BCC101 – Matemática Discreta I

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1 BCC101 – Matemática Discreta I
Lecture 7 - CS 1813 Discrete Math, University of Oklahoma 3/25/2017 BCC101 – Matemática Discreta I Raciocínio Equacional ou Algébrico Álgebra Booleana BCC101 Matemática Discreta I

2 Algumas Leis da Álgebra
a + 0 = a {+ identidade} (-a) + a = 0 {+ complemento} a  1 = a { identidade} a  0 = 0 { zero} a + b = b + a {+ comutatividade} a + (b+c) = (a+b) + c {+ associatividade} a(b+c) = ab + ac {distributividade} Equações valem nos dois sentidos BCC101 Matemática Discreta I

3 prova por raciocínio equacional ou algébrico
Teorema (-1)  (-1) = 1 (-1)  (-1) = ((-1)  (-1)) {+ id} = ((-1)  (-1)) + ((-1) + 1) {+ comp} = (((-1)(-1)) + (-1)) {+ assoc} = (((-1)(-1)) + (-1)1) { id} = ((-1)((-1) + 1)) {distrib} = ((-1)0) {+ comp} = { zero} = {+ com} = {+ id} QED prova por raciocínio equacional ou algébrico BCC101 Matemática Discreta I

4 Propriedades de Operadores
Um operador binário ⊗ é dito simétrico (ou comutativo) se [ x ⊗ y = y ⊗ x ] Seja ⊗ simétrico. O valor z é o zero de ⊗ se [x ⊗ z = z] O valor e é a unidade de ⊗ se [x ⊗ e = x] Se ⊗ não é simétrico, temos que distinguir entre zero à esquerda e zero à direita. BCC101 Matemática Discreta I

5 Leis da Álgebra Booleana
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6 Teorema (a  false)  (b  true) = b
equações {regra} subst (p  false)  (q  true) novos nomes p/ evidenciar subst. = false  (q  true) {zero } [p /a] = (q  true)  false { comut} [false /a] [qtrue /b] = q  true {unidade } [q  true /a] = q {unidade } [q /a] QED BCC101 Matemática Discreta I

7 Teorema (a  b)  b = b  absorção
equações {regra} substituição (p  q)  q novos nomes p/ evidenciar subst = (p  q)  (q  true) {unidade } [q /a] = (q  p)  (q  true) { comut} [p /a] [q /b] = q  (p  true) { dist } [q /a] [true/b] [p/c] = q  true {zero } [p /a] = q {unidade } [q /a] QED BCC101 Matemática Discreta I

8 Teorema (a  b)  b = b  absorção
equações {regra} substituição (p  q)  q … exercicio … = q BCC101 Matemática Discreta I

9 Consistente, mas não Minimal redundância nas leis da álgebra Booleana
Derivando a lei do contrapositivo Teorema (contrapositivo): a  b = b  a Uma prova usando as demais leis equações {regra} substituição p  q = (p)  q {def imp} [p /a] [q /b] = (((p)  q)) {dup neg} [(p)  q /a] = (((p))  (q)) {DeMorgan } [p /a] [q /b] = (p  (q)) {dup neg} [p /a] = (p)  ((q)) {DeMorgan } [p /a] [q /b] = ((q))  (p) { comm} [p /a] [((q)) /b] = (q)  (p) {def imp} [q /a] [p /b] QED BCC101 Matemática Discreta I

10 Álgebra Booleana – propriedades do =
(a =b) = (b = a) {comut}} ((a = b) = c) = (a = (b = c)) {assoc} true = a = a {true} ¬a = a = false {false} a ∨ a = a {idempotência} a ∨ b = b ∨ a {comutatividade} (a ∨ b) ∨ c = a ∨ (b ∨ c) {associatividade} p ∨ (q = r) = p ∨ q = p ∨ q {distributividade} p ∨ ¬p = true {terceiro excluído} a ∧ b = a = b = a ∨ b {definição do ∧} a ⇒ b = a = a ∨ b {definição do ⇒} BCC101 Matemática Discreta I

11 BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP
11/28/06 Knights e Knaves Again knights x knaves A é a proposição “A é um knight” Q é uma questão com resposta sim/não Se você faz uma pergunta Q ao nativo A, o que se pode dizer sobre a resposta? E se Q = “você é um knight?” E se Q = “B é um knight?” E se você pergunta a B se “A é um knight?” fala verdade fala mentira A=Q A=A Outras axiomatizações da lógica enfatizam a implicação lógica (⇒) A=B B=A BCC Matemática Discreta - DECOM/UFOP

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11/28/06 Knights e Knaves 1 Pergunta-se a um dos nativos se existe ouro na ilha e ele responde: “Existe ouro na ilha é o mesmo que eu sou um knight”. Pode-se determinar se o nativo é um knight ou um knave? Pode-se determinar se existe ou não ouro na ilha? Solução: A = “A é um knight” O = “existe ouro na ilha” A resposta do nativo é Portanto, devemos ter A = O A = (A = O) = true BCC Matemática Discreta - DECOM/UFOP

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Knights e Knaves 1… true = A = (A = O) {afirmação de A} = (A = A) = O {associatividade de =} [A/a] = true = O {reflexividade de =} [O/a] = O = true {simetria de =} [O/a] = O { a = (a=true) [O/a] Conclusão: existe ouro na ilha, mas não é possível determinar se A é knight ou knave BCC Matemática Discreta - DECOM/UFOP

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11/28/06 Knights e Knaves 2 Suponha agora que o nativo está em uma bifurcação e você quer determinar se o ouro está no caminho da direita ou da esquerda. Você deve formular uma pergunta, de maneira que a resposta seja ‘’sim” se o ouro está no caminho da esquerda e “não” se o ouro está no caminho da direita. Que pergunta você faria? Solução: Considere A = “A é um knight” E = “o ouro está à esquerda” Q é a pergunta a ser formulada Requeremos que E ≡ (A≡Q) Portanto, (E≡A) ≡ Q Já sabemos que a resposta à questão é A=Q Queremos que a resposta seja igual a L Portanto, temos L = (A=G) Portanto, a questão a ser formulada é: “o valor verdade de o ouro está no caminho esquerdo é igual ao valor verdade de você é um knight?”, ou “o ouro está do lado esquerdo é o mesmo que você é um knight?” Pode-se argumentar que essa questão é muito técnica. Mais adiante veremos uma maneira de reformular essa questão em uma linguagem mais natural BCC Matemática Discreta - DECOM/UFOP

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Knights and Knaves 3 Considere 3 nativos da ilha: A, B e C. O nativo C diz que “A e B são do mesmo tipo”. Faça uma pergunta para A que determine se C fala a verdade. A = “A é knight” B = “B é knight” C = “C é knight” Q é a pergunta A resposta é C BCC Matemática Discreta - DECOM/UFOP

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11/28/06 Knights e Knaves 3… A resposta que queremos é C. Pelo que vimos antes, temos que Q = (A = C) Mas a afirmação de C foi A = B Portanto, C = (A =B) Substituindo 4. em 2. temos Q = (A = (A=B)) Mas A = (A = B) pode ser simplificado para B Conclusão: A pergunta a ser feita é “B é um knight?” Repetir o argumento na forma de cálculo: Q { regra para a formulação da questão} = A = C { afirmação de C: A=B} = A = (A=B) {associatividade da igualdade} = (A = A) = B { (A=A) = true} = true = B { (true=B) = B} = B BCC Matemática Discreta - DECOM/UFOP

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Knights X Knaves 4 Considere 2 nativos, A e B. A diz: “B é um knight é o mesmo que eu não sou um knight”. O que se pode determinar sobre os tipos de A e de B? Solução: A = B = ¬A {rearranjando os termos} = ¬A = A = B {¬a = a = false} [A/a] = false = B {¬a = a = false} [B/a] = ¬B Conclusão: B é um knave, mas A pode tanto ser um knight como um knave. BCC Matemática Discreta - DECOM/UFOP