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Exemplos Exemplo Convexo: Kocis e Grossmann (1987) Exemplo Convexo: Kocis e Grossmann (1987) Objetivo: definir a melhor configuração dos Objetivo: definir.

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1 Exemplos Exemplo Convexo: Kocis e Grossmann (1987) Exemplo Convexo: Kocis e Grossmann (1987) Objetivo: definir a melhor configuração dos Objetivo: definir a melhor configuração dos processos processos Processo 2 Processo 1 Processo 3 A2 B2 A3 B3 B1 C

2 Exemplos Formulação do modelo MINLP do problema Formulação do modelo MINLP do problema z = min -[11C-7B1-B2-1.2B3+1.8(A2+A3)-3.5y 1 -y 2 -1.5y 3 ] sujeito C = 0.9B B3 = 1.2log(1+A3) B2 = log(1+ A2) B = B1+B2+B3 C y 1 B3 10y 3 B2 10y 2 y 2 + y 3 1 y 1, y 2, y 3 {0,1} C, B1, B2, B3, A2, A3 0

3 Exemplos Formulação matemática do problema Formulação matemática do problema z = min (-2.9x 3 -8.9log(1+x 1 )-10.44log(1+x 2 )+ z = min (-2.9x 3 -8.9log(1+x 1 )-10.44log(1+x 2 )+ x,y x,y +1.8x 1 +1.8x 2 +3.5y 1 +y 2 +1.5y 3) +1.8x 1 +1.8x 2 +3.5y 1 +y 2 +1.5y 3)sujeito -y 1 +0.9log(1+x 1 )+1.08log(1+x 2 )+0.9x 3 0 -y 1 +0.9log(1+x 1 )+1.08log(1+x 2 )+0.9x 3 0 -10y 2 +log(1+x 1 ) 0 -10y 2 +log(1+x 1 ) 0 -10y 3 +1.2log(1+x 2 ) 0 -10y 3 +1.2log(1+x 2 ) 0 y 2 + y 3 - 1 0 y 2 + y 3 - 1 0

4 Exemplos Árvore branch e bound do problema Árvore branch e bound do problema 1 2 Y 3 =1 Z=-3 Z=-4.33 Y = (1,0,1) Novo NLP z=-1.92 1 a iteração - limite NLP = 1.0 2 a iteração - limite NLP = -1.92 2 a iteração - limite NLP = -1.92 Y 2 =1 534 Y = (1,1,0) Novo NLP z=-1.72 Y 3 =1 Y 3 =0 Z=-1.09 Z=-4.27 Z=-3.38 X o = (0,0,1) e Y o = (0,1,0)

5 Exemplos Árvore branch e bound do problema Árvore branch e bound do problema 3 a iteração - limite NLP = -1.92 Término da busca após examinar 7 nós Término da busca após examinar 7 nós 6 Y 3 =0 Y 2 =1 Z=-1.59 7 Y 2 =0 Z=0

6 Exemplos Exemplo Convexo: Kocis e Grossmann (1987) Exemplo Convexo: Kocis e Grossmann (1987) melhor configuração dos processos melhor configuração dos processos solução ótima z = -1.92 solução ótima z = -1.92 x = (0,1.52,0) e y = (1,0,1) x = (0,1.52,0) e y = (1,0,1) Processo 2 Processo 1 Processo 3 A2 B2 A3 B3 B1 C

7 Exemplos Exemplo não Convexo: Viswanathan e Exemplo não Convexo: Viswanathan e Grossmann(1990) Grossmann(1990) Formulação do modelo MINLP do problema Formulação do modelo MINLP do problema z = min -0.7y+5(x-0.5) 2 +0.8 sujeito -e (x-0.2) +1.1y+1 0 -e (x-0.2) +1.1y+1 0 x-1.2y-0.2 0 x-1.2y-0.2 0 0 x 1 y {0,1} 0 x 1 y {0,1}

8 Exemplos solução ótima z = 1.07 x = 0.94 y = 1 solução ótima z = 1.07 x = 0.94 y = 1 solução sub-ótima z = 1.25 x = 0.20 y = 0 solução sub-ótima z = 1.25 x = 0.20 y = 0 MILP onde y 0 = 0 e linearização para x = 0.2 MILP onde y 0 = 0 e linearização para x = 0.2 min min sujeito -0.7y-3x+1.85 -0.7y-3x+1.85 -x+1.1y+0.2 0 -x+1.1y+0.2 0 x-1.2y-0.2 0 x-1.2y-0.2 0 0 x 1 y {0,1} 0 x 1 y {0,1} Soluções do problema não convexo Soluções do problema não convexo

9 Exemplos Região viável e curvas de níveis da função Região viável e curvas de níveis da função objetivo objetivo

10 Exemplos região viável reduzida devido a linearização região viável reduzida devido a linearização solução ótima fora da região viável solução ótima fora da região viável

11 Exemplos Aplicação à rede de trocadores de calor Aplicação à rede de trocadores de calor procedimento de varredura preliminar procedimento de varredura preliminar Daichendt e Grossmann (1994) presença de não convexidade presença de não convexidade superestrutura reduzida para três correntes superestrutura reduzida para três correntes quentes e uma corrente fria quentes e uma corrente fria

12 Exemplos Aplicação à rede de trocadores de calor Aplicação à rede de trocadores de calor configuraçãooriginal Resfriamento Estágio 3 Estágio 3 Estágio 2 Estágio 2 Estágio 1 Estágio 1 Aquecimento Aquecimento H1 HU C1 Intervalo de temperatura Intervalo de temperatura 1 Intervalo de temperatura 2 Intervalo de temperatura 3 Intervalo de temperatura 3 Intervalo de temperatura 4 H2 H3 CU HU C1 HU C1 H1 C1 H1 C1 H2 C1 H2 C1 H2 CU H2 CU H3 CU H3 CU H1 CU H1 CU H2 C1 H2 C1 H3 C1 H3 C1

13 Exemplos Configuração inicial da rede Configuração inicial da rede Resfriamento Estágio 3 Estágio 3 Estágio 2 Estágio 2 Estágio 1 Estágio 1 Aquecimento Aquecimento H1 HU C1 Intervalo de temperatura Intervalo de temperatura 1 Intervalo de temperatura 2 Intervalo de temperatura 3 Intervalo de temperatura 3 Intervalo de temperatura 4 H2 H3 CU HU C1 HU C1 H1 C1 H1 C1 H2 C1 H2 C1 H2 CU H2 CU H3 CU H3 CU H1 CU H1 CU H2 C1 H2 C1 H3 C1 H3 C1

14 Exemplos Configuração final da rede Configuração final da rede Resfriamento Estágio 3 Estágio 3 Estágio 2 Estágio 2 Estágio 1 Estágio 1 Aquecimento Aquecimento H1 HU C1 Intervalo de temperatura Intervalo de temperatura 1 Intervalo de temperatura 2 Intervalo de temperatura 3 Intervalo de temperatura 3 Intervalo de temperatura 4 H2 H3 CU HU C1 HU C1 H1 C1 H1 C1 H2 C1 H2 C1 H2 CU H2 CU H3 CU H3 CU H1 CU H1 CU H2 C1 H2 C1 H3 C1 H3 C1 th 12 = 500.00 th 22 = 430.00 th 13 = 420.00 th 23 = 430.00 th 33 = 420.00 th 14 = 420.00 th 24 = 360.76 th 34 = 369.63 custo anual 6.26

15 Exemplos Configuração inicial da rede Configuração inicial da rede Resfriamento Estágio 3 Estágio 3 Estágio 2 Estágio 2 Estágio 1 Estágio 1 Aquecimento Aquecimento H1 HU C1 Intervalo de temperatura Intervalo de temperatura 1 Intervalo de temperatura 2 Intervalo de temperatura 3 Intervalo de temperatura 3 Intervalo de temperatura 4 H2 H3 CU HU C1 HU C1 H1 C1 H1 C1 H2 C1 H2 C1 H2 CU H2 CU H3 CU H3 CU H1 CU H1 CU H2 C1 H2 C1 H3 C1 H3 C1

16 Exemplos Configuração final da rede Configuração final da rede Resfriamento Estágio 3 Estágio 3 Estágio 2 Estágio 2 Estágio 1 Estágio 1 Aquecimento Aquecimento H1 HU C1 Intervalo de temperatura Intervalo de temperatura 1 Intervalo de temperatura 2 Intervalo de temperatura 3 Intervalo de temperatura 3 Intervalo de temperatura 4 H2 H3 CU HU C1 HU C1 H1 C1 H1 C1 H2 C1 H2 C1 H2 CU H2 CU H3 CU H3 CU H1 CU H1 CU H2 C1 H2 C1 H3 C1 H3 C1 th 12 = 420.00 th 22 = 430.00 th 13 = 420.00 th 23 = 430.00 th 33 = 420.00 th 14 = 420.00 th 24 = 360.76 th 34 = 369.63 custo anual 6.15


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