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1 Tópicos de Lógica Proposicional Cláusulas de Horn Resolução Referência: Language, Proof and Logic Jon Barwise e John Etchemendy, 1999 Capítulo: 17.

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1 1 Tópicos de Lógica Proposicional Cláusulas de Horn Resolução Referência: Language, Proof and Logic Jon Barwise e John Etchemendy, 1999 Capítulo: 17

2 Tópicos de Lógica Proposicional-2 Frases de Horn Forma Normal Conjuntiva- para frases sem quantificadores – conjunção de frases – cada elemento da conjunção é disjunção de literais – literal: frase atómica ou a sua negação Frase Horn – frase na Forma Normal Conjuntiva – cada disjunção tem no máximo 1 literal positivo

3 Tópicos de Lógica Proposicional-3 Exemplos Não são Horn NaSala(Ana) (NaSala(Rui) Feliz(Luis)) (NaSala(Ana) NaSala(Rui) Feliz(Ana)) Feliz(Luis) NaSala(Ana) NaSala(Rui) NaSala(Luis) São Horn NaSala(Ana) (NaSala(Rui) Feliz(Luis)) NaSala(Ana) NaSala(Rui) NaSala(Luis) NaSala(Ana) NaSala(Rui) ( NaSala(Rui) NaSala(Rui))

4 Tópicos de Lógica Proposicional-4 Satisfação de frases de Horn Para averiguar satisfação de frases de Horn – Tabela de verdade: mecânico mas caro: 2 n linhas para n átomos – Nas frases Horn basta construir 1 linha. Algoritmo: Átomos que aparecem como elementos da conjunção: V na coluna de referência Usar colunas de referência para preencher colunas da frase e vice-versa Acabar quando não se pode concluir sobre o valor de mais nenhuma coluna Que concluir do algoritmo de satisfação de frases de Horn? – Um dos elementos da conjunção toma o valor F a frase é não satisfazível – Processo termina sem atribuir F a nenhum elemento da conjunção a frase é satisfazível podem preencher-se as restantes colunas de referência com F

5 Tópicos de Lógica Proposicional-5 Algoritmo de satisfação de frases Horn Exemplo: NaSala(Ana) NaSala(Rui) (NaSala(Rui) NaSala(Ana)) Átomo A é elemento da conjunção, a coluna de referência terá V A R A R (R A) V Se A é F, R terá de ser V F A R A R (R A) VFVF R tem valor F, e é elemento da conjunção: frase não satisfazível A R A R (R A) VFV

6 Tópicos de Lógica Proposicional-6 Exemplo Exemplo: ( A B) ( B C) B A B C ( A B) ( B C) B FVF B é elemento da conjunção, tem de ter valor V A B C ( A B) ( B C) B FVFV C tem de ter valor V, e não há mais atribuições A fórmula é satisfazível – se atribuir F a A, a linha resultante da tabela atribui V à fórmula

7 Tópicos de Lógica Proposicional-7 Formalizar satisfação Tabelas de verdade – explicitam circunstâncias em que uma fórmula é verdadeira – são informais – não são manipuláveis matematicamente Noção formal: atribuição de verdade – função h do conjunto de fórmulas atómicas de uma linguagem de 1ª ordem para o conjunto dos valores de verdade {V, F} – para cada fórmula atómica A, h(A) é V ou é F – cada atribuição de verdade corresponde a uma linha das colunas de referência de uma tabela de verdade

8 Tópicos de Lógica Proposicional-8 Atribuição de verdade h: atribuição de verdade – fórmula arbitrária: o que significa h torná-la verdadeira ou falsa? h : definida no conjunto de todas as fórmulas, estende h – toma valores no conjunto dos valores de verdade {V, F} – na tabela de verdade da linguagem h preenche uma só linha, e só as colunas de referência h preenche as restantes colunas para todas as fórmulas da linguagem Definição de h : de acordo com significado das conectivas – h( Q) = V se e só se h(Q) = F – h(Q R) = V se e só se h(Q) = V e h(R) = V – h(Q R) = V se e só se h(Q) = V ou h(R) = V, ou ambos.

9 Tópicos de Lógica Proposicional-9 Satisfação de fórmulas Fórmula S é satisfazível – existe atribuição de verdade h tal que h(S) = V Fórmula S é logicamente verdadeira – para toda a atribuição de verdade h, h(S) = V Noção central: consequência lógica – Fórmula S é consequência lógica de um conjunto de fórmulas T sse toda a atribuição de verdade que torna todas a fórmulas de T verdadeiras também torna S verdadeira – T { S} elementos são todas as fórmulas em T e mais S Proposição: – S é consequência lógica de um conjunto de fórmulas T se e só se o conjunto T { S} não é satisfazível

10 Tópicos de Lógica Proposicional-10 Algoritmo de satisfação de frases Horn Teorema 2: O algoritmo classifica como satisfazíveis exactamente as fórmulas de Horn satisfazíveis – Refraseando: uma fórmula Horn é satisfazível se e só se é classificada como satisfazível pelo algoritmo – Fórmula S é satisfazível algoritmo classifica S como satisfazível Se S é classificada como não satisfazível: não existe atribuição de valores de verdade que a satisfaça S é não satisfazível sendo S satisfazível S é classificada como satisfazível (SÓ SE)

11 Tópicos de Lógica Proposicional-11 Algoritmo de satisfação de frases Horn Teorema 2 (cont.) – Fórmula S é classificada como satisfazível: fórmula é satisfazível S é conjunção de disjunção de literais cada disjunção tem no máximo 1 literal positivo S verdadeira na atribuição h: – cada elemento da conjunção verdadeiro em h – um literal em cada disjunção tem valor V Em cada disjunção – se tem só um literal positivo: foi posto a V pelo algoritmo – se tem alguns literais negativos e 1 positivo: se todos os literais negativos foram postos a F: o literal positivo foi posto a V se o processo termina: as frases atómicas restantes são postas a F fazendo algum dos literais negativos ficar com V – se tem só literais negativos: nem todos foram postos a F, senão S resultaria não satisfazível algum se torna V quando as frases atómicas restantes são postas a F (SE)

12 Tópicos de Lógica Proposicional-12 Frases com dependências Algoritmo de satisfação de frases Horn: – assume frases atómicas independentes Se as frases não são independentes – a linha de tabela que se constrói pode ser espúria – não se pode concluir sobre a satisfação Exemplo Small(b) ( Small(b) Cube(b)) Cube((b) Tet(b)) – aplicando o algoritmo: frase é satisfazível ! num mundo que a satisfaça: b tem de ser pequeno, cubo e tetraedro Para resolver: modificar algoritmo – atribuição de F às frases atómicas restantes: testar se produz linha espúria – se linha é espúria, procurar alternativa (não há procedimento sistemático)

13 Tópicos de Lógica Proposicional-13 Automatizar demonstração Problema: descobrir se uma frase é consequência lógica de outra Usando intuição – Se é consequência: demonstra-se usando métodos de prova – Se não é: procura-se um contraexemplo: atribuição que torna as premissas verdadeiras e a conclusão falsa Como automatizar? – Usando tabelas de verdade: grande ineficiência – Algoritmo de satisfação para frases Horn: eficiente – Resolução: aplicável a frases em forma normal conjuntiva eficiente generaliza para frases quantificadas

14 Tópicos de Lógica Proposicional-14 Cláusulas Conjuntos de cláusulas – Cláusula: conjunto finito de literais C1= { Small(a), Cube(a), Backof(b,a)} C2= { Small(a), Cube(b)} Cláusula vazia: – Cláusula é satisfeita por uma atribuição de verdade h: pelo menos um dos literais da cláusula tem o valor V em h não é satisfeita por qualquer atribuição – C : h satisfaz C sse a disjunção das frases em C tem o valor V em h Satisfação de um conjunto S de cláusulas – S é satisfeito por h desde que cada cláusula de S seja satisfeita por h – A fórmula (CNF) obtida pela conjunção das disjunções correspondentes às fórmulas de S é satisfeita por h

15 Tópicos de Lógica Proposicional-15 Resolução Para mostrar que um conjunto S de cláusulas não é satisfazível: – mostrar que um conjunto maior S obtido do primeiro também não o é – válido desde que S e S sejam satisfeitos exactamente pelas mesmas atribuições Método: provar que a frase S (em CNF) não é satisfazível – transformar S num conjunto de cláusulas disjunções de literais passam a cláusulas com os mesmos literais conjunção passa a conjunto de cláusulas – adicionar sistematicamente novas cláusulas - resolventes novas são tais que o conjunto é satisfeito pelas mesmas atribuições – se chegarmos a um conjunto que contém, a frase inicial não é satisfazível

16 Tópicos de Lógica Proposicional-16 Resolventes Exemplo1 C1= { Small(a), Cube(a), Backof(b,a)} C2= {Small(a), Cube(b)} – Para satisfazer {C1, C2} é preciso atribuir V a pelo menos 1 de Cube(a) Backof(b,a) Cube(b) – C3 = {Cube(a), Cube(b), Backof(b,a)} é um resolvente de C1 e C2 – {C1, C2, C3} é satisfeito pelas mesmas atribuições que {C1, C2} Exemplo2 C1= {NaSala(Rui), NaSala(Ana)} C2= { NaSala(Rui)} C3= { NaSala(Ana)} – Uma atribuição que satisfaz {C1, C2, C3} satisfaz C4 = {NaSala(Rui)} – {C1, C2, C3, C4} não é satisfazível

17 Tópicos de Lógica Proposicional-17 Resolvente Definição: (resolvente) – R é uma resolvente das cláusulas C1 e C2 se existe uma fórmula atómica numa delas e a sua negação na outra, sendo R o conjunto de todos os restantes literais de ambas. Exemplos {A,D} { A} {D} {A, A} {A} {A} {B,C} { B, D} {C, D} {D} { D} { }

18 Tópicos de Lógica Proposicional-18 Correcção da resolução Teorema: Sendo S um conjunto não satisfazível de cláusulas numa linguagem com frases atómicas independentes, é sempre possível, por resolução sucessiva, chegar a. Exemplo A (B C B) ( C D) (A D) ( B D) – Conversão em conjunto de cláusulas – A}, {B, C}, { C, D}, {A, D}, { B, D} – Usar resolução para mostrar que o conjunto não é satisfazível {B,C} { C, D} {B, D} { D} {A,D} { A} {D}

19 Tópicos de Lógica Proposicional-19 Consequência lógica Provar consequência lógica usando resolução Para mostrar que C é consequência lógica de P1, P2, …, Pn Usar resolução para provar que P1 P2 … Pn C não é satisfazível – reduzir a forma normal conjuntiva – converter em conjunto de cláusulas – aplicar resolução

20 Tópicos de Lógica Proposicional-20 Forma condicional NaSala(Ana) NaSala(Rui)) Feliz(Luis) Substituindo o condicional pela sua definição em termos de e NaSala(Ana) NaSala(Rui) Feliz(Luis) obtém-se uma disjunção com um só literal positivo Em geral – frase de Horn é conjunção de frases cada frase da conjunção é disjunção com 1 literal positivo e vários negativos – A1 A2 … An B pode ser reescrita como – (A1 A2 … An) B Casos particulares – Disjunção sem literal positivo: (A1 A2 … An) False – Disjunção sem literais negativos: True B

21 Tópicos de Lógica Proposicional-21 Forma condicional de frase de Horn Uma frase de Horn em lógica proposicional é logicamente equivalente a uma conjunção de afirmações condicionais de uma das três formas seguintes (A1 A2 … An) B (A1 A2 … An) False True B Resolução: – proposto e desenvolvido por Alan Robinson (1965) – apropriado para a demonstração automática de teoremas – problemas formulados como séries de condicionais e bicondicionais: a transformação em CNF é imediata


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