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1 BCC 101– Matemática Discreta Predicados, Quantificadores.

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1 1 BCC 101– Matemática Discreta Predicados, Quantificadores

2 2 Lógica de Predicados Considere o seguinte argumento: H 1 : Todo homem é mortal H 2 : Sócrates é homem C: Sócrates é mortal Esse parece ser um raciocínio válido. Como podemos representá-lo? H 1, H 2 C Vemos que não é possível deduzir C de H 1 e H 2, usando a lógica proposional…. mas o argumento parece correto

3 3 Lógica de Predicados A lógica proposcional não é capaz de representar adequadamente informações contendo todos,algum, somente um … Afirmações desse tipo ocorrem frequentemente em matemática: Todo número primo, exceto 2, é impar Todo múltiplo de 4 é par Todo número inteiro maior que 1 ou é primo ou é um produto de primos

4 4 Lógica de Predicados A Lógica de Predicados estende a Lógica proposicional, possibilitando abstração e quantificação sobre variáveis. Considere as seguintes proposições: 2 é primo 3 é primo 4 é primo Vamos estender nossa linguagem da lógica de modo que possamos escrever: P(x) : x é primo P(2) P(3) P(4) P(x) é um predicado

5 5 O que é um Predicado? Um predicado especifica uma propriedade de um objeto ou uma relação entre objetos: P(x) : x é um número primo D(x,y) : x é divisível por y Um predicado pode ser visto como uma coleção parametrizada de proposições Uma proposição diferente para cada combinação de valores para as variáveis Universo de discurso: valores que as variáveis podem ter P(x) = x é primo Universo de discurso: N = {0,1,2,…} Qual o significado de P(3) ? E de P(10) ? D(x,y) = x é divisível por y Universo de discurso: N x N Qual o significado de D(10,4) ? D(10,2)? D(12,3) ?

6 6 Exemplos Analise a forma lógica das seguintes sentenças: x é um número primo e y ou z é divisível por x P(x) ( D(y,x) D(z,x) ) x é homem e y é mulher e x gosta de y, mas y não gosta de x H(x) M(y) G(x,y) G(x,y) O quadrado de x é menor que 9 e maior que 3 x 2 3 Note que y { x | x 2 < 9 } é o mesmo que y 2 < 9

7 7 Quantificador Universal, Para todo x.f(x) Se f(x) é uma fórmula, então x.f(x) é uma fórmula x.f(x) é verdadeira se f(x) é verdadeira para todo valor de x no universo de discurso x.f(x) é falsa se existe algum valor de x no universo de discurso para o qual f(x) é falsa É equivalente a formar o E lógico de todos os f(x)s

8 8 Quantificador Universal, Para todo Exemplo – Seja P(x) = x é primo Considere o universo de discurso {2, 5, 17} x.P(x) é equivalente a P(2) P(5) P(17) x.P(x) é verdadeiro Suponha que o universo de discurso é todo o conjunto de números naturais: {0,1,2,3,4, … } Existem valores que x pode assumir no universo de discurso, para os quais P(x) é falso: por exemplo, P(4) é falso Portanto, x.P(x) é falso

9 9 Quantificador Existencial, Existe x.f(x) Se f(x) é uma fórmula, então x.f(x) é uma fórmula. x.f(x) é verdadeira se existe pelo menos um valor de x no universo de discurso para o qual a fórmula f(x) é verdadeira. x.f(x) é falsa se x. f(x) é verdadeira. É equivalente a formar o Ou Lógico de todos os f(x)s

10 10 Quantificador Existencial, Existe Exemplo – Seja H(x) = x é homem Considere o universo {Maria, Paulo, João} x.H(x) é equivalente a H(Maria) H(Paulo) H(João) x.H(x) é verdadeira Considere que um universo que consiste apenas de mulheres Nesse caso, não existe nenhum valor de x para o qual P(x) é verdadeiro Portanto, x.H(x) é falso

11 11 Universo Vazio Qual o significado de x.f(x) se o universo de discurso é vazio? Convenciona-se que a fórmula é verdadeira Isso é compatível com o fato de que o é uma generalização do e a identidade do é true. Qual o significado de x.f(x) se o universo de discurso é vazio? Convenciona-se que a fórmula é falsa Isso é compatível com o fato de que o é uma generalização do e a identidade do é false.

12 Exercícios Seja P(x) = x == x 2 e suponha que o universo é o conjunto dos números inteiros. Qual é o valor verdade de cada uma das afirmações a seguir: P(0) P(1) P(2) P(-1) P(y) x.P(x) 12

13 Fórmulas com vários quantificadores Seja N o universo de discurso N = {0, 1, 2, 3, … } e seja R (x,y ) = x < y. Q1: O que significa x y R (x,y ) ? Todo número x admite um número maior y Verdadeiro ou falso? Q2: O que significa y x R (x,y ) ? Algum número y é maior que todo x Verdadeiro ou falso? 13

14 Quantificadores aninhados FórmulaQuando é verdadeiraQuando é falsa x. y. P(x,y) y. x. P(x,y) P(x,y) é verdadeira, para todo par de valores (x,y) Existe um par de valores (x,y) para o qual P(x,y) é falso x. y. P(x,y)Para cada x existe um y tal que P(x,y) é verdadeiro Existe um x para o qual P(x,y) é falso, para todo y y. x. P(x,y)Existe um y tal que P(x,y) é verdadeiro para todo x Para todo y existe um x tal que P(x,y) é falso x. y. P(x,y) y. x. P(x,y) Existe um par (x,y) tal que P(x,y) é verdadeiro P(x,y) é falso para todo par de valores (x,y) 14

15 Exercícios Traduza as seguintes frases para fórmulas da Lógica de Predicados, supondo: G(x,y) = x gosta de y João gosta de todo mundo Todo mundo gosta de João Maria gosta de alguém Maria não gosta de ninguém João gosta de todo mundo de quem Maria não gosta Todo mundo gosta de alguém Ninguém gosta de todo mundo 15

16 16 Variáveis livres e variáveis ligadas Uma ocorrência de variável em uma fórmula é dita livre, se ela não ocorre no escopo de nenhum quantificador. Caso contrário, a ocorrência da variável é dita ligada. ( x. ( y. G(x,z) H(y))) x e y são variáveis ligadas e z é uma variável livre ( x. F(x, y) G(y)) K(x) a ocorrência de x em F(x,y) é ligada e em K(x) é livre O significado de uma fórmula depende apenas do significado de suas variáveis livres

17 Variáveis livres e ligadas variáveis ligadas podem ser renomeadas sem que isso altere o valor da expressão ( x. x > 0 x 0) = ( y. y > 0 y 0) um nome de variável ligada pode ser reusado em diferentes escopos: ( k. 0 k < 3 k 2) ( k.1 k < 5 k 2 = 4) BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP 17

18 Lógica de Predicados – sintaxe formal A sintaxe da linguagem da Lógica de Predicados é dividida em 2 categorias: Termos: denotam objetos do universo de discurso Fórmulas: denotam valores lógicos (T ou F) BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP 18

19 Lógica de Predicados – termos O conjunto de termos T é definido como: Seja V um conjunto de variáveis que denotam objetos do universo de discurso. Então V T; Seja c uma constante que denota um objeto do universo de discurso. Então c T; Seja f uma função n-ária sobre termos, e sejam t 1, … t n termos. Então f(t 1,…,t n ) T BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP 19

20 Lógica de Predicados – termos Seja um universo que consiste de todos os estados e cidades brasileiras. Então Ouro Preto é uma constante que representa um objeto desse universo. Se capital é uma função que retorna a capital de um estado, então capital(Minas Gerais) representa o mesmo que Belo Horizonte. BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP 20

21 Lógica de Predicados – fórmulas O conjunto de termos F é definido como: true, false F ; Se p é um predicado n-ário e sejam t 1, … t n termos. Então p(t 1,…,t n ) F Se f F então ¬f F Se f 1, f 2 F então f 1 f 2 F, onde {,,, =} Se x V e f F então x.f F e x.f F BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP 21

22 Lógica de Predicados – Semântica Para dar semântica para uma fórmula devemos interpretá-la de acordo com o universo de discurso. x. y. M(x,f(y)) é verdadeira? Qual é o universo de discurso? Qual é a interpretação para a função f? Qual é o significado do predicado M? BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP 22

23 Exercícios Q(1,1) P(2,0) y.Q(1,y) x.Q(x,2) y.Q(2,y) x.Q(x,y) ? x. y. Q(x,y) y. x. Q(x,y) x. y. Q(x,y) 23 Seja Q(x,y) = x+y == x-y e suponha que o universo é o conjunto dos números inteiros. Qual é o valor verdade de cada uma das afirmações a seguir:

24 Exercícios 24 Considere o universo de discurso N e os seguintes predicados e funções: par(x): x é um número par impar(x): x é um número impar s: N -> N retorna o sucessor do número dado Qual é o valor verdade das seguintes fórmulas: n. par(n) impar(n) n. par(n) impar(s(n)) ¬ n. par(n) impar(n)

25 O Arquipélago dos Knights e Knaves Abercombie visitou uma vez o arquipélago de ilhas dos Knights e Knaves, onde todos os Knights sempre falam verdade e todos os Knaves sempre mentem. Na primeira ilha que Abercombie visitou, todos os habitantes disseram a mesma coisa: "Todos nós desta ilha somos do mesmo tipo". O que você pode concluir sobre o tipo dos habitantes da ilha? CS 1813 Discrete Mathematics, Univ Oklahoma Copyright © 2000 by Rex Page 25


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