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IV – MONÓIDE COMUTATIVO Definido pelo par (A, ) onde a operação, definida em A, é: (a)associativa, (b) tem elemento neutro, (c) não admite inverso e (d)

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2 IV – MONÓIDE COMUTATIVO Definido pelo par (A, ) onde a operação, definida em A, é: (a)associativa, (b) tem elemento neutro, (c) não admite inverso e (d) é comutativa. Exemplo: conjunto N e a operação adição. V – GRUPO Formado pelo par (A, ) onde a operação, definida no conjunto A, (a) é associativa, (b) tem elemento neutro, e (c) todo elemento de A é inversível. Exemplo: conjunto das matrizes quadradas de ordem 2 e determinante diferente de zero, munido da operação multiplicação. VI – GRUPO ABELIANO OU GRUPO COMUTATIVO É um grupo onde a operação,além das propriedades características e um grupo, é comutativa. Exemplo: conjunto Z e a operação adição.

3 VII – ANEL Consiste no sistema (A,, ), onde: - A é o conjunto - e são as operações O conjunto (A, ) constitui um grupo abeliano. O conjunto (A, ) é um grupóide. A, N, I, C A A operação deve ser distributiva em relação à operação. a (b c) = (a b) (a c) Se a operação for comutativa, a estrutura denomina-se ANEL COMUTATIVO. Será um ANEL COM IDENTIDADE ou ANEL UNITÁRIO quando apresentar elemento neutro. Exemplo: O conjunto das matrizes quadradas de ordem n, com as operações adição e multiplicação constitui um anel, não comutativo, com identidade.

4 VIII – CORPO É o mesmo trio que constitui um anel, isto é (C,, ). No corpo, as duas operações devem ser grupos abelianos. A, N, I, C Convém ficar claro que, o elemento neutro da primeira operação não tem inverso para a segunda operação. Deve também ser observada a distributividade de em relação a. Exemplo: Conjunto Q com as operações adição e multiplicação. O neutro da adição (zero) não tem inverso para a multiplicação.

5 IX – ESPAÇO VETORIAL Nesta estrutura temos dois conjuntos. Um dos conjunto, cujos elementos são chamados de OPERADORES, deve apresentar uma estrutura de CORPO. O outro conjunto deve apresentar uma estrutura (mínima) de MONÓIDE, podendo apresentar inversibilidade apenas à esquerda ou à direita. Seus elementos são chamados de VETORES. Uma operação externa liga os dois conjuntos. Nesta operação, o resultado será um elemento do segundo conjunto. Sejam: A = {a, b, c} - conjunto dos operadores B = {,, } - conjunto dos vetores. e - operações no corpo A. - operação no conjunto B, dos vetores - operação externa.

6 B vetores operadores A O quadro abaixo apresenta um esquema da estrutura ESPAÇO VETORIAL. a, b, c A, N, I, C a (b c) = (a b) (a c) (distributiva),, A, N, inverso à esquerda ou à direita – no mínimo. - operação externa a B. Propriedades a serem observadas: (1) a (b ) = (a b) (associatividade) (2) a ( ) = (a ) (a ) (distributividade) (3) (a b) = (a ) (b ) (distributividade).

7 Estrutura Operação 1 ANIC 1 Grupóide não 2 Semigrupo simnão 3 monóide sim não Distributividade da operação 2 em relação à operação 1 4 Mon.comut sim nãosim 5 Grupo sim não2ª OPERAÇÃO 6 Grupo abel. sim ANIC 7 Anel sim não Sim 8 Anel. Com. sim não simSim 9 Anel comut. c/ident sim nãosimSim 10 Corpo sim


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