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Ensino Superior 3 – Transformada de Laplace Amintas Paiva Afonso Introdução aos Sistemas Dinâmicos.

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1 Ensino Superior 3 – Transformada de Laplace Amintas Paiva Afonso Introdução aos Sistemas Dinâmicos

2 Sumário 3.1 Introdução 3.2 Revisão das variáveis complexas e das funções complexas. 3.3 Transformada de Laplace. 3.4 Teoremas da Transformada de Laplace. 3.5 Transformada inversa de Laplace.

3 3.1 Introdução

4 3.2 Definição da Transformada de Laplace

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7 f(t) = uma função de tempo t em que f(t) = 0 para t < 0 s = uma variável complexa F(s) = transformada de Laplace de f(t) L = Operador de Laplace - um símbolo operacional que indica que a grandeza que ele antecede vai ser tranformada por meio da integral de Laplace Então, a transformada de Laplace de f(t) é dada por: L [f(t)]= Desde que a integral convirja 3.2 Definição da Transformada de Laplace

8 Portanto, o método consiste em resolver equações diferenciais como se fossem equações algébricas. Definição: Dada uma função f(t) definida no intervalo [0, ) definimos a sua transformada de Laplace, F(s), por Supondo que a integral convirja pelo menos para algum valor de s. 3.2 Definição da Transformada de Laplace

9 Por meio de sua utilização, podemos converter muitas funções comuns, como funções senoidais, amortecidas e funções exponenciais, em funções algébricas de uma variável complexa s. A transformada de Laplace é um método operacional que pode ser usado de maneira proveitosa para solucionar equações diferenciais lineares. Operações como diferenciação e integração podem ser substituídas por operações algébricas no plano complexo. Assim, a equação diferencial linear pode ser transformada em uma equação algébrica em uma variável complexa s. 3.2 Definição da Transformada de Laplace

10 Se a equação algébrica em s for solucionada em termos da variável dependente, então a solução da equação diferencial (a transformada de Laplace inversa da variável dependente) poderá ser obtida por meio da tabela das transformadas de Laplace. 3.2 Definição da Transformada de Laplace

11 Vantagens da Transformada de Laplace Converte uma equação diferencial linear em uma equação algébrica, facilitando a sua solução. Obtém-se tanto a solução transitória quanto a permanente; Conversão de vários tipos de função em funcões algébricas; Permite o uso de técnicas gráficas para a previsão do desempenho do sistema, sem necessitar resolver suas equações diferenciais. 3.2 Definição da Transformada de Laplace

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13 Aplicando a Definição Exemplo 1: 3.2 Definição da Transformada de Laplace

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15 Exemplo 2: 3.2 Definição da Transformada de Laplace

16 Exemplo 3: 3.2 Definição da Transformada de Laplace

17 Exemplo 4: 3.2 Definição da Transformada de Laplace

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19 Transformação Linear

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21 Transformamos através do operador L funções f(t), na variável t, em funções F(s), na variável s. Sabe-se que uma integral definida em um intervalo ilimitado é chamada de integral imprópria e é definida como um limite de integrais definidas em intervalos finitos; Assim: Onde A é um real positivo. Se a integral de a até A existe para todo A > a e se o limite quando A existir, então dizemos que a integral imprópria converge para aquele valor limite. Caso contrário, diverge.

22 Exemplo 1: Seja f(t) = 1/t, t 1, então Converge? Logo, a integral imprópria diverge. Exemplo 2: Seja f(t) = 1/t 2, t 2, então a integral

23 Temos que: Logo a integral dada converge para o valor 1/2. Teorema: Se f é seccionalmente contínua em t a, se |f(t)| g(t) quando t M para alguma constante positiva M e se também converge. Por outro lado, se f(t) g(t) 0 para t M e se também diverge.

24 Teorema: (Existência da transformada de Laplace). Suponha que: 1) f seja seccionalmente contínua no intervalo 0 t A para qualquer A positivo; 2) |f(t)| Ke at quando t M, onde K, a e M são constantes reais com K e M necessariamente positivas. Então, a transformada de Laplace L [f(t)] = F(s), definida pela equação L [f(t)] = F(s) = Existe para s > a. Exemplo 3: Seja f(t) = 1, t 0. Então

25 Exemplo 4: Seja f(t) = sen(at), t 0. Então Temos integrando por partes Finalmente, F(s) = a / (s 2 + a 2 ), s > 0 Exemplo 5: Seja f(t) = e at, t 0, então

26 L F(s) aF(s) + bF(s) sF(s) – f(0) s 2 F(s) - sf(0) - f(0) f(t) af(t) + bf(t) f (t) Transformada de Laplace

27 Teorema: Suponha que f seja contínua e que f seja seccionalmente contínua em qualquer intervalo 0 t A. Suponha, além disso, que existam constantes k, a e M tais que |f(t)| ke at para t M. Então L [f(t)] existe para s > a e, além disso, L [f(t)] = s L [f(t)] = s L [f(t)] – f(0). Corolário: Suponha que as funções f, f, f,..., f (n-1) sejam contínuas e que f (n) seja seccionalmente contínua em qualquer intervalo 0 t A. Suponha, além disso, que existam constantes k, a e M tais que |f(t)| ke at, |f(t)| ke at...|f (n-1) (t)| ke at para t M. Então L [f (n) (t)] existe para s > a e é dado por L [f (n) (t)] = s n L[ [f(t)] – s n-1 f(0) sf (n-2) (0) – f (n-1 )(0).

28 Exemplo 6: Determine F(s) se f(x) = 3 + 2x 2. Por definição e tabela de transformada, temos: F(s) = L (3 + 2x 2 ) = 3 L (1) + 2L(x 2 ) = 3(1/s) + 2(2/s 3 ) = 3/s + 4/s 3. Exemplo 7: Resolva a equação diferencial y– y– 2y = 0 com y(0) = 1, y(0) = 0. Facilmente pode-se encontrar a solução y = 2/3e -t + 1/3e 2t usando equação característica. Usando transformada de Laplace, temos: L [y] – L [y] – 2 L [y] = 0, s 2 L [y] – sy(0) – y(0) – [s L [y] – y(0)] – 2 L (y) = 0

29 ou (s 2 – s – 2)Y(s) + (1 - s)y(0) – y(0) = 0 Y(s) = (s – 1) / (s 2 – s – 2) = (s – 1) / [(s – 2) (s + 1)] que acaba chegando à mesma solução.

30 Exemplo 8: Usando a transformada de Laplace, resolva a equação y – y - 6 = 0, y(0) = 1, y(0) = -1. Solução: L [y] – L [y] – 6 L [y] = 0 s 2 L [y] – sy(0) – y(0) – {s L [y] – y(0)} – 6 L [y] = 0. Como L [y] = Y(s), temos: s 2 Y(s) – sy(0) – y(0) – sY(s) + y(0) – 6Y(s) = 0 Y(s)(s 2 – s – 6) + 1 – s + 1 = 0 Y(s) = (s –2) / (s 2 – s – 6) = (s –2) / (s – 3)(s –+2) Separando em frações, temos: Y(s) = (1/5)/(s - 3) + (4/5)/(s + 2) Consultando a tabela de Laplace, temos Y(s) = (1/5)e 3t + (4/5)e -2t = (1/5)(e 3t + 4e -2t )

31 Exemplo 9: Resolva por Laplace a equação: y + y = senx, y(0) = 1. Solução: sY(s) – y(0) + Y(s) = 1 / (s 2 +1) sY(s) – 1 + Y(s) = 1 / (s 2 + 1), Y(s)(s + 1) = / (s 2 + 1) Y(s) = 1/(s + 1) + 1 / (s + 1)(s 2 + 1) Separando em frações, temos: 1/(s + 1)(s 2 + 1) = A/(s + 1) + (Bs + C) / (s 2 + 1) Donde A = ½, B = - ½ e C = ½. Então Y(s) = 1/(s + 1) + (1/2)/(s + 1) – (½)[s/(s 2 + 1)] + ½ [1/(s 2 + 1)] Logo: y = (3/2)e –x – (1/2)cos(x) + (1/2)sen(x) = ½ (3e –x – cos(x) + sen(x))

32 Função Degrau: A função Degrau unitário, denotado por c, é definida por A função de Laplace de c é determinada por

33 y t 1 c y = 1 - c t y c 1 y = c (t)

34 Teorema: Se F(s) = L [f(t)] existe para s > a 0 e se c é uma constante positiva, então L [µ c (t) f(t - c)] = e – cs L [f(t)] = e – cs F(s), s > a Reciprocamente, se f(t) = L –1 [F(s)], então µ c (t) f(t - c) = L –1 [e – cs F(s)] Teorema: Se F(s) = L [f(t)] existe para s > a 0 e se c é uma constante positiva, então L [e ct f(t)] = F(s - c), s > a + c Reciprocamente, se f(t) = L –1 {f(t)}, então e ct = L –1 {f(s-c)}.

35 Exemplo 10: Usando a função Reescreva a função Assim podemos escrever f(t) = a (t) sen(t - a) ou

36 Teorema: Se f é de ordem exponencial e é de período p, então Exemplo 11: Ache a transformada de Laplace da função cujo gráfico é t f(t) Neste caso, f é periódica com período 2, donde

37 Exemplo 12: Encontre a transformada de Laplace da função f(t) = t, 0 t < 1, f(t +1) = f(t). Integrando por partes, temos [1 – (1 + s)e –s ] / [s 2 (1 – e -s )]

38 Definição de convolução: Sejam f(x) e g(x) E. A convolução de f(x) e g(x) é dada por Exemplo: Se f(x) = e 3x e g(x) = e 2x, então f(t) = e 3t e g(t) = e 2(x - t) e Teorema: Se L [f(x)] = F(s) e L [g(x)] = G(s), então L [f(x). g(x)] = L [f(x)]. L [g(x)] = F(s). G(s) podem ser escrita na forma L –1 [F(s). G(s)] = f(x). g(x)

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