expressão de i ( t )? V =? I =? I =? i(t)= ? Quantos graus v ( t ) está defasado de i ( t )? Quem está adiantado em relação a quem?

25 Relação V-I no Indutor L v(t) + - i(t) + v(t) - I +V-+V- A derivada na relação entre v ( t ) e i ( t ) (indutor) torna-se uma multiplicação por j L na relação entre V e I Representando na forma FASORIAL Representando na forma FASORIAL

26 Exemplo Sendo: i(t) = 1 A cos( t + 30 ) L = 1 H Qual é a representação Fasorial de i ( t ) e v ( t ) e a expressão de v ( t )? I =? V =? V =? v(t)= ____cos( t + ____) Quantos graus v ( t ) está defasado de i ( t )? Quem está adiantado em relação a quem?

27 Relação V-I no Resistor R v(t) + - i(t) Representando na forma FASORIAL Representando na forma FASORIAL i(t) + v(t) - I +V-+V- A multiplicação por R na relação entre v ( t ) e i ( t ) torna-se uma multiplicação por R na relação entre V e I

28 Impedância A análise de um circuito com excitação senoidal, em regime permanente, usando FASORES, nos permite expressar as relações entre corrente e tensão nos elementos R, L e C com uma fórmula similar a utilizada na lei de Ohm. A análise de um circuito com excitação senoidal, em regime permanente, usando FASORES, nos permite expressar as relações entre corrente e tensão nos elementos R, L e C com uma fórmula similar a utilizada na lei de Ohm. V = Z I Z é chamada de IMPEDÂNCIA Z é chamada de IMPEDÂNCIA Resistor V=RIV=RI Z=RZ=R Indutor V = j L I Z = j L Capacitor V = I Z=Z= j C 1 1

29 Reflexões sobre IMPEDÂNCIA Impedância (geralmente) depende da freqüência Impedância (geralmente) depende da freqüência Impedância (geralmente) é um número complexo Impedância (geralmente) é um número complexo Impedância NÃO É um FASOR (Porque?) Impedância NÃO É um FASOR (Porque?) O conceito de Impedância e Fasor nos permite analisar circuitos RLC lineares com excitação senoidal, em regime permanente, com as mesmas técnicas empregadas para analisar circuitos puramente resistivos. O conceito de Impedância e Fasor nos permite analisar circuitos RLC lineares com excitação senoidal, em regime permanente, com as mesmas técnicas empregadas para analisar circuitos puramente resistivos. SERÁ mesmo que se pode? Para isso as leis de Kirchhoff deveriam ser respeitadas na operação com FASORES. Será que são?

30 Leis de Kirchhoff e Fasores Leis das Tensões nos Laços. Leis das Tensões nos Laços. + v 1 (t) - v 2 (t) + - v n (t) + É equivalente!!

31 Leis de Kirchhoff e Fasores Lei das Correntes nos Nós Lei das Correntes nos Nós i 1 (t) i n (t) i 2 (t) É equivalente!!

32 Exemplo Sendo as correntes no Nó A i 1 (t), i 2 (t) e i 3 (t), onde i 1 (t) = 1A cos(2 60 t + 30 ) i 2 (t) = 3A cos(2 60 t + 60 ) Qual é a representação Fasorial de i 1 ( t ), i 2 ( t ) e i 3 ( t )? I 1 =? I 2 =? I 3 = I 1 + I 2 = ? Qual é a expressão de i 3 ( t )? i 3 ( t )=____cos(2 60 t + ____) i 1 (t) i 3 (t) i 2 (t)

33 Diagrama Fasorial Um diagrama fasorial é apenas um gráfico de vários fasores representados no plano complexo (usando os eixos real e imaginário) Um diagrama fasorial é apenas um gráfico de vários fasores representados no plano complexo (usando os eixos real e imaginário) Um diagrama fasorial nos ajuda a visualizar as relações entre tensões e correntes em um circuito (suas amplitudes e defasagens) Um diagrama fasorial nos ajuda a visualizar as relações entre tensões e correntes em um circuito (suas amplitudes e defasagens) Exemplo: Exemplo: V I = 2mA 40 I = 2mA 40 V R = 2V 40 V R = 2V 40 V C = 5.31V -50 V C = 5.31V -50 V = 5.67V V = 5.67V Eixo Real Eixo Imaginário VRVR VCVC V VRVR I - 1 F VCVC + - I =2mA 40 1k VRVR Freqüência = 60Hz Diagrama Fasorial

34 Análise de Circuitos RLC usando os conceitos de Fasor e Impedância Obs.: Este método de análise somente é válido para excitações senoidais, estando o circuito em regime permanente Obs.: Este método de análise somente é válido para excitações senoidais, estando o circuito em regime permanente Exemplo - Determine v c ( t ) : Exemplo - Determine v c ( t ) : V1( t )=10 cos(377 t ) + v R ( t ) - + v C ( t ) - V1 V1 = 10 0º FASORES IMPEDÂNCIAS Z R Z R = 20k Z C Z C = 1/(j ) =-j2,65k 10 0º -j2,65k + V C - Divisor de Tensão


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