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ESTRUTURAS ALGÉBRICAS OPERAÇÕES Seja um conjunto C. Define-se em C a operação como sendo o processo que associa ao par (a, b) de C um elemento c de C,

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1 ESTRUTURAS ALGÉBRICAS OPERAÇÕES Seja um conjunto C. Define-se em C a operação como sendo o processo que associa ao par (a, b) de C um elemento c de C, podendo ou não ser igual a a ou a b. Indica-se a b = c a e b são os operandos e c é o resultado. Deve-se notar que o elemento c é único. Pode-se usar qualquer símbolo para indicar uma operação. Entretanto, algumas operações já têm os sinais convencionados. Por exemplo: + é usado para a operação adição X ou. são usados para a multiplicação a b é usado para a potenciação.

2 PROPRIEDADES DAS OPERAÇÕES (a) é comutativa se e somente se a, b A, a b = b a. (b) é associativa se e somente se a, b, c A, (a b) c = (a b) c. A operação : (c) admite elemento neutro, que indicaremos por n, se e somente se, para todo x A, x n = n x = x. (d) admite elementos inversíveis x se, para o elemento x de A, existir um elemento x, também de A, tal que x x = x x = n, onde n é o elemento neutro da operação Ä. - elemento neutro à esquerda: a A, n A, tal que n a = a. - elemento neutro à direita: a A, n A, tal que a n = a. O elemento x pode ser inversível somente à direita ou somente à esquerda. Se existir o elemento neutro à esquerda e à direita ele será único.

3 DISTRIBUTIVIDADE Sejam a, b, c elementos do conjunto A no qual são definidas as operações e. Se a ( b c) = (a b) ( a c) então é distributiva à esquerda em relação à operação. Se (a b) c = (a c) ( b c) então é distributiva à direita em relação à operação. Ocorrendo os dois casos, é distributiva em relação à operação. A multiplicação é distributiva em relação à adição. a.(b + c) = a.b + a.c A potenciação é distributiva em relação à multiplicação, porém não é distributiva em relação à adição. (a.b) c = a c.b c (a + b) c a c + b c

4 EXERCÍCIOS 1 – Considere os conjuntos A = {a, b, c, d}, B = {c, d, e, f} e C = {c, d, g, h}. Calcule: (a) A (B C) (b) (A B) (A C) (c) A (B C) (d) (A B) (A C) (e) Comparando os itens (a) e (b) que conclusão se pode tirar? (f) Comparando os itens (c) e (d) que conclusão se pode tirar? (g) Que conclusão se tirar com relação aos itens (e) e (f)? (h) Fato semelhante acontece com a multiplicação e a adição? Explique. 2 – Escreva três matrizes quadrada de ordem 2. Verifique se a multiplicação é distributiva à esquerda e à direita, em relação à adição. 3 – Considere as permutações P 1 (1, 2, 3, 4) = (3, 2, 1, 4); P 2 (1, 2, 3, 4) = (4, 3, 1, 2) e P 3 (1, 2, 3, 4) = (1, 4, 2, 3). Calcule (a) P 1 o(P 2 oP 3 ) (b) (P 1 oP 2 )oP 3. A associatividade foi verificada ou não? Explique.

5 4 - Para cada uma das operações abaixo informe quais são operações internas no conjunto indicado: (a) a * b = |ab| 1/2 em Q. (b) a * b = a/b em Z. (c) (a, b)*(c, d) = (a + c, cb + d) em R 2. (d) a * b = raiz da equação x 2 – a 2 b 2 = 0 em R. (e) a * b = a log b no conjunto R* + (reais positivos). (f) a * b = a + b em N. (g) a * b = a – b em {x Z | x > 0} (h) a * b = (a + b) 2 em Z. 5 - Para as operações indicadas a seguir em R 2 verifique se as mesmas São: I – comutativa, II – associativa, III – possui elemento neutro, IV – admite inverso (a) (a, b) * (c, d) = (ac, bd) (b) (a, b) * (c, d) = (a + c, cb + d)

6 6 - Considere o conjunto dos reais e a operação *, definida por a * b = (a 2 + b 2 ) 1/2. (a) Informe se tal operação é ou não associativa e/ou comutativa. (b) Verifique se a operação * tem ou não elemento neutro. Se afirmativo, qual é ele? (c) Verifique se a operação * admite ou não elemento inverso. Se afirmativo, qual é o elemento inverso de x? (d) Se apenas alguns elementos de R apresentam inverso, quais seriam esses elementos?


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