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LÓGICA MATEMÁTICA IMPLICAÇÃO LÓGICA Prof. Thiago Pereira Rique

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Apresentação em tema: "LÓGICA MATEMÁTICA IMPLICAÇÃO LÓGICA Prof. Thiago Pereira Rique"— Transcrição da apresentação:

1 LÓGICA MATEMÁTICA IMPLICAÇÃO LÓGICA Prof. Thiago Pereira Rique

2 A GENDA Definição de implicação lógica Propriedades da implicação lógica Exemplificação Tautologias e implicação lógica

3 DEFINIÇÃO DE IMPLICAÇÃO LÓGICA Definição Diz-se que uma proposição P(p, q, r,...) implica logicamente ou apenas implica uma proposição Q(p, q, r,...), se Q(p, q, r,...) é verdadeira (V) todas as vezes que P(p, q, r,...) é verdadeira (V). P(p, q, r,...) implica Q(p, q, r,...) P(p, q, r,...) => Q(p, q, r,...)

4 PROPRIEDADES DA IMPLICAÇÃO LÓGICA Propriedade reflexiva (R) P(p, q, r,...) => P(p, q, r,...) Propriedade transitiva (T) Se P(p, q, r,...) => Q(p, q, r,...) e Q(p, q, r,...) => R(p, q, r,...) então P(p, q, r,...) => R(p, q, r,...)

5 EXEMPLIFICAÇÃO As tabelas-verdade das proposições: p ˄ q, p ˅ q, p q A proposição p ˄ q é verdadeira (V) somente na linha 1 e, nesta linha, as proposições p ˅ q e p q também são verdadeiras (V). Logo, p ˄ q => p ˅ q e p ˄ q => p q Regras de inferência p => p ˅ q e q => p ˅ q (Adição) p ˄ q => p e p ˄ q => q (Simplificação) As tabelas-verdade das proposições: p q, p q, q p p q => p q p q => q p

6 EXEMPLIFICAÇÃO Tabela-verdade da proposição (p ˅ q) ˄ ~p (p ˅ q) ˄ ~p => q (Regra do silogismo disjuntivo) (p ˅ q) ˄ ~q => p Tabela-verdade da proposição (p q) ˄ p (p q) ˄ p => q (Regra Modus ponens) As tabelas-verdade das proposições: (p q) ˄ ~q e ~p (p q) ˄ ~q => ~p (Regra Modus tollens) ~p => p q

7 TAUTOLOGIAS E IMPLICAÇÃO LÓGICA Teorema A proposição P(p, q, r,...) implica a proposição Q(p, q, r,...), isto é, P(p, q, r,...) => Q(p, q, r,...) se e somente se a condicional P(p, q, r,...) Q(p, q, r,...) é tautológica. Corolário Se P(p, q, r,...) => Q(p, q, r,...) então, também se tem: P(P 0, Q 0, R 0,...) => Q(P 0, Q 0, R 0,...) quaisquer que sejam as proposições P 0, Q 0, R 0,...

8 TAUTOLOGIAS E IMPLICAÇÃO LÓGICA NOTA Os símbolos e => são distintos, pois o primeiro é de operação lógica (aplicado, p. ex., às proposições p e q para formar p q), enquanto o segundo é de relação (estabelece que a condicional P(p, q, r,...) Q(p, q, r,...) é tautológica) Exemplos A condicional (p q) ˄ (q r) (p r) é tautológica. Logo, subsiste a implicação lógica (p q) ˄ (q r) => p r (Regra do silogismo hipotético)

9 TAUTOLOGIAS E IMPLICAÇÃO LÓGICA Exemplos A condicional p ˄ ~p q é tautológica (construir tabela-verdade). Logo, subsiste a implicação lógica p ˄ ~p => q Assim, de uma contradição p ˄ ~p se deduz qualquer proposição q (Princípio da inconsistência) A proposição (p q) ˄ p implica a proposição q, pois a condicional (p q) ˄ p q é tautológica (construir tabela-verdade). Portanto, simbolicamente: (p q) ˄ p => q


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