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Lógica Proposicional-1 Prova por contradição Premissas: Cube(c) Dodec(c) e Tet(b) Concluir : b c n Prova: – Supondo b=c – Da 1ª premissa: Cube(c) ou Dodec(c)

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Apresentação em tema: "Lógica Proposicional-1 Prova por contradição Premissas: Cube(c) Dodec(c) e Tet(b) Concluir : b c n Prova: – Supondo b=c – Da 1ª premissa: Cube(c) ou Dodec(c)"— Transcrição da apresentação:

1 Lógica Proposicional-1 Prova por contradição Premissas: Cube(c) Dodec(c) e Tet(b) Concluir : b c n Prova: – Supondo b=c – Da 1ª premissa: Cube(c) ou Dodec(c) Se Cube(c), então Cube(b) (indiscernibilidade dos idênticos) o que contradiz Tet(b) Se Dodec(c) então Dodec(b) (indiscernibilidade dos idênticos) o que contradiz Tet(b) n Obtemos contradição nos 2 casos, logo contradição. Então, b c

2 Lógica Proposicional-2 Prova por contradição 2 Provar: é irracional – Factos acerca dos racionais n nº racional pode ser expresso como p/q, com pelo menos 1 de p e q ímpar n elevando ao quadrado um número ímpar, obtém-se outro ímpar; se n 2 é par, n é par e n 2 é divisível por 4 n Prova: – Suposição: é racional = p/q (um de p e q é ímpar) p 2 / q 2 =2 ou p 2 = 2 q 2 : p 2 é par e p 2 é divisível por 4 p 2 é divisível por 4, q 2 é divisível por 2; q é par p e q ambos pares: contradiz a afirmação incial Então não é racional

3 Lógica Proposicional-3 O que é contradição? n Afirmação que não pode ser verdadeira n Conjunto de afirmações que não podem ser verdadeiras simultaneamente NaSala(Rita) b Cube(c) e Tet(c) n Conjunto de frases é contraditório se não puder ser satisfeito Para provar F usando contradição: Assume-se F Constrói-se F Conclui-se F e portanto F

4 Lógica Proposicional-4 Premissas inconsistentes n Conjunto de frases é inconsistente: não existe um mundo no qual possam ser satisfeitas simultaneamente n Consequência lógica: qualquer fórmula é consequência de um conjunto inconsistente de premissas – qualquer circunstância que as torne simultaneamente verdadeiras, torna a consequência verdadeira tambem NaSala(Rita) NaSala(Luis) NaSala(Rita) NaSala(Luis) n Argumentos com premissas insconsistentes: pouco úteis – se não há circunstância que torne as premissas simultaneamente verdadeiras, não temos indicação quanto ao valor lógico da conclusão.

5 Lógica Proposicional-5 Regras de inferência para Eliminação da conjunção P1 Pi Pn Pi  Introdução da conjunção P1 Pn P1 Pi Pn  significa que todos os elementos P1 a Pn têm de aparecer na prova antes de se introduzir a conjunção P1 Pn

6 Lógica Proposicional-6 nas provas formais 1. A B C 2. B Elim: 1 3. C Elim: 1 4. C B C Intro: 3,2,3 Parêntesis: introduzir quando pode haver ambiguidade 1. P Q 2. R 3. ( P Q) R Intro: 1,2 1. P Q 2. R 3. P Q R Intro: 1,2

7 Lógica Proposicional-7 Regras de inferência para P1 Pi Pn F Eliminação da disjunção  Introdução da disjunção Pi P1 Pi Pn  P1 F Pn F Prova por casos

8 Lógica Proposicional-8 nas provas formais 1. ( A B) ( C D) 2. (A B) 3. B Elim: 2 4. B D Intro: 3 5. (C D) 6. D Elim: 5 7. B D Intro: 6 8. B D Elim: 1, 2-4, 5-7

9 Lógica Proposicional-9 Exemplo 1. P ( Q R) 2. P 3. P Q Intro: 2 4. P R Intro: 5. Intro: 3,4 6. Q R 7. Q Elim: 8. P Q Intro: 7 9. R Elim: Intro: (P Q) P R) Intro: 8, (P Q) P R) Elim:, 2-5, 6- ? ? ? ? ?? ? ?

10 Lógica Proposicional-10 Regras de Inferência para Eliminação da negaçãoIntrodução da negação P P  Q Q P  Prova por contradição Nota: Sistemas formais são rígidos acerca do tipo de fórmulas que constituem a contradição: aqui é Q Q

11 Lógica Proposicional-11 nas provas formais 1. A 2. A 3. A A Intro: 1,2 4. A Intro: 2-3 A 1. P 2. P 3. Q 4. P P Intro: 1,2 5. Q Intro: Q Elim: 5 Prova-se fórmula arbitrária a partir de premissas inconsistentes Teorema 1

12 Lógica Proposicional-12 Exemplo 1. P Q P 2. P Elim: 1 3. P Elim: 1 4. P P Intro: 2,3 5. ( P Q P) Intro: 1-4 Prova de verdade lógica: não tem premissas

13 Lógica Proposicional-13 Uso de subprovas 1. ( B A) ( A C) 2. B A 3. B Elim: 2 4. A Elim: 2 5. (A C) 6. A Elim: 5 7. A Elim: 1, 2-4, A B Intro: 7,3 Errado 8: usa passo 3 de subprova fechada Quando uma subprova é fechada: Suposições são descarregadas Subprova pode ser usada como um todo para justificar outros passos

14 Lógica Proposicional-14 Exemplo 1. ( P R) 2. ( P R) 3. P 4. P R Intro: 3 5. ( P R) ( P R) Intro: 4,2 6. P Intro: P Elim: 6 8. R 9. P R Intro: ( P R) ( P R) Intro: 9,2 11. R Intro: R Elim: P R Intro: 7, P R) Reit: (P R) P R) Intro: 13, ( P R) Intro: P R Elim: 16 Teorema 2

15 Lógica Proposicional-15 Citar teoremas Para encurtar a prova em F : usar resultados prévios 1. ( P Q) 2. P 3. P Q Teor Prev (Teorema 2): 1 4. P Teor Prev (Teorema 1): 2 5. Q Teor Prev (Cancelamento): 3,4 n Símbolos usados nas provas: podem ser substituídos – por outros símbolos – por fórmulas arbitrárias

16 Lógica Proposicional-16 Formas normais Leis distributivas Para toda a escolha de fórmulas P, Q e R (1) Distributividade de sobre : P (Q R) (P Q) (P R) n Forma normal disjuntiva (DNF): – Fórmula construída a partir de literais com as conectivas e : reescrita como disjunção de conjunções de literais n Forma normal conjuntiva (CNF): – Fórmula construída a partir de literais com as conectivas e : reescrita como conjunção de disjunções de literais

17 Lógica Proposicional-17 Exemplo Transformar em forma normal disjuntiva (A B) (C D) (A B) C] (A B) D] (A C) (B C) (A B) D] (A C) (B C) (A D) (B D) Transformar em forma normal conjuntiva (A B) (C D) (A B) C] (A B) D] (A C) (B C) (A B) D] (A C) (B C) (A D) (B D) ((A B) C) (A B) C ( A B) C ( A C) B C)

18 Lógica Proposicional-18 Completude para as funções da verdade Uma conectiva arbitrária pode ser expressa com, e ? n Conectivas binárias: tabela de verdade tem 4 linhas – cada linha pode ter V ou F – número de conectivas possíveis: 2 4 PQP Q VV valor1 VF valor2 FV valor3 FF valor4 C1=P Q C2= P Q C3= P Q C4= P Q Representação de *: disjunção dos Ci correspondentes a linhas com valor V Todas as funções binárias funcionais da verdade podem ser descritas com, e

19 Lógica Proposicional-19 Completude para as funções da verdade n Conectivas unárias P V valor1 F valor2 Ambos os valores F : P P Outros casos: disjunção de C1= P e C2= P n Conectivas de outras aridades VVVF V Exprimir conectiva em DNF: (P Q R) Não são necessários, e : P Q P Q)


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