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Transformações Geométricas. Transformações Lineares (espelhamento) x y P P = P´ x´ y´ P´ = x´ = -1.x y´ = y x y x y 0 0 1 x´ y´ =

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Apresentação em tema: "Transformações Geométricas. Transformações Lineares (espelhamento) x y P P = P´ x´ y´ P´ = x´ = -1.x y´ = y x y x y 0 0 1 x´ y´ ="— Transcrição da apresentação:

1 Transformações Geométricas

2 Transformações Lineares (espelhamento) x y P P = P´ x´ y´ P´ = x´ = -1.x y´ = y x y x y x´ y´ =

3 Transformações Lineares (rotação) x y x´ = x.cos - y.sen y´ = x.sen + y.cos cos x´ y´ = x y P = x´ y´ P´ = x y sen cos -sen

4 Transformações Lineares (rotação.vs. mudança de base) x y P = x y x y cos u v = sen cos -sen u v u v ou x y P = x´ y´ P´ = x y x y uxux u v = vxvx vyvy uyuy

5 Vantagens das coordenadas homogêneas (Translação) yhyh xhxh w w=1 x y x y P x y P = P txtx tyty t = txtx tyty + t = x y P == x y x y 1 x y 1 = txtx tyty 1 [T] Matriz de Translação

6 Coordenadas homogêneas x y P x y 1 x y P wx wy w xhxh yhyh w == x = x h /w y = y h /w w>0 = = yhyh xhxh w w=1 x y Ex.: = = =

7 Concatenação x y x0x0 y0y0 x y x y x y x0x0 y0y0

8 Concatenação de Transformações x y x y x y x y x y x y T1T1 R1R1 E R2R2 T2T2 P= T 2 R 2 E R 1 T 1 P

9 Vantagens das coordenadas homogêneas (pontos no infinito) w=1 uhuh w H1H1 C1C1 H 2 = C 2 H3H3 C3C / / yhyh xhxh w w=1 x y 2 3 u = u uhuh = ? ? infinito na direção (2,3) infinito na direção (2,3) H1H1 H2H2 H3H3 H4H4 C1C1 C2C2 C3C3 C4C4

10 Vantagens das coordenadas homogêneas (pontos no infinito, exemplo) A B C D x y O A B C D x y O infinito = = = = = = 2 1

11 Efeito de profundidade x y x y

12 Simplificação da projeção cônica plano de projeção eye Projeção cônica plano de projeção direção de projeção Projeção ortográfica

13 Geometria Projetiva e Coordenadas Homogêneas em 3D xhyhzhwxhyhzhw xyz1xyz1 m 11 m 12 m 13 m 14 m 21 m 22 m 23 m 24 m 31 m 32 m 33 m 34 m 41 m 42 m 43 m 44 = P P z x y P xyzxyz = P = xyzxyz x h /w y h /w z h /w =

14 Transformações em 3D (translações e escalas) x y z txtx tyty tztz 1 y z 1 x = x y z x y z 1 0 sysy szsz y z 1 x = sxsx 0 0 0

15 Transformações em 3D (Rotações) x y z x y z 1 0 cos x sen x 0 0 cos x y z 1 x = sen x x x y z 1 0 cos y sen y 0 0 cos y y z 1 x = sen y y x y z 1 0 cos z sen x 0 0 cos x y z 1 x = sen x z

16 Transformações em 3D (rotação em torno de um eixo qualquer) x y z 1 m 12 m 22 m 32 0 m 13 m 23 m y z 1 x = m 11 m 21 m 31 0 v = (v x, v y, v z ) x y z m 11 = v x 2 + cos (1- v x 2 ) m 12 = v x v y (1-cos ) - v z sen m 13 = v z v x (1-cos ) + v y sen m 21 = v x v y (1-cos ) + v z sen m 22 = v y 2 + cos (1- v y 2 ) m 23 = v y v z (1-cos ) - v x sen m 31 = v x v z (1-cos ) - v y sen m 32 = v y v z (1-cos )+ v x sen m 22 = v z 2 + cos (1- v z 2 )


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