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1 Lógica Proposicional-3 Condicional e Bicondicional Provas informais e formais com condicionais Referência: Language, Proof and Logic Jon Barwise e John.

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1 1 Lógica Proposicional-3 Condicional e Bicondicional Provas informais e formais com condicionais Referência: Language, Proof and Logic Jon Barwise e John Etchemendy, 1999 Capítulos: 7-8

2 Lógica Proposicional-2 Condicional Implicação ou condicional material: – P Q P é antecedente e Q consequente n Linguagem natural – se P então Q Se a Ana está na sala então a Rita está na biblioteca NaSala(ana) NaBib(rita) – P só se Q [condição necessária] O Nilton é aprovado só se assistir a 75% das aulas Aprovado(nilton) Assiste75%(nilton) – Q se P [condição suficiente] O Luís é bom aluno se tiver média de 15 Media15(luis) BomAluno(luis)

3 Lógica Proposicional-3 Tradução – Q sempre que P, Q quando P, Q dado P Chove sempre que vou à praia NaPraia(eu) Chove – P implica Q [valor de verdade, não causalidade] A Otília andar à chuva implica que fica molhada AndarChuva(otilia) Molhada(otilia) Combinado com negação: P Q – Q a menos que P; a não ser que P, Q A Clara vai à praia a menos que chova Chove aPraia(clara) [se chover não se sabe...] n Em fórmulas quantificadas: expressões mais naturais Todos os As são B´s – Para todo o x (A(x) B(x))

4 Lógica Proposicional-4 : Semântica e Regra do jogo P Q verdadeiro se e só se P é falso ou Q verdadeiro PQP Q VV V VF F FV V FF V significado é P Q n Quando é falso: antecedente verdadeiro e consequente falso Não aumenta a potência da linguagem mas torna-a mais natural e fácil de entender Tarski´s World: P Q é abreviatura de P Q – no jogo: substitui e usa regra para

5 Lógica Proposicional-5 Verdade lógica e consequência lógica n Importância do condicional: reduzir consequência lógica a verdade lógica Q é consequência das premissas P1, … Pn se e só se é impossível todas serem verdadeiras e Q falso Então a fórmula (P1 … Pn) Q não pode ser falsa é logicamente verdadeira

6 Lógica Proposicional-6 Bicondicional Equivalência ou bicondicional material: n [condição necessária e suficiente] n LN: se e só se… só no caso em que... – n é par sse n 2 é par Par(n) Par(n 2 ) Propriedades: P e Q logicamente equivalentes se e só se o bicondicional P Q logicamente verdadeiro P Qsse; abreviatura; não é símbolo da FOL P Qconectiva; logicamente verdadeiro; símbolo da FOL n Exemplo: lei de DeMorgan (P Q) ( P Q) é logicamente verdadeira P se Q P Q P só se Q P Q sse

7 Lógica Proposicional-7 : Semântica e Regra do jogo P Q verdadeiro se e só P e Q têm o mesmo valor de verdade PQP Q VV V VF F FV F FF V significado é P Q) P Q) n Tarski´s World: – P Q é substituído por P Q) Q P) – no jogo: substitui e usa regra para

8 Lógica Proposicional-8 LN: o que decorre de uma frase? n Ao traduzir LN para LPO: – questão do que é ou não consequência da frase A Rita está na sala quando o Rui não está na sala NaSala(rui) NaSala(rita) – Na frase em LN: decorre de alguma maneira que se o Rui estiver na sala, então a Rita não estará n Distinção a fazer: – condições de verdade de uma afirmação – outras coisas que decorrem da afirmação n H.P. Grice: introduz noção de decorrência conversacional

9 Lógica Proposicional-9 Decorrência Conversacional Frase F, e conclusão C n se C faz parte do significado de F: não pode ser cancelada por afirmações subsequentes A Rita e o Rui estão na sala … mas o Rui não está na sala O Rui está na sala é parte do significado: não pode ser cancelado n se C é mera decorrência de F: pode ser cancelada por afirmações subsequentes A Rita está na sala quando o Rui não está na sala … mas quando o Rui está na sala não sei onde está a Rita NaSala(Rita) NaSala(Rui) não faz parte do significado da afirmação: pode ser cancelado na afirmação seguinte sem contradição

10 Lógica Proposicional-10 Métodos de prova usando e Estritamente: podem usar-se só as regras para, e Provas mais naturais: usam regras próprias para e n Passos de prova: n Modus ponens ou eliminação do condicional – tendo estabelecido P Q e P pode inferir-se Q n Eliminação do bicondicional – tendo estabelecido Q R ou R Q, tendo Q pode inferir-se R n Equivalências P Q Q P P Q (P Q) P Q P Q (P Q) (Q P) P Q (P Q) ( P Q) contrapositiva

11 Lógica Proposicional-11 Método de prova condicional Para provar P Q : – Assumir P como premissa – Provar Q Exemplo: A C é consequência de A B e B C – Assumindo A: de A B, por modus ponens infere-se B – De B e B C, por modus ponens infere-se C – Provou-se C tendo assumido A, provou-se A C Exemplo: Par(n 2 ) Par(n) – Assumindo Par(n 2 ), e fazendo prova por contradição n n é ímpar, n= 2m + 1 n n 2 = (2m+1) 2 = 4 m 2 + 4m + 1 = 2 (2 m 2 + 2m) +1 donde n 2 é ímpar n Contradiz a premissa, logo n é par – Par(n 2 ) Par(n) infere-se por prova condicional

12 Lógica Proposicional-12 Provas com Prova condicional: para provar P Q – Assumir P e provar Q – Assumir Q e provar P n Para provar Q1, Q2, Q3 todos equivalentes: Expressão em LPO: Q1 Q2 Q2 Q3 Q1 Q3 Em vez de 6 provas condicionais: provar um ciclo Q1 Q2 Q2 Q3 Q3 Q1

13 Lógica Proposicional-13 Exemplo n As condições seguintes nos números naturais são todas equivalentes: (1) n é par (2) n 2 é par (3) n 2 é divisível por 4 Provando (3) (2) (1) (3) – Assumindo (3): se n 2 é divisível por 4, é divisível por 2, logo (2) – (2) (1) por contrapositiva: se n é ímpar, pode escrever-se n n= 2m + 1 n n 2 = (2m+1) 2 = 4 m 2 + 4m + 1 = 2 (2 m 2 + 2m) +1 é ímpar – (1) (3) é evidente

14 Lógica Proposicional-14 Regras de inferência para Eliminação do condicional ( Elim) P Q P Q Introdução do condicional ( Intro) P Q P Q Prova condicionalModus ponens

15 Lógica Proposicional-15 nas provas formais 1. (A B) C 2. A 3. A B Intro: 2 4. C Elim: 1,3 5. A C Intro: A 2. A 3. Intro: 1,2 4. A Intro: 2,3 5. A A Intro: 1-4 Usar prova de A a partir de A para provar o condicional A (sem premissas)

16 Lógica Proposicional-16 Regras de inferência para Eliminação do bicondicional ( Elim) P Q (ou Q P ) P Q Introdução do bicondicional ( Intro) P Q P P Q Dupla prova condicional

17 Lógica Proposicional-17 nas provas formais 1. (P Q) 2. P Q Teor Prev(Teorema 2): 1 3. P Q 4. (P Q) Teor Prev(Teorema 3): 3 5. (P Q) ( P Q) Intro: 1-2, 3-4

18 Lógica Proposicional-18 Esquemas úteis n Modus ponens – De A B e – Inferir n Modus tollens – De A B e B – Inferir A n Cancelamento – De A B e B – Inferir A n Reforço do antecedente – De B C – Inferir A B) C n Enfraquecimento do consequente – De A B – Inferir A B C n Dilema construtivo – De A B, A C, B D – Inferir C D


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