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Tópicos de Lógica Proposicional-1 Cláusulas n Conjuntos de cláusulas – Cláusula: conjunto finito de literais C1= { Small(a), Cube(a), Backof(b,a)} n C2=

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1 Tópicos de Lógica Proposicional-1 Cláusulas n Conjuntos de cláusulas – Cláusula: conjunto finito de literais C1= { Small(a), Cube(a), Backof(b,a)} n C2= { Small(a), Cube(b)} n Cláusula vazia: – Cláusula é satisfeita por uma atribuição de verdade h: n pelo menos um dos literais da cláusula tem o valor V em h n não é satisfeita por qualquer atribuição – C : h satisfaz C sse a disjunção das frases em C tem o valor V em h n Satisfação de um conjunto S de cláusulas – S é satisfeito por h desde que cada cláusula de S seja satisfeita por h – A fórmula (CNF) obtida pela conjunção das disjunções correspondentes às fórmulas de S é satisfeita por h

2 Tópicos de Lógica Proposicional-2 Resolução n Para mostrar que um conjunto S de cláusulas não é satisfazível: – mostrar que um conjunto maior S obtido do primeiro também não o é – válido desde que S e S sejam satisfeitos exactamente pelas mesmas atribuições n Método: provar que a frase S (em CNF) não é satisfazível – transformar S num conjunto de cláusulas n disjunções de literais passam a cláusulas com os mesmos literais n conjunção passa a conjunto de cláusulas – adicionar sistematicamente novas cláusulas - resolventes n novas são tais que o conjunto é satisfeito pelas mesmas atribuições – se chegarmos a um conjunto que contém, a frase inicial não é satisfazível

3 Tópicos de Lógica Proposicional-3 Resolventes n Exemplo1 C1= { Small(a), Cube(a), Backof(b,a)} C2= {Small(a), Cube(b)} – Para satisfazer {C1, C2} é preciso atribuir V a pelo menos 1 de Cube(a) Backof(b,a) Cube(b) – C3 = {Cube(a), Cube(b), Backof(b,a)} é um resolvente de C1 e C2 – {C1, C2, C3} é satisfeito pelas mesmas atribuições que {C1, C2} n Exemplo2 C1= {NaSala(Rui), NaSala(Ana)} C2= { NaSala(Rui)} C3= { NaSala(Ana)} – Uma atribuição que satisfaz {C1, C2, C3} satisfaz C4 = {NaSala(Rui)} – {C1, C2, C3, C4} não é satisfazível

4 Tópicos de Lógica Proposicional-4 Resolvente n Definição: (resolvente) – R é uma resolvente das cláusulas C1 e C2 se existe uma fórmula atómica numa delas e a sua negação na outra, sendo R o conjunto de todos os restantes literais de ambas. n Exemplos {A,D} { A} {D} {A, A} {A} {A} {B,C} { B, D} {C, D} {D} { D} { }

5 Tópicos de Lógica Proposicional-5 Correcção da resolução n Teorema: Sendo S um conjunto não satisfazível de cláusulas numa linguagem com frases atómicas independentes, é sempre possível, por resolução sucessiva, chegar a. n Exemplo A (B C B) ( C D) (A D) ( B D) – Conversão em conjunto de cláusulas – A}, {B, C}, { C, D}, {A, D}, { B, D} – Usar resolução para mostrar que o conjunto não é satisfazível {B,C} { C, D} {B, D} { D} {A,D} { A} {D}

6 Tópicos de Lógica Proposicional-6 Consequência lógica n Provar consequência lógica usando resolução n Para mostrar que C é consequência lógica de P1, P2, …, Pn n Usar resolução para provar que P1 P2 … Pn C não é satisfazível – reduzir a forma normal conjuntiva – converter em conjunto de cláusulas – aplicar resolução

7 Tópicos de Lógica Proposicional-7 Forma condicional NaSala(Ana) NaSala(Rui)) Feliz(Luis) Substituindo o condicional pela sua definição em termos de e NaSala(Ana) NaSala(Rui) Feliz(Luis) obtém-se uma disjunção com um só literal positivo n Em geral – frase de Horn é conjunção de frases n cada frase da conjunção é disjunção com 1 literal positivo e vários negativos – A1 A2 … An B pode ser reescrita como – (A1 A2 … An) B n Casos particulares – Disjunção sem literal positivo: (A1 A2 … An) False – Disjunção sem literais negativos: True B

8 Tópicos de Lógica Proposicional-8 Forma condicional de frase de Horn n Uma frase de Horn em lógica proposicional é logicamente equivalente a uma conjunção de afirmações condicionais de uma das três formas seguintes (A1 A2 … An) B (A1 A2 … An) False True B n Resolução: – proposto e desenvolvido por Alan Robinson (1965) – apropriado para a demonstração automática de teoremas – problemas formulados como séries de condicionais e bicondicionais: a transformação em CNF é imediata


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