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CONJUGADO Seja G um grupo Conjugado de x por y, que se denota por [x] y, é o elemento de G tal que [x] y = y -1 xy. COMUTADOR Comutador de x e y, que.

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2 CONJUGADO Seja G um grupo Conjugado de x por y, que se denota por [x] y, é o elemento de G tal que [x] y = y -1 xy. COMUTADOR Comutador de x e y, que se denota-se por [x, y], ao elemento de G, tal que [x, y] = xyx -1 y -1. Considere o grupo (G, *) onde * é definido por a + b + ab. Calcule: EXERCÍCIOS: (a) o conjugado de 3 por 5. (b) O comutador de 3 e 5.

3 SUBGRUPOS Definição 1 - Seja H um subconjunto não vazio de um grupo (G,*). Diz-se que H é um subgrupo de G se (H, *) for também um grupo. Denota-se então H < G. (1) Seja H = { v i = (x i, y i, z i ), (x i, y i, z i ) R 3 },onde v 1 v 2 = (x 1 + x 2 + x 3, y 1 + y 2 + y 3, z 1 + z 2 + z 3 ). H é um grupo, sendo (0, 0, 0) o elemento neutro e (-x, -y, -z) o inverso de(x, y, z). Se G = {v i = (0, y i, z i ), y i, z i R}, então (G,*) é um subgrupo de H. Definição 2 - Um subgrupo H de G é dito impróprio ou trivial se H = {n} onde n é o elemento neutro de G. Todos os outros subgrupos são chamados próprios ou não triviais. EXEMPLOS: (2) (Q +, x) com a operação multiplicação é um subgrupo de (R +, x) (3) O conjunto das n-ésimas raízes da identidade um (1), n N, é um subgrupo do grupo C* (números complexos não nulos). (4) O conjunto {1} é um subgrupo trivial de R* em relação à multiplicação.

4 PROPRIEDADES (1)Se (H, *) é um subgrupo de (G, *), o neutro de G coincide com o neutro de H. (2) (a * b) -1 = b -1 * a -1 Demonstração: (a *b) –1 é o inverso de (a* b). (i) (a*b)*(b -1 *a -1 ) = a*(b*b -1 )*a -1 (pela propriedade associativa do grupo). = a*n*a -1 (inverso) = a*a -1 (neutro) = n (inverso) Inverso à esquerda Do mesmo modo se prova que (b -1 *a -1 )* (a*b) = n Inverso à direita (3) (a -1 ) -1 = a Demonstração: (a -1 ) -1 *(a -1 ) = n (a -1 ) é o inverso de (a -1 ) -1. Mas, (a -1 ) é o inverso de a. Como o inverso é único, a = (a -1 ) -1.

5 CONDIÇÕES PARA EXISTÊNCIA DE SUBGRUPO GRUPO INFINITO (1) x, y H, x*y H (2) x H, x -1 H. 1º CASO 2º CASO x, y H, x*y-1 H. GRUPO FINITO x, y H, x*y H. Pode-se também verificar o fechamento, a existência do neutro e do inverso.

6 GRUPOS CÍCLICOS Um elemento a G é dito gerador do grupo (G, *) se, Definição 1 m G, existe m G, tal que m = a*m. Todo grupo (G, *) gerado por um único elemento de G é denominado grupo cíclico gerado por a. Definição 2 O grupo gerado pelo elemento a é indicado por. Se a (G, *), então H = {a m, m Z} é o grupo cíclico de G, gerado por a. Teorema 1 Ou seja, = {a m | m Z}. 1 - (Z, +) é um grupo gerado por 1 pois, para cada m Z, m = m + 1, logo Z = {m + 1 | m Z} =. Também, (Z, +), é gerado por qualquer outro elemento de Z. Exemplo

7 2 – (Z 4, +). (a) Todo elemento de Z 4 é gerador de Z 4. : = 0, = 1, = 2, = 3 : = 1, = 2, = 3, = 0. : = 2, = 3, = 0, = 1. : = 3, = 0, = 1, = 2. (b) (Z 4, +) é um grupo cíclico pois pode ser existem x, tais que x m = a, onde a é qualquer elemento de Z 4. Os geradores cíclicos de Z 4 são 1 e 3. <1> = {1 0 = 0, 1 1 = 1, 1 2 = = 2, 1 3 = = 3 <3> = {3 0 = 0, 3 1 = 3, 3 2 = = 2, 3 3 = = 1 =


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