Introdução aos Sistemas Dinâmicos 3 – Transformada de Laplace

Apresentação em tema: "Introdução aos Sistemas Dinâmicos 3 – Transformada de Laplace"— Transcrição da apresentação:

1 Introdução aos Sistemas Dinâmicos 3 – Transformada de Laplace
Ensino Superior Introdução aos Sistemas Dinâmicos 3 – Transformada de Laplace Amintas Paiva Afonso

2 Sumário 3.1 Introdução 3.2 Revisão das variáveis complexas e das funções complexas. 3.3 Transformada de Laplace. 3.4 Teoremas da Transformada de Laplace. 3.5 Transformada inversa de Laplace.

3 3.1 Introdução

4 3.2 Definição da Transformada de Laplace

5 3.2 Definição da Transformada de Laplace

6 3.2 Definição da Transformada de Laplace

7 3.2 Definição da Transformada de Laplace
f(t) = uma função de tempo t em que f(t) = 0 para t < 0 s = uma variável complexa L = Operador de Laplace - um símbolo operacional que indica que a grandeza que ele antecede vai ser tranformada por meio da integral de Laplace F(s) = transformada de Laplace de f(t) Então, a transformada de Laplace de f(t) é dada por: L [f(t)]= Desde que a integral convirja

8 3.2 Definição da Transformada de Laplace
Portanto, o método consiste em resolver equações diferenciais como se fossem equações algébricas. Definição: Dada uma função f(t) definida no intervalo [0, ) definimos a sua transformada de Laplace, F(s), por Supondo que a integral convirja pelo menos para algum valor de s.

9 3.2 Definição da Transformada de Laplace
A transformada de Laplace é um método operacional que pode ser usado de maneira proveitosa para solucionar equações diferenciais lineares. Por meio de sua utilização, podemos converter muitas funções comuns, como funções senoidais, amortecidas e funções exponenciais, em funções algébricas de uma variável complexa s. Operações como diferenciação e integração podem ser substituídas por operações algébricas no plano complexo. Assim, a equação diferencial linear pode ser transformada em uma equação algébrica em uma variável complexa s.

10 3.2 Definição da Transformada de Laplace
Se a equação algébrica em s for solucionada em termos da variável dependente, então a solução da equação diferencial (a transformada de Laplace inversa da variável dependente) poderá ser obtida por meio da tabela das transformadas de Laplace.

11 3.2 Definição da Transformada de Laplace
Vantagens da Transformada de Laplace Conversão de vários tipos de função em funcões algébricas; Converte uma equação diferencial linear em uma equação algébrica, facilitando a sua solução. Obtém-se tanto a solução transitória quanto a permanente; Permite o uso de técnicas gráficas para a previsão do desempenho do sistema, sem necessitar resolver suas equações diferenciais.

12 3.2 Definição da Transformada de Laplace

13 3.2 Definição da Transformada de Laplace
Aplicando a Definição Exemplo 1:

14 3.2 Definição da Transformada de Laplace

15 3.2 Definição da Transformada de Laplace
Exemplo 2:

16 3.2 Definição da Transformada de Laplace
Exemplo 3:

17 3.2 Definição da Transformada de Laplace
Exemplo 4:

18 3.2 Definição da Transformada de Laplace

19 Transformação Linear

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21 Transformamos através do operador L funções f(t), na variável t, em funções F(s), na variável s.
Sabe-se que uma integral definida em um intervalo ilimitado é chamada de integral imprópria e é definida como um limite de integrais definidas em intervalos finitos; Assim: Onde A é um real positivo. Se a integral de a até A existe para todo A > a e se o limite quando A   existir, então dizemos que a integral imprópria converge para aquele valor limite. Caso contrário, diverge.

22 Exemplo 1: Seja f(t) = 1/t , t  1, então
Converge? Logo, a integral imprópria diverge. Exemplo 2: Seja f(t) = 1/t 2, t  2, então a integral

23 também converge. Por outro lado, se f(t)  g(t)  0 para t  M e se
Temos que: Logo a integral dada converge para o valor 1/2. Teorema: Se f é seccionalmente contínua em t  a, se |f(t)|  g(t) quando t  M para alguma constante positiva M e se também converge. Por outro lado, se f(t)  g(t)  0 para t  M e se também diverge.

24 Exemplo 3: Seja f(t) = 1, t  0. Então
Teorema: (Existência da transformada de Laplace). Suponha que: 1) f seja seccionalmente contínua no intervalo 0  t  A para qualquer A positivo; 2) |f(t)|  Keat quando t  M, onde K, a e M são constantes reais com K e M necessariamente positivas. Então, a transformada de Laplace L [f(t)] = F(s), definida pela equação L [f(t)] = F(s) = Existe para s > a. Exemplo 3: Seja f(t) = 1, t  0. Então

25 Exemplo 4: Seja f(t) = sen(at), t  0. Então
Temos integrando por partes Finalmente, F(s) = a / (s 2 + a 2), s > 0 Exemplo 5: Seja f(t) = eat, t  0, então

26 F(s) f(t) L af(t) + bf(t) aF(s) + bF(s) f ’(t) sF(s) – f(0) f ”(t) s 2F(s) - sf(0) - f’(0) Transformada de Laplace

27 Teorema: Suponha que f seja contínua e que f’ seja seccionalmente contínua em qualquer intervalo 0  t  A. Suponha, além disso, que existam constantes k, a e M tais que |f(t)|  ke at para t  M. Então L[f’(t)] existe para s > a e, além disso, L[f’(t)] = sL[f(t)] = sL[f(t)] – f(0). Corolário: Suponha que as funções f, f’, f”, ..., f(n-1) sejam contínuas e que f(n) seja seccionalmente contínua em qualquer intervalo 0  t  A. Suponha, além disso, que existam constantes k, a e M tais que |f(t)|  ke at , |f’(t)|  ke at ...|f(n-1)(t)|  ke at para t  M. Então L[f(n)(t)] existe para s > a e é dado por L[f(n)(t)] = snL[[f(t)] – sn-1f(0) sf(n-2)(0) – f(n-1)(0).

28 Exemplo 6: Determine F(s) se f(x) = 3 + 2x2.
Por definição e tabela de transformada, temos: F(s) = L(3 + 2x2) = 3L(1) + 2L(x2) = 3(1/s) + 2(2/s3) = 3/s + 4/s 3. Exemplo 7: Resolva a equação diferencial y”– y’– 2y = 0 com y(0) = 1, y’(0) = 0. Facilmente pode-se encontrar a solução y = 2/3e-t + 1/3e2t usando equação característica. Usando transformada de Laplace, temos: L[y”] – L[y’] – 2L[y] = 0, s2L[y] – sy(0) – y’(0) – [sL[y] – y(0)] – 2L(y) = 0

29 ou (s2 – s – 2)Y(s) + (1 - s)y(0) – y’(0) = 0
Y(s) = (s – 1) / (s2 – s – 2) = (s – 1) / [(s – 2) (s + 1)] que acaba chegando à mesma solução.

30 Exemplo 8: Usando a transformada de Laplace, resolva a equação y” – y’ - 6 = 0, y(0) = 1, y’(0) = -1. Solução: L[y”] – L[y’] – 6L[y] = 0 s2L[y] – sy(0) – y’(0) – {sL[y] – y(0)} – 6L[y] = 0. Como L[y] = Y(s), temos: s2Y(s) – sy(0) – y’(0) – sY(s) + y(0) – 6Y(s) = 0 Y(s)(s2 – s – 6) + 1 – s + 1 = 0 Y(s) = (s –2) / (s2 – s – 6) = (s –2) / (s – 3)(s –+2) Separando em frações, temos: Y(s) = (1/5)/(s - 3) + (4/5)/(s + 2) Consultando a tabela de Laplace, temos Y(s) = (1/5)e3t + (4/5)e-2t = (1/5)(e3t + 4e -2t)

31 Exemplo 9: Resolva por Laplace a equação: y’ + y = senx, y(0) = 1.
Solução: sY(s) – y(0) + Y(s) = 1 / (s2 +1) sY(s) – 1 + Y(s) = 1 / (s2 + 1), Y(s)(s + 1) = / (s2 + 1) Y(s) = 1/(s + 1) + 1 / (s + 1)(s2 + 1) Separando em frações, temos: 1/(s + 1)(s2 + 1) = A/(s + 1) + (Bs + C) / (s2 + 1) Donde A = ½, B = - ½ e C = ½. Então Y(s) = 1/(s + 1) + (1/2)/(s + 1) – (½)[s/(s2 + 1)] + ½ [1/(s2 + 1)] Logo: y = (3/2)e–x – (1/2)cos(x) + (1/2)sen(x) = ½ (3e–x – cos(x) + sen(x))

32 Função Degrau: A função Degrau unitário, denotado por c, é definida por
A função de Laplace de c é determinada por

33 y t 1 c y = 1 - c t y c 1 y = c (t)

34 Teorema: Se F(s) = L[f(t)] existe para s > a  0 e se c é uma constante positiva, então
L[µc(t) f(t - c)] = e – cs L[f(t)] = e – cs F(s), s > a Reciprocamente, se f(t) = L –1[F(s)], então µc(t) f(t - c) = L –1[e – cs F(s)] Teorema: Se F(s) = L[f(t)] existe para s > a  0 e se c é uma constante positiva, então L[ectf(t)] = F(s - c), s > a + c Reciprocamente, se f(t) = L –1 {f(t)}, então ect = L –1 {f(s-c)}.

35 Exemplo 10: Usando a função
Reescreva a função Assim podemos escrever f(t) = a(t) sen(t - a) ou

36 Teorema: Se f é de ordem exponencial e é de período p, então
Exemplo 11: Ache a transformada de Laplace da função cujo gráfico é 1 2 3 4 t f(t) Neste caso, f é periódica com período 2, donde

37 Integrando por partes, temos [1 – (1 + s)e –s] / [s2 (1 – e-s)]
Exemplo 12: Encontre a transformada de Laplace da função f(t) = t, 0  t < 1, f(t +1) = f(t). Integrando por partes, temos [1 – (1 + s)e –s] / [s2 (1 – e-s)]

38 Definição de convolução: Sejam f(x) e g(x)  E.
A convolução de f(x) e g(x) é dada por Exemplo: Se f(x) = e 3x e g(x) = e 2x, então f(t) = e 3t e g(t) = e 2(x - t) e Teorema: Se L[f(x)] = F(s) e L[g(x)] = G(s), então L[f(x) . g(x)] = L[f(x)] . L[g(x)] = F(s) . G(s) podem ser escrita na forma L –1[F(s) . G(s)] = f(x) . g(x)

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