Prof. Marcone Sotéro marcone.sotero@pplt.joaquimnabuco.edu.br Cálculo de Predicados Prof. Marcone Sotéro marcone.sotero@pplt.joaquimnabuco.edu.br.

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1 Prof. Marcone Sotéro marcone.sotero@pplt.joaquimnabuco.edu.br
Cálculo de Predicados Prof. Marcone Sotéro

2 Cálculo de Predicados A: Todos são mortais. B: Alguém é bondoso.
Utilizando a lógica proposicional, poderíamos explicitar a diferença entres as sentenças acima?

3 Cálculo de Predicados Na lógica proposicional as duas sentenças são tratadas como unidades – Elas não podem ser decompostas em sentenças menores ligadas pelos conectivos lógicos – Por isso não conseguimos falar da diferença entre elas na lógica proposicional

4 Cálculo de Predicados Considere a premissa
“Sócrates é humano”. Esse enunciado é uma declaração de que determinado indivíduo (Sócrates) possui uma propriedade específica (é humano). Na linguagem natural, o indivíduo que possui a propriedade é chamado sujeito, enquanto a propriedade descrita é chamada predicado.

5 Cálculo de Predicados O predicado explicita certas qualidades que o sujeito possui e que permite incluí-lo em uma categoria por exemplo, quando dizemos “Sócrates é humano” queremos dizer que o objeto chamado “Sócrates” possui certas características que permitem incluí-lo no conceito que fazemos daquilo que chamamos “humano”.

6 Cálculo de Predicados Nesta nova linguagem teremos, além dos conectivos do cálculo proposicional e dos parênteses, os seguintes novos símbolos: variáveis: x,y,z,... as variáveis representam objetos que não estão identificados no Universo considerado ("alguém", "algo", etc.); constantes: a,b,c,... as constantes representam objetos identificados do Universo ("João", "o ponto A", etc. ); quantificadores:  (universal),  (existencial)

7 Quantificadores  Símbolo de quantificação universal;
leia-se “para todo”, “todo”.  Símbolo de quantificação existencial; leia-se “algum”, “existe”.

8 Cálculo de Predicados Representamos o predicado por sua inicial maiúscula, e o sujeito a seguir, entre parênteses; assim, “Sócrates é humano” fica representado por – H (Sócrates) • Exemplos – "Maria é inteligente": I(m) ; onde "m" está identificando Maria e "I" a propriedade de "ser inteligente". – "Alguém gosta de Maria": G(x,m) ; onde G representa a relação "gostar de" e "x" representa "alguém".

9 Exemplos A Terra é redonda R(t) Simba é um mamífero M(s)
Quatro é um número par N(q)

10 Exemplos Todo número inteiro par é divisível por 2.
Para qualquer x, se x for um número inteiro par, x é divisível por 2. Para qualquer x, (P(x)  D(x))

11 Exemplos Todo número inteiro par é divisível por 2 (x)(P(x)  D(x))
Todo coala come folhas de eucalipto (x)(C(x)  E(x)) Alguém estudou aqui (x)(E(x))

12 Exemplos Ele foi para o Alasca (x)(I(x)) Ninguém estuda aqui
(x)(~A(x)) Nem todo cão é manso (x)[C(x)  (~(m(x)))]

13 Sentenças Abertas e Fechadas
O sujeito é uma constante Ex.: “Sócrates é humano”, pode ser verdadeira ou falsa; O sujeito é uma variável Ex.: “Ele foi presidente do Brasil”, ela não é verdadeira nem falsa, dependendo de nome que assuma o lugar do pronome. Uma frase como essa não é, portanto, um enunciado.

14 Sentenças Abertas e Fechadas
Os enunciados são chamados sentenças fechadas, enquanto que frases como: “x foi presidente do Brasil” “y escreveu Os Lusíadas” “z viajou para os Estados Unidos” são chamadas sentenças abertas.

15 Sentenças Abertas e Fechadas
As sentenças abertas não são verdadeiras nem falsas; podemos dizer apenas que são satisfeitas para certos valores das variáveis, e não satisfeitas para outros. A substituição das variáveis de uma sentença aberta por constantes chama-se instanciação ou especificação; A instanciação transforma uma sentença aberta em um enunciado, e este sim, pode ser verdadeiro ou falso.

16 O Universo O Universo de uma variável é o conjunto de valores que ela pode assumir. O conjunto dos números O conjunto dos números naturais maiores que 5

17 Conjunto-Verdade Chama−se Conjunto-Verdade (VP) de uma sentença aberta P(x), o conjunto de elementos do Universo que, quando instanciam a variável, satisfazem (tornam verdadeiro) o enunciado; ou seja VP = { a  U | VL [ P (a) ] = V } VL (Valor Lógico)

18 Conjunto-Verdade Por exemplo, seja U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 } e a expressão “x é primo” representada por P(x). Temos então VP = { 2, 3, 5, 7 }. O conjunto-verdade em N da sentença aberta “x é divisor de 10” é: VP = { x  N | x é divisor de 10} = {1, 2, 5, 10}

19 Proposição Universal Afirmativa
Tem a forma geral Todo S é P e indica que todos os elementos da classe S estão contidos na classe P. – Forma simbólica: x (S(x)  P(x))

20 Proposição Universal Negativa
Tem a forma geral Nenhum S é P e indica que as classes S e P não possuem elementos em comum. – Forma simbólica: x (S(x)  ~P(x))

21 Proposição Particular Afirmativa
Tem a forma geral Algum S é P e indica que alguns membros da classe S também pertencem à classe P. – Forma simbólica: x (S(x) ^ P(x))

22 Proposição Particular Negativa
Tem a forma geral Algum S não é P e indica que existem elementos de S que não estão contidos em P. – Forma simbólica:  x (S(x) ^ ~P(x))

23 Diagramas de Venn Cada classe é representada por um círculo, rotulado com o nome da classe; Para representar a proposição que afirma que a classe não possui elementos sombreamos o interior do círculo; Para indicar que a classe possui pelo menos um elemento, incluímos um x no círculo.

24 Diagramas de Venn Proposição Universal Afirmativa Todo S é P
Forma simbólica: x (S(x)  P(x))

25 Diagramas de Venn Proposição Universal Negativa Nenhum S é P
Forma simbólica: x (S(x)  ~P(x))

26 Diagramas de Venn Proposição Particular Afirmativa Algum S é P
Forma simbólica: x (S(x) ^ P(x))

27 Diagramas de Venn Proposição Particular Negativa Algum S não é P
Forma simbólica: x (S(x) ^ ~P(x))