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Lógicas em Dedução Natural
Lógica Minimal : Todas as regras para Ù, Ú e ®. Lógica Intuicionista : L L Lógica Minimal + Abs. Intuic. Lógica Clássica : Lógica Minimal + Abs. Clássico
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Consequência Dedutiva
Sejam G um conjunto de fórmulas e a uma fórmula. G a º Existe uma dedução de a a partir de G. Cn(G) = { a / G a } Cn(Æ) = ?
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O que se espera de um sistema dedutivo?
· Corretude : Se G a então G a. · Completude : Se G a então G a. Teorema : Dedução Natural é um sistema dedutivo correto e completo com relação à semântica clássica.
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O que se pode expressar na linguagem da lógica proposicional ?
O que se pode expressar na linguagem da lógica proposicional ? Como expressar propriedades ? · Como qualificar objetos ? · Como generalizar conceitos ?
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A Linguagem de primeira ordem
Todo Homem é Mortal objeto de uma classe propriedade Predicado ref. | | Î Toda Conjunto Conjunto Toda referência ao conjunto dos homens pertence ao conjunto dos mortais.
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Interpretação em aberto...
· Toda referência ao conjunto denotado por Homem pertence ao conjunto denotado por Mortal. " x ( H (x) ® M (x) ) referência conjunto conjunto
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Funções e Relações O pai de João é colega de Denise __ __ __ João
colega(Denise, pai(João))
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Formalizando { Ù,Ú,®,",$,~} Símbolos lógicos + variáveis Alfabeto Símbolos não lógicos = definidos pelo usuário símbolos predicativos constantes símbolos funcionais
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· Termos (Denotam objetos) :
- Toda variável ou constante é um termo. - Se t1, ..., tn são termos e f é um símbolo funcional de aridade n, então : f(t1, ..., tn) é um termo. · Fórmulas atômicas ou Átomos : - Se t1, ..., tn são termos e P é um símbolo predicativo de aridade n, então : P(t1, ..., tn) é uma fórmula atômica. · Se a é uma fórmula, então : "xa e $xa são fórmulas
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Conceitos Sintáticos Importantes
- Variáveis Livres x Variáveis Ligadas - "x(p(x) Ù q(y)) - $xp(x) Ù q(x) - Parâmetros - uma categoria sintática para representar variáveis livres
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Dedução Natural para primeira ordem
"- Intro "- Elim a(a) "xa(x) "xa(x) a(t) a não pode ocorrer em nenhuma hipótese da qual a(a) dependa
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$ - Elim [a(a)] $ - Intro | a(t) g $xa(x) $xa(x) g a não pode ocorrer em $xa(x) nem em g nem em qualquer fórmula da qual a dedução deste dependa.
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Semântica Como interpretar os símbolos não lógicos ? Onde estão os objetos ? (Domínio) No universo do discurso. Qual a denotação dos s. funcionais e predicativos ? - s. funcionais denotam objetos referenciados a partir de outros objetos. Þ Funções (n-árias) sobre o Domínio. - s. predicativos denotam propriedades ou relações Þ Relações sobre o Domínio.
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Uma estrutura para interpretar um linguagem L de primeira ordem é um objeto do tipo :
M = [ D, Pred, Func ] , onde : · D é um conjunto · Para cada s. funcional f, de aridade n, de L M n ® D em Func. associa uma função F : D · Para cada s. predicativo p, de aridade n, de L M associa uma relação P Ì D n associa uma relação em Pred.
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Exemplo Seja a linguagem L com : - Constantes : 0
- Funcionais : s, +, * , E - Predicativos : < obs: Constantes podem ser vistas como Funcionais de aridade 0 Uma possível estrutura é : M = [N, <, 0, suc, +, *, E ] com E sendo a função de expoenciação.
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Outros exemplos 1- L=<, >
O que pode-se expressar nesta linguagem ? Quem pode ser estrutura para esta linguagem ? 2a- L=< {v0},{2}> 2b- L=<{2,i0}, > O que pode-se expressar nesta linguagem ? Quem pode ser estrutura para esta linguagem ? 3- L=< , {E2,D2,V0}> O que pode-se expressar nesta linguagem ? Quem pode ser estrutura para esta linguagem ?
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Como atribuir valor verdade às fórmulas ?
Þ P(t1, ..., tn) é verdadeira em uma estrutura M sse, a interpretação da n-upla <t1, ..., tn> pertence a relação que denota P, em M. Como interpretar variáveis ? Þ Associa-se a cada variável um elemento do domínio, via uma funcão n. Assim : Þ P(t1, ..., tn) é verdadeira em uma estrutura M sob uma função n, sse, a interpretação da n-upla <t1, ..., tn> pertence a relação que denota P, em M. (< M,n> P(t1, ..., tn))
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Fórmulas existênciais e universais
n(y) se y x n[a/x](y) = a se y = x · < M,n > "xa, sse para todo a Î Dom( M ) < M, n[a/x] > a. · < M,n > $xa, sse existe a Î Dom( M ) < M, n[a/x] > a.
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Exemplos de fórmulas verdadeiras em
[N, <, 0, s, +, *, E ] Sendo : Div(x,y) º (x 0 ) Ù $ k( k*x = y) Par(x) º Div(s(s(0)),x) Primo(x) º (x s(0)) Ù " y( Div(y,x) ® (y = s(0) Ú y = x) $ n (Primo(n) Ù Par(n))
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Outra estrutura para a mesma linguagem
[Q, <, 0, suc, +, *, E ] com : Q º Racionais, < é a ordem usual, s (m/n) = m/n + 1, E( m/n , k/j )= m k + e * usuais. S "x"y$k(x k Ù y k Ù x < k Ù k < y) Obs : Omitimos a função n quando a relação semântica se dá para todas as funções.
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Entendendo o par <M, n> como uma interpre- tação : Þ Dedução Natural clássica é correta e completa para a linguagem de primeira ordem. · [Compacidade]. - G a, sse para algum D Ì G finito, D a. - G é satisfatível, sse, todo D Ì G finito é satisfatível.
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Mundo Linguistico M Mundo "real" Th(M) Cn Cn Cn Cn M
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