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1 Lógica de Primeira Ordem -1 Variáveis e Quantificadores Semântica de Quantificadores Tradução Referência: Language, Proof and Logic Jon Barwise e John.

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1 1 Lógica de Primeira Ordem -1 Variáveis e Quantificadores Semântica de Quantificadores Tradução Referência: Language, Proof and Logic Jon Barwise e John Etchemendy, 1999 Capítulo: 9

2 Lógica de Primeira Ordem-2 Variáveis e fórmulas atómicas n Variáveis: aparecem como argumentos de predicados – Não referem objectos: marcam lugares nos argumentos dos predicados – LPO: lista infinita de variáveis – Tarskis World: u, v, w, x, y, z n Fórmulas atómicas – Fórmulas bem formadas n variáveis podem surgir como argumentos – Para serem frases: todas as variáveis quantificadas

3 Lógica de Primeira Ordem-3 Quantificadores n Afirmações acerca do número de coisas que verificam uma condição todos os objectos satisfazem a condição – LN: todo…, cada…, qualquer um… – LPO: x ligação de variável para todo o objecto x … x NaSala(x) x (AlunoTC(x) NaSala(x)) pelo menos 1 objecto satisfaz a condição – LN: algum…, existe…, um… – LPO: x ligação de variável para algum objecto x … x NaSala(x) x (AlunoTC(x) NaSala(x))

4 Lógica de Primeira Ordem-4 WFFs AlunoTC(x) NaSala(x) – expressão com variáveis não quantificadas n WFF atómica: – predicado n-ário + n variáveis ou constantes n Formação de WFFs 1. P é wff, P é wff 2. P1, … Pn são wffs, (P1 … Pn) é wff 3. P1, … Pn são wffs, (P1 … Pn) é wff 4. P e Q são wffs, (P1 Pn) é wff 5. P e Q são wffs, (P1 Pn) é wff 6. P é wff e é variável – P é wff (ocorrências de em P são ligadas) 7. P é wff e é variável – P é wff (ocorrências de em P são ligadas)

5 Lógica de Primeira Ordem-5 Frases (Cube(x) Small(x)) wff com x variável livre y LeftOf(x,y) wff com x variável livre e y variável ligada ((Cube(x) Small(x)) y LeftOf(x,y)) wff x ((Cube(x) Small(x)) y LeftOf(x,y)) frase n Frase: wff sem variáveis livres – expressão com variáveis todas quantificadas x (AlunoTC(x) NaSala(x)) x AlunoTC(x) NaSala(x) Frase? Frase?

6 Lógica de Primeira Ordem-6 Satisfação de wffs n Nas conectivas: valor lógico de fórmula complexa é função dos valores lógicos das componentes n Expressões quantificadas: componentes não são frases x Cube(x)Cube(x) não é frase, não é verdadeiro nem falso n Satisfação de wffs – Objecto satisfaz wff a satisfaz Cube(x) se a é cubo a satisfaz ( Cube(x) Small(x)) se a é cubo e a é pequeno a satisfaz ( Cube(x) Small(x)) se a é cubo ou a não é pequeno

7 Lógica de Primeira Ordem-7 Verificar se um objecto satisfaz a wff S(x) n Objecto tem um nome: b – S(b) é frase – S(b) verdadeira : b satisfaz S(x) n Objecto não tem nome – Escolhe-se um nome não usado: n1 – S(n1) é frase – S(n1) é verdadeira: objecto satisfaz S(x)

8 Lógica de Primeira Ordem-8 Semântica dos quantificadores n Frases quantificadas: são verdadeiras ou falsas em relação a um domínio de discurso n Domínio de discurso: – colecção de coisas acerca das quais se fazem afirmações x S(x) Verdadeiro se e só se S(x) é satisfeito por todos os objectos do domínio de discurso x S(x) Verdadeiro se e só se S(x) é satisfeito por algum objectodo domínio de discurso

9 Lógica de Primeira Ordem-9 Quantificadores: regras do jogo FormaAfirmaçãoQuem jogaObjectivo P QV nós F Tarskis World P QV Tarskis World F nós x P(x)V nós F Tarskis World x P(x) V Tarskis World F nós Escolher um de P e Q verdadeiro Escolher um de P e Q falso Escolher objecto b que satisfaça a wff P(x) Escolher objecto b que não satisfaça a wff P(x) Nas regras para as conectivas: escolher frases e subfrases Nas regras para os quantificadores: escolher objectos

10 Lógica de Primeira Ordem-10 As 4 formas aristotélicas (1) Todos os P s são Q s (2) Alguns P s são Q s (3) Nenhum P é Q (4) Alguns P s não são Q s (1) x (P(x) Q(x)) (2) x (P(x) Q(x)) porque não x (P(x) Q(x)) ? (3) x (P(x) Q(x)) serve x (P(x) Q(x)) ? (4) x (P(x) Q(x))

11 Lógica de Primeira Ordem-11 Exemplo n Linguagem: – extensão da linguagem de 1ª ordem da aritmética – predicados adicionais Par(x) e Primo(x) n Exprimir as afirmações: Nenhum número par é primo Todo o número primo é ímpar ou igual a 2 Algum dos números primos é par Algum dos números primos não é par n Quais são as frases verdadeiras ?

12 Lógica de Primeira Ordem-12 Tradução de frases nominais complexas Um rapaz que vive em Cedofeita… Todas as mulheres portuguesas… n Frases existenciais um…, alguma…, alguém… Um cão pequeno e feliz está em casa x ((Cao(x) Pequeno(x) Feliz(x)) EmCasa(x)) n Frases universais todo…, cada…, as…, qualquer… Todo o cão pequeno que está em casa está feliz x ((Cao(x) Pequeno(x) EmCasa(x)) Feliz(x)))

13 Lógica de Primeira Ordem-13 Afirmações vacuosas x (P(x) Q(x)) n Mundos sem objectos que satisfaçam P(x): frase é verdadeira – diz-se uma generalização vacuosamente verdadeira – Exemplo: x (Tet(x) Small(x)) n verdadeira em mundos onde não haja tetraedros x (Tet(x) Cube(x)) n verdadeira em mundos onde não haja tetraedros (e só esses) n só pode ser verdadeira de forma vacuosa: é inerentemente vacuosa n Frases vacuosamente verdadeiras: raras em LN Todos os caloiros que frequentaram TC2 tiveram 18 n verdadeira se nenhum caloiro frequentou a cadeira n frases inerentemente vacuosas associada à intenção de enganar o ouvinte

14 Lógica de Primeira Ordem-14 Contradição? n Os pares de frases são contraditórios? n Quais as frases verdadeiras nos mundos apresentados? Alguns alunos de TC são do FCP Todos os alunos de TC são do FCP Alguns alunos de TC gostam de Lógica Todos os alunos de TC gostam de Lógica alunos FCP SCP logicista alunos

15 Lógica de Primeira Ordem-15 Decorrência conversacional (1) Alguns P s são Q s (2) Todos os P s são Q s n Intuição: são contraditórias num discurso Alguns alunos de TC2 vão passar Todos os alunos de TC2 vão passar n Se fossem contraditórias: tradução de (1) seria x (P(x) Q(x)) x (P(x) Q(x)) n De novo a decorrência conversacional x (P(x) Q(x)) não é parte do significado afirmações subsequentes a (1) podem afirmar (2) sem serem contraditórias

16 Lógica de Primeira Ordem-16 Símbolos de função n Construir nomes complexos a partir de outros nomes pai(pai(Rui)) (1+ (1+1)) n Variáveis: podem aparecer nos termos pai(pai(x)) (1+ (1+y)) n Wffs MaisAlto( pai(pai(x)), x) Par( y y) n Frases y (Par(y) Par( y y))

17 Lógica de Primeira Ordem-17 Negação de frases quantificadas n Formas aristotélicas: – Todos os Ps são Qs é negação de Alguns Ps não são Qs x (P(x) Q(x)) x ( P(x) Q(x)) x P(x) Q(x)) x ( P(x) Q(x)) Leis de DeMorgan para quantificadores (1) x P(x) x P(x) (2) x P(x) x P(x)

18 Lógica de Primeira Ordem-18 Substituição de variáveis ligadas n Para toda a wff P(x) e variável y que não ocorre em P(x) (1) x P(x) y P(y) (2) x P(x) y P(y)

19 Lógica de Primeira Ordem-19 Tradução com quantificadores 1. Só os bravos sabem como perdoar 2. Nenhum homem é uma ilha 3. Eu não me preocupo com ninguém, se ninguém se preocupar comigo 4. Cada nação tem o governo que merece 5. Não há certezas, à parte a lógica 6. A miséria (i.e., pessoa miserável) gosta de companhia 7. Nem tudo o que luz é ouro 8. Havia um moleiro alegre que viveu no rio Côa 9. Se prezas toda a gente não prezas ninguém 10. Algo está podre no reino da Dinamarca

20 Lógica de Primeira Ordem-20 Respostas 1. x (Perdoa(x) Bravo(x)) 2. x (Homem(x) Ilha(x)) 3. x Preocupa(x, eu) x Preocupa(eu, x)) xs diferentes n x ( Preocupa(x, eu) Preocupa(eu, x)) o que significa? 4. x (Nação(x) Merece(x, governo(x)) n x y [(Nação(x) Governo(y) Tem(x, y)) Merece(x, y)] 5. Certo(Lógica) x (x Lógica Certo(x)) ou com 6. x (Miserável(x) y (Companhia(y, x) Gosta(x, y))) 7. x (Luz(x) Ouro(x)) 8. x (Moleiro(x) Alegre(x) Rio(Côa) Vive(x, Côa)) sem tempo 9. x [(Pessoa(x) y (Pessoa(y) Preza(x,y))) y (Pessoa(y) Preza(x,y))] 10. Reino(dinamarca) x(Podre(x) Local(x, dinamarca))


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