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Lógica de Primeira Ordem-1 Métodos de prova com afirmações numéricas n Métodos e regras básicas para quantificadores: suficientes n Afirmações numéricas:

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1 Lógica de Primeira Ordem-1 Métodos de prova com afirmações numéricas n Métodos e regras básicas para quantificadores: suficientes n Afirmações numéricas: pouco sugestivas em LPO – Regras específicas clarificam significado n Exemplo: Há exactamente 2 salas de aula, e cada uma tem exactamente 3 computadores. Todo o computador está numa sala de aula. Provar que existem exactamente 6 computadores Existem no máximo 6: – Todo o computador tem de estar numa sala de aula – Cada sala tem no máximo 3 – Existem no máximo 6 nas duas salas Existem pelo menos 6: – Cada sala tem pelo menos 3 (Suposição: nenhum computador pode estar em 2 salas) – Há pelo menos 6 nas duas salas Existem exactamente 6

2 Lógica de Primeira Ordem-2 Provar !n xP(x) x[Par(x) Primo(x)] Existem pelo menos n objectos que satisfazem P(x) Existem no máximo n objectos que satisfazem P(x) Existência: 2 é par e é primo Por generalização existencial: x[Par(x) Primo(x)] Unicidade: Provar que para todo o x, se x é par e é primo então x=2 (Prova condicional geral) Supor que x é primo e par Como x é par, é divisível por 2 Como x é primo, só é divisível por si e pela unidade Então x =2

3 Lógica de Primeira Ordem-3 F: extensões para quantificações numéricas  Introdução da unicidade d: não ocorre fora da prova onde foi introduzido P(c) P(d) d=c x P(x) d Eliminação da unicidade x P(x) x P(x)  y z (P(y) P(z) y=z)  y e z: variáveis arbitrárias que não ocorrem em P(x)

4 Lógica de Primeira Ordem-4 LPO: Limites da expressividade n Construções de LN que não se captam em LPO – se… entãotem usos que não são funcionais na verdade n Quantificações diversas – As expressáveis: requerem circunlóquios – Não expressáveis: a maioria…, muitas…, poucos…, bastantes…, n significado vago n precisando o significado: ainda não é expressável n Formas singulares e plurais Todos os alunos podem ter 18 a TC2 Qualquer aluno pode ter 18 a TC2 n Uso do tempo verbal e da referência no espaço – Em LPO: domínio intemporal de relações imutáveis

5 Lógica de Primeira Ordem-5 LPO: Limites da expressividade n Modalidades: – pode ser…, deve ser…, poderia ter sido…, n Extensões da LPO: têm soluções para as limitações n Exemplo(7.29): Do facto Poucos cubos são grandes pode concluir-se Poucos cubos são cubos grandes? n Exemplo(7.30): Do facto Poucos cubos são grandes pode concluir-se Poucos objectos grandes são cubos? n Exemplo(7.31): Serão equivalentes Sou capaz de comer cada uma das maçãs da taça e Sou capaz de comer todas as maçãs da taça?

6 Lógica de Primeira Ordem-6 Sintaxe versus semântica n Noções semânticas – indivíduo – relação – mundo, modelo, estrutura – verdade – satisfação – consequência lógica – fórmula válida n Noções sintácticas – símbolo de indivíduo – predicado – conectiva – quantificador – frase – fórmula bem formada – variável livre e ligada – regra de inferência – fórmula provável


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