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BCC101 Matemática Discreta I 1 BCC101 – Matemática Discreta I Raciocínio Equacional ou Algébrico Álgebra Booleana.

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1 BCC101 Matemática Discreta I 1 BCC101 – Matemática Discreta I Raciocínio Equacional ou Algébrico Álgebra Booleana

2 BCC101 Matemática Discreta I 2 Algumas Leis da Álgebra a + 0 = a{+ identidade} (-a) + a = 0{+ complemento} a 1 = a{ identidade} a 0 = 0{ zero} a + b = b + a{+ comutatividade} a + (b+c) = (a+b) + c{+ associatividade} a (b+c) = a b + a c {distributividade} Equações valem nos dois sentidos

3 BCC101 Matemática Discreta I 3 Teorema (-1) (-1) = 1 (-1) (-1) = ((-1) (-1)) + 0{+ id} = ((-1) (-1)) + ((-1) + 1){+ comp} = (((-1) (-1)) + (-1)) + 1{+ assoc} = (((-1) (-1)) + (-1) 1) + 1{ id} = ((-1) ((-1) + 1)) + 1{distrib} = ((-1) 0) + 1{+ comp} = 0 + 1{ zero} = 1 + 0{+ com} = 1{+ id} QED prova por raciocínio equacional ou algébrico

4 Propriedades de Operadores Um operador binário é dito simétrico (ou comutativo) se [ x y = y x ] Seja simétrico. O valor z é o zero de se [x z = z] O valor e é a unidade de se [x e = x] Se não é simétrico, temos que distinguir entre zero à esquerda e zero à direita. BCC101 Matemática Discreta I 4

5 5 Leis da Álgebra Booleana

6 BCC101 Matemática Discreta I 6 Teorema (a false) (b true) = b equações {regra}subst (p false) (q true) novos nomes p/ evidenciar subst. = false (q true){zero } [p /a] = (q true) false{ comut} [false /a] [q true /b] = q true {unidade }[q true /a] = q {unidade }[q /a] QED

7 BCC101 Matemática Discreta I 7 Teorema (a b) b = b absorção equações{regra}substituição (p q) qnovos nomes p/ evidenciar subst = (p q) (q true){unidade } [q /a] = (q p) (q true) { comut} [p /a] [q /b] = q (p true){ dist } [q /a] [true/b] [p/c] = q true{zero } [p /a] = q{unidade } [q /a] QED

8 BCC101 Matemática Discreta I 8 Teorema (a b) b = b absorção equações {regra}substituição (p q) q … exercicio … = q

9 BCC101 Matemática Discreta I 9 Consistente, mas não Minimal redundância nas leis da álgebra Booleana equações {regra}substituição p q = ( p) q {def imp} [p /a] [q /b] = ( (( p) q)) {dup neg} [( p) q /a] = (( ( p)) ( q)) {DeMorgan } [ p /a] [q /b] = (p ( q)) {dup neg} [p /a] = ( p) ( ( q)) {DeMorgan } [p /a] [ q /b] = ( ( q)) ( p) { comm} [ p /a] [ ( (q)) /b] = ( q) ( p) {def imp} [ q /a] [ p /b] QED Derivando a lei do contrapositivo Teorema (contrapositivo): a b = b a Uma prova usando as demais leis

10 Álgebra Booleana – propriedades do = (a =b) = (b = a) {comut}} ((a = b) = c) = (a = (b = c)) {assoc} true = a = a{true} ¬ a = a = false {false} a a = a{idempotência} a b = b a{comutatividade} (a b) c = a ( b c){associatividade} p ( q = r) = p q = p q{distributividade} p ¬ p = true{terceiro excluído} a b = a = b = a b{definição do } a b = a = a b{definição do } BCC101 Matemática Discreta I 10

11 Knights e Knaves Again knights x knaves A é a proposição A é um knight Q é uma questão com resposta sim/não Se você faz uma pergunta Q ao nativo A, o que se pode dizer sobre a resposta? E se Q = você é um knight? E se Q = B é um knight? E se você pergunta a B se A é um knight? BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP 11 fala verdadefala mentira A=QA=Q A=AA=A A=BA=B B=AB=A

12 Knights e Knaves 1 Pergunta-se a um dos nativos se existe ouro na ilha e ele responde: Existe ouro na ilha é o mesmo que eu sou um knight. a)Pode-se determinar se o nativo é um knight ou um knave? b)Pode-se determinar se existe ou não ouro na ilha? Solução: A = A é um knight O = existe ouro na ilha A resposta do nativo é Portanto, devemos ter BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP 12 A = O A = (A = O) = true

13 Knights e Knaves 1… true = A = (A = O) {afirmação de A} = (A = A) = O {associatividade de =} [A/a] = true = O {reflexividade de =} [O/a] = O = true {simetria de =} [O/a] = O { a = (a=true) [O/a] Conclusão: existe ouro na ilha, mas não é possível determinar se A é knight ou knave BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP 13

14 Knights e Knaves 2 Suponha agora que o nativo está em uma bifurcação e você quer determinar se o ouro está no caminho da direita ou da esquerda. Você deve formular uma pergunta, de maneira que a resposta seja sim se o ouro está no caminho da esquerda e não se o ouro está no caminho da direita. Que pergunta você faria? Solução: Considere A = A é um knight E = o ouro está à esquerda Q é a pergunta a ser formulada BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP 14 Requeremos que E (A Q) Portanto, (E A) Q

15 Knights and Knaves 3 Considere 3 nativos da ilha: A, B e C. O nativo C diz que A e B são do mesmo tipo. Faça uma pergunta para A que determine se C fala a verdade. A = A é knight B = B é knight C = C é knight Q é a pergunta A resposta é C BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP 15

16 Knights e Knaves 3… 1.A resposta que queremos é C. 2.Pelo que vimos antes, temos que Q = (A = C) 3.Mas a afirmação de C foi A = B 4.Portanto, C = (A =B) 5.Substituindo 4. em 2. temos Q = (A = (A=B)) 6.Mas A = (A = B) pode ser simplificado para B Conclusão: A pergunta a ser feita é B é um knight? BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP 16

17 Knights X Knaves 4 Considere 2 nativos, A e B. A diz: B é um knight é o mesmo que eu não sou um knight. O que se pode determinar sobre os tipos de A e de B? Solução: A = B = ¬A {rearranjando os termos} = ¬A = A = B {¬a = a = false} [A/a] = false = B {¬a = a = false} [B/a] = ¬B Conclusão: B é um knave, mas A pode tanto ser um knight como um knave. BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP 17


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