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Edward HermannLógica e Computação 1 Lógicas em Dedução Natural Lógica Minimal : Todas as regras para e LLógica Intuicionista : L Lógica Minimal + Abs.

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1 Edward HermannLógica e Computação 1 Lógicas em Dedução Natural Lógica Minimal : Todas as regras para e LLógica Intuicionista : L Lógica Minimal + Abs. Intuic. Lógica Clássica : Lógica Minimal + Abs. Clássico

2 Edward HermannLógica e Computação 2 Consequência Dedutiva Sejam um conjunto de fórmulas e uma fórmula. Existe uma dedução de a partir de Cn( ) = { / } Cn( ) = ?

3 Edward HermannLógica e Computação 3 O que se espera de um sistema dedutivo? Corretude : Se então. Completude : Se então. Teorema : Dedução Natural é um sistema dedutivo correto e completo com relação à semântica clássica.

4 Edward HermannLógica e Computação 4 O que se pode expressar na linguagem da lógica proposicional ? Como expressar propriedades ? Como qualificar objetos ? Como generalizar conceitos ?

5 Edward HermannLógica e Computação 5 A Linguagem de primeira ordem é Mortal propriedade Predicado Todo Conjunto Homem objeto de uma classe ConjuntoToda ref. Toda referência ao conjunto dos homens pertence ao conjunto dos mortais.

6 Edward HermannLógica e Computação 6 Interpretação em aberto... Toda referência ao conjunto denotado por Homem pertence ao conjunto denotado por Mortal. x ( H (x) M (x) ) referênciaconjunto

7 Edward HermannLógica e Computação 7 Funções e Relações pai de João é colega de Denise João Denise colega(Denise, pai(João))

8 Edward HermannLógica e Computação 8 Formalizando Alfabeto Símbolos lógicos Símbolos não lógicos = definidos pelo usuário ~} variáveis constantessímbolos funcionais símbolos predicativos

9 Edward HermannLógica e Computação 9 Termos (Denotam objetos) : Toda variável ou constante é um termo. Se t1,..., tn são termos e f é um símbolo funcional de aridade n, então : f(t1,..., tn) é um termo. Fórmulas atômicas ou Átomos : Se t1,..., tn são termos e P é um símbolo predicativo de aridade n, então : P(t1,..., tn) é uma fórmula atômica. Se é uma fórmula, então : x e x são fórmulas

10 Edward HermannLógica e Computação 10 Conceitos Sintáticos Importantes - Variáveis Livres x Variáveis Ligadas - Parâmetros - uma categoria sintática para representar variáveis livres - x(p(x) q(y)) - xp(x) q(x)

11 Edward HermannLógica e Computação 11 Dedução Natural para primeira ordem Intro a) x x t Elim a não pode ocorrer em nenhuma hipótese da qual a dependa

12 Edward HermannLógica e Computação 12 - Intro t) x x [ a - Elim a não pode ocorrer em x x nem em nem em qualquer fórmula da qual a dedução deste dependa.

13 Edward HermannLógica e Computação 13 Semântica Como interpretar os símbolos não lógicos ? Onde estão os objetos ? Qual a denotação dos s. funcionais e predicativos ? No universo do discurso. - s. funcionais denotam objetos referenciados a partir de outros objetos. Funções (n-árias) sobre o Domínio. Domínio) - s. predicativos denotam propriedades ou relações Relações sobre o Domínio.

14 Edward HermannLógica e Computação 14 Uma estrutura para interpretar um linguagem L de primeira ordem é um objeto do tipo : M = [ D, Pred, Func ] onde : D é um conjunto Para cada s. funcional f, de aridade n, de L M associa uma função F : D n D em Func. Para cada s. predicativo p, de aridade n, de L M associa uma relação P D associa uma relação n em Pred.

15 Edward HermannLógica e Computação 15 Exemplo Seja a linguagem L com : - Constantes : 0 - Funcionais : s, +, *, E - Predicativos : < Uma possível estrutura é : M = [N, <, 0, suc, +, *, E ] com E sendo a função de expoenciação. obs: Constantes podem ser vistas como Funcionais de aridade 0

16 Edward HermannLógica e Computação 16 Outros exemplos 1- L= O que pode-se expressar nesta linguagem ? Quem pode ser estrutura para esta linguagem ? 2a- L= O que pode-se expressar nesta linguagem ? Quem pode ser estrutura para esta linguagem ? 3- L= O que pode-se expressar nesta linguagem ? Quem pode ser estrutura para esta linguagem ? 2b- L=

17 Edward HermannLógica e Computação 17 Como atribuir valor verdade às fórmulas ? P(t1,..., tn) é verdadeira em uma estrutura M sse, a interpretação da n-upla pertence a relação que denota P, em M. Como interpretar variáveis ? Associa-se a cada variável um elemento do domínio, via uma funcão Assim : P(t1,..., tn) é verdadeira em uma estrutura M sob uma função sse, a interpretação da n-upla pertence a relação que denota P, em M. ( P(t1,..., tn))

18 Edward HermannLógica e Computação 18 Fórmulas existênciais e universais a/x](y) = (y) se y x a se y = x x, sse para todo a Dom( M ) x, sse existe a Dom( M )

19 Edward HermannLógica e Computação 19 Exemplos de fórmulas verdadeiras em [N, <, 0, s, +, *, E ] Sendo : Div(x,y) x 0 ) k( k*x = y) Par(x) Div(s(s(0)),x) Primo(x) x s(0)) y( Div(y,x) y = s(0) y = x) n (Primo(n) Par(n))

20 Edward HermannLógica e Computação 20 Outra estrutura para a mesma linguagem [Q, <, 0, suc, +, *, E ] com : Q Racionais, < é a ordem usual, s (m/n) = m/n + 1, E( m/n, k/j )= m k + e * usuais. S = S x y k(x k y k x < k k < y) Obs : Omitimos a função quando a relação semântica se dá para todas as funções.

21 Edward HermannLógica e Computação 21 Entendendo o par como uma interpre- tação : Dedução Natural clássica é correta e completa para a linguagem de primeira ordem. Compacidade]. -, sse para algum finito,. - é satisfatível, sse, todo finito é satisfatível.

22 Edward HermannLógica e Computação 22 Mundo "real" Mundo Linguistico M M Th(M) Cn


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