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a b c V R OPERAÇÕES E PROPRIEDADES Um espaço vetorial consiste em um sistema formado por dois conjuntos R = {,,,...} e V = {a, b, c}. No conjunto R, denominado.

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2 a b c V R OPERAÇÕES E PROPRIEDADES Um espaço vetorial consiste em um sistema formado por dois conjuntos R = {,,,...} e V = {a, b, c}. No conjunto R, denominado conjunto dos operadores, são definidas duas operações, que indicaremos por e. No conjunto V, chamado de conjunto de vetores, é definida a operadores ou vetores Uma operação externa ( ), que opera com um elemento de cada conjunto é também definida para esse sistema. operação externa ( a) V

3 Para as operações de R e V devem valer as propriedades: (1) R e R b V (fechamento) (2) ( ) = ( ) e ( ) = ( ) c = c) (associativa) (3) = = e = = n = a = a (elemento neutro) (4) = = e para, = = V a = a = n (elemento inverso) (5) = e = b = a (comutativa) (6) ( ) = ( ) ( ) (distributiva de em relação a ) Estas propriedades caracterizam R como um corpo e V como um grupo comutativo.

4 Além das propriedades citadas, devem também ser verificados os axiomas: A1 - b) = ( ( b) A2 – ( ) a = ( a) ( a) A3 – ) a = ( a) A4 – a = a e a = a A5 – n a = 0, sendo 0 um elemento de V. EXEMPLO R – conjunto dos reais com as operações adição e multiplicação (corpo dos reais). V – conjunto das matrizes quadradas com a operação adição. - operação externa – multiplicação de número real por matriz.

5 SUBESPAÇO VETORIAL Seja V um espaço vetorial. Todo subconjunto V de V que verifica as propriedades (1) 0 V', sendo 0 o vetor nulo. (2) au V', para todo escalar a de R e para todo vetor u de V'. (3) u + v V', para todo u e v de V'. é denominado subespaço vetorial. Os conjuntos {0} e V são denominados subespaços vetoriais próprios de V. O conjunto das matrizes A = [a ij ] 2x2, é um espaço vetorial sobre R. (Verifique). Se tomarmos o subconjunto A' = [a ij ]2x2, tais que a ij = x R se i = j = 1 e a ij = 0 para i 1 e j 1, este subconjunto será um subespaço vetorial de A. Exemplo:

6 0 (1) 0 = pois 0 A. (2) Seja k um nº real e M = uma matriz de A. a 0 0 Verificando: kM = A. Ka (3) Sejam M 1 = e M 2 = a 0 0 b 0 0 M 1 + M 2 = A. a + b 0 0 0

7 EXERCÍCIOS: 01 - Verifique se cada conjunto abaixo é ou não um subespaço de R 2 sobre R. a) {(x 1, x 2 ) | x 1 + x 2 = 0} b) {(x 1, x 2 ) | x 1 x 2 = 0} c) {(x 1, x 2 ) | x 1 = 3x 2 } d) {(x 1, x 2 ) | x 1 = 3x 2 + 1} (a) (1) 0 = (0, 0) V pois = 0. (2) Seja os vetores (a, b) e (c, d) tais que a + b = 0 e c + d = 0. (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d). Para a + b = 0 e c + d = 0, devemos ter a = - b e c = - d. Assim, a + c = - b – d Portanto, (a + c, b + d) = (- b – d, b + d) e (–b – d) + (b + d) = 0. Deste modo (a + c, b + d) V Indicaremos cada subconjunto por V. (3) k.(a, b) = (ka, kb). Como a + b = 0, ka + kb = k(a + b) = k.0 = 0. k(a, b) V V = {(x 1, x 2 ) | x 1 + x 2 = 0} é um subespaço vetorial de R 2.

8 b) {(x 1, x 2 ) | x 1 x 2 = 0} (1) 0 = (0, 0) V pois 0.0 = 0. (2) (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) V Para que x 1.x 2 seja igual a zero basta que um deles seja zero. Temos, por exemplo, (0, 4) e (2, 0) ambos pertencentes a V. (0, 4) + (2, 0) = (2, 4) que não pertence a V, pois Portanto, V não é subespaço vetorial. c) {(x 1, x 2 ) | x 1 = 3x 2 } (1) 0 = (0, 0) V pois 0 = 3.0. (2) Os vetores de V têm a forma (3x, x) pois x 1 = 3x 2. (3x, x) + (3y, y) = (3x + 3y, x + y) 3x + 3y = 3(x + y) a soma dos vetores pertencem a V. (3) k.(3x, x) = (3kx, kx). Como 3kx = 3.(kx), k.(3x, x) V. V = {(x 1, x 2 ) | x 1 = 3x 2 } é um subespaço vetorial.

9 d) {(x 1, x 2 ) | x 1 = 3x 2 + 1} (1) 0 = (0, 0) V pois V = {(x 1, x 2 ) | x 1 = 3x 2 + 1} não é subespaço vetorial de R Seja S o conjunto das matrizes 2x2 e A uma matriz particular de S. Determine se cada conjunto abaixo é ou não um subespaço vetorial das matrizes 2x2. a) V = {B S | AB = BA} b) V = {B S | AB BA} c) V = {B S | BA = 0} onde 0 é a matriz nula (a ij = 0, quaisquer que sejam i e j) a) V = {B S | AB = BA} 0 (1) 0 = V pois 0.A = A.0 = 0. (2) Sejam B 1 e B 2 matrizes de B. Isto é AB 1 = B 1 A e AB 2 = B 2 A. A.(B 1 + B 2 ) = AB 1 + AB 2 = B 1 A + B 2 A = (B 1 + B 2 ).A. Portanto, B 1 + B 2 pertencem a V pois comuta com A. (3) (kB).A = k.(A.B) = (KA).B. Como kB comuta com A, kB V V = {B S | AB = BA} é um subespaço vetorial e de S.

10 b) V = {B S | AB BA} Não é um subespaço vetorial pois a matriz nula não pertence a V uma vez que ela comuta com qualquer outra matriz. c) V = {B S | BA = 0} onde 0 é a matriz nula (a ij = 0, quaisquer que sejam i e j) 0 (1) 0 = V pois 0.A = 0. (2) Sejam B 1 e B 2 tais que B 1 A = 0 e B 2 A = 0. (B 1 + B 2 ).A = B 1.A + B 2.A = = 0. Portanto, (B 1 + B 2 ) V (3) (kB 1 ).A = k.(B 1.A) = k.0 = 0. Portanto, kB 1 V. V = {B S | BA = 0} é um subespaço vetorial.


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