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Sejam (G 1, *) e (G 2, ) dois grupóides. (obrigatoriedade da operação) HOMOMORFISMO DE GRUPÓIDES DEFINIÇÃO Chama-se homomorfismo de (G 1, *) para (G 2,

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2 Sejam (G 1, *) e (G 2, ) dois grupóides. (obrigatoriedade da operação) HOMOMORFISMO DE GRUPÓIDES DEFINIÇÃO Chama-se homomorfismo de (G 1, *) para (G 2, ) a toda a função f : G 1 G 2 tal que " x, y G 1, f(x * y) = f(x) f(y). Sejam (N, +) e (2N, +) dois grupóides. (2N é o conjunto dos pares) (A função f : N 2N tal que para todo x N, f(x) = 2x, é um homomorfismo de grupóides. Tem-se: f(x + y) = 2.(x + y) = 2x + 2y = f(x) + f(y). EXEMPLO G1G1 Conjunto * Operação G2G2 Elementos XyXy x * y f(x * y) = f(x) f(y) f(x) f(y) f(x * y)

3 Mas x y = f(a) f(b) = f(a * b) pois, há um homomorfismo entre os dois grupóides. TEOREMA 1 Sejam (G 1, *) e (G 2, ) dois grupóides. Se f : G 1 G 2 é um homomorfismo entre os dois grupóides então f(G 1 ) é fechado para a operação. Demonstração. Sejam x, y f(G 1 ). Por definição de f, existem a, b G 1 tais que x = f(a) e y = f(b). Como (G 1, *) é um grupóide pode-se concluir que a * b G 1. f(G 1 ) x y G 1, * G 2, a * b a b Devemos provar que x y pertencem a g(G 1 ). Portanto, existe em f(G 1 ) o elemento f(a*b). (Por definição da função f, todo elemento de G 1 tem imagem) Portanto, f(a) f(b) é um elemento de f(G 1 ), o que prova o fechamento da operação em f(G 1 ). f(a) f(b) = x y

4 (d) Se em (G 1, *), x é o inverso de x, então f(x) é o inverso de f(x) em (f(G 1 ), ). TEOREMA 2 Sejam (G 1, *) e (G 2, ) dois grupóides. Se f : G 1 G 2 é um homomorfismo entre os dois grupóides então (a) Se * é associativa em G 1 então é associativa em f(G 1 ); (b) Se * é comutativa em G 1, então é comutativa em f(G 1 ); (c) Se n é elemento neutro de (G 1, *) então f(n) é elemento neutro de (f(G 1 ), ); DEMONSTRAÇÃO Sejam x, y, z elementos de G 1 e f(x), f(y), f(z) elementos de G 2. (a) Por hipótese x * (y * z) = (x * y) * z f[x * (y * z)] = f[(x * y) * z] (1) (associatividade em G 1 ). Mas, f[x * (y * z)] = f(x) f(y * z) = f(x) [f(y) f(z)] (definição de homomorfismo) e, f[(x * y) * z] = f(x * z) f(z) = [f(x) f(y)] f(z) De acordo com a igualdade (1) se conclui f(x) [f(y) f(z)] = [f(x) f(y)] f(z) O que comprova a associatividade de.

5 (b) Por hipótese a * b = b * a (comutatividade da operação *). Deste modo: f(a * b) = f(b * a) f(a) f(b) = f(b) f(a) (definição de homomofismo) é comutativa. (c)Por hipótese, n G 1, tal que, a G 1, a * n = n * a = a f(a * n) = f(a) (1). Assim, f(a * n) = f(a) f(n) (definição de homomorfismo) = = f(a) [de acordo com a igualdade (1)] Ora, f(a) f(n) = f(a) implica que f(n) é o neutro de. Da mesma forma se comprova que f(n) f(a) = f(a). (d) Por hipótese, x G 1, x G 1, tal que, x * x = x * x = n. f(x * x) = f(x * x) = f(n) (1) Tem-se então: f(x * x) = f(x) f(x) = (definição de homomorfismo) = = f(n) de acordo com a igualdade (1). Portanto, f(x) é o inverso de f(x).

6 Quando existe um isomorfismo entre os dois grupóides, escreve-se G1 ~ G2 e diz-se que os grupóides são isomorfos. DEFINIÇÕES Sejam (G 1, *) e (G 2, ) dois grupóides e f : G 1 G 2 um homomorfismo entre os dois grupóides. Diz-se que f é: 1. um monomorfismo se f é injetiva; 2. um epimorfismo se f é sobrejetiva; 3. um isomorfismo se f é bijetiva; 4. um endomorfismo se G 1 = G 2 ; 5. um automorfismo se f endomorfismo e isomorfismo. EXERCÍCIO Mostre que f:(N, +) (N, X) é um homomorfismo,sendo f(x) = a x, onde a é um elemento qualquer de N.


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