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Lógica Proposicional-1 Conectivas lógicas n Construir fórmulas arbitrárias a partir de fórmulas atómicas n Conjunção, disjunção e negação: são funcionais.

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1 Lógica Proposicional-1 Conectivas lógicas n Construir fórmulas arbitrárias a partir de fórmulas atómicas n Conjunção, disjunção e negação: são funcionais da verdade n valor de verdade de afirmações complexas só depende do valor de verdade das frases atómicas n Significado de conectiva: tabela de verdade n mostra como o valor de verdade de uma fórmula construída com ela depende dos valores de verdade dos seus constituintes n Significado de conectiva: jogo de Henkin-Hintikka n Egas e Becas não concordam no valor de verdade de uma frase complexa n Egas: diz que é verdadeira; Becas: diz que é falsa n Jogadores desafiam-se a justificar as suas afirmações em termos de afirmações mais simples n Chegando às fórmulas atómicas, pode examinar-se o mundo e verificar o seu valor lógico

2 Lógica Proposicional-2 Jogar com o Tarski´s World n Máquina faz papel de adversário, mesmo que o jogador faça afirmação correcta n Se o jogador fez afirmação falsa: – Máquina ganha, pondo em evidência falhas no raciocínio n Se o jogador fez afirmação verdadeira: – Máquina perde se o jogador é capaz de justificar as suas escolhas até às fórmulas atómicas – Máquina pode ganhar se alguma das justificações intermédias para a afirmação for mal escolhida

3 Lógica Proposicional-3 Negação Símbolo: n LN: não… não se verifica que… nenhum… in- des- – A Rita não está na sala – Não se verifica o facto de a Rita estar na sala NaSala(Rita) – Quando é verdade: quando NaSala(Rita) é falso n LN: dupla negativa tem sentido de negativa reforçada – Não faz diferença nenhuma – Interpretado como Não faz diferença alguma, e não como Faz alguma diferença LPO: NaSala(Rita) é V quando NaSala(Rita) for = tem abreviatura para negação: a b e não (a=b)

4 Lógica Proposicional-4 Semântica e regra do jogo Fórmula P de LPO: existe sempre P P é verdadeiro se e só se P é falso n Tabela de verdade P VF FV n Regra do jogo: não se faz nada :) Quando afirmamos a verdade de P, comprometemo-nos com a falsidade de P e vice-versa n Tarski´s World: reduz a afirmação negativa à positiva e troca o valor lógico escolhido

5 Lógica Proposicional-5 Conjunção Simbolo: n LN: e… e também… mas... Rita e Luis estão na sala NaSala(Rita) NaSala(Luis) – Verdadeira se Rita está na sala e Luis está na sala LN: e é mais expressivo que Rita entrou na sala e Luis saiu da sala Luis saiu da sala e Rita entrou na sala Entra(Rita) Sai(Luis) Sai(Luis) Entra(Rita) Verdadeiras nas mesmas circunstâncias

6 Lógica Proposicional-6 : Semântica e Regra do jogo P Q é verdadeiro sse P é verdadeiro e Q é verdadeiro n Tabela de verdade PQP Q VVV VFF FVF FFF n Regra do Jogo: – Se afirmamos V para P Q, afirmamos a verdade de P e Q n Máquina escolhe P ou Q e compromete-nos com a verdade deste n Se um deles é falso: escolhe esse n Se ambos verdadeiros ou ambos falsos: escolha arbitrária – Se afirmamos F para P Q: afirmamos que pelo menos um é falso n Máquina pede para nos comprometermos com o valor F para um deles

7 Lógica Proposicional-7 Disjunção Símbolo: n LN: ou… (entre frases ou entre componentes destas) A Rita ou o Luis estão na sala Significado corrente é inclusivo n LPO: disjunção só entre frases NaSala(Rita) NaSala(Luis) Significado é inclusivo n LN: significado exclusivo com ou … ou n Exclusivo em LPO: [NaSala(Rita) NaSala(Luis)] n nem … nem [ - - ]

8 Lógica Proposicional-8 : Semântica e Regra do jogo P Q é verdadeiro se pelo menos 1 de P e Q é verdadeiro, senão é falso n Tabela de verdade: PQP Q VVV VFV FVV FFF n Regra do Jogo: – Se afirmamos V para P Q n Máquina pede para nos comprometermos com o valor V para um deles – Se afirmamos F para P Q: afirmamos que ambos são falsos n Máquina escolhe P ou Q e compromete-nos com a falsidade deste n Se um só deles é verdadeiro: escolhe esse n Se ambos verdadeiros ou ambos falsos: escolha arbitrária

9 Lógica Proposicional-9 FormaAfirmaçãoQuem jogaObjectivo P QV nós F Tarskis World P QV Tarskis World F nós PV - F Regras do Jogo Escolher um de P e Q verdadeiro Escolher um de P e Q falso Mudar de P para P e trocar valor lógico escolhido Nota: podemos saber o valor lógico de e não saber os valores lógicos de P nem de Q Tarskis World assume conhecimento completo sobre o mundo

10 Lógica Proposicional-10 Ambiguidade e Parêntesis n LN: ambiguidade é comum A Rita está na sala ou o Luis está na sala e o Rui está distraído n LPO: [NaSala(Rita) NaSala(Luis)] Distraido(Rui) NaSala(Rita) [NaSala(Luis) Distraido(Rui)] n Negação: parêntesis delimitam escopo NaSala(Rita) NaSala(Luis) [NaSala(Rita) NaSala(Luis)] n Critério dos parêntesis – Conjunção de qualquer número de frases: sem parêntesis – Disjunção de qualquer número de frases: sem parêntesis – Parêntesis extra usados livremente para obter significado pretendido

11 Lógica Proposicional-11 Equivalência lógica n P e Q são logicamente equivalentes: verdadeiros em exactamente as mesmas circunstâncias P Q n Tarskis World: – P e Q logicamente equivalentes: verdadeiras nos mesmos mundos – Existe um mundo no qual uma é verdadeira e outra falsa: não são logicamente equivalentes Leis de DeMorgan (P Q) P Q

12 Lógica Proposicional-12 Equivalência lógica Dupla negação: P P n Frases logicamente equivalentes: cada uma é consequência lógica da outra Usando dupla negação e leis de DeMorgan: qualquer fórmula escrita com,, se transforma noutra com aplicada nas fórmulas atómicas- forma normal com negação ((A B) C) (A B) C ( A B) C Notar: não é símbolo da linguagem: é uma forma abreviada de dizer que duas fórmulas são logicamente equivalentes

13 Lógica Proposicional-13 Equivalências lógicas Idempotência do : P Q P P Q Idempotência do : P Q P P Q Comutatividade do : P Q R Q P R Comutatividade do : P Q R Q P R

14 Lógica Proposicional-14 Tradução de Língua Natural n Frases em LN e em LPO: têm o mesmo significado se tiverem o mesmo valor lógico em todas as circunstâncias n Se a fórmula A é tradução de uma frase: A, logicamente equivalente a A, também o é n Mas… Algumas traduções são mais fiéis ao estilo da afirmação inicial Ex: Não é verdade que a Rita e o Luis estejam ambos na sala (NaSala(Rita) NaSala(Luis)) NaSala(Rita) NaSala(Luis) (1) é fiel ao estilo da frase em LN (2) não é fiel ao estilo

15 Lógica Proposicional-15 Satisfação e verdade n Fórmula satisfazível: - pode ser verdadeira, de um ponto de vista lógico ou- há alguma circunstância logicamente possível na qual é verdadeira n Conjunto de fórmulas é satisfazível Não basta cada uma ser satisfazível: NaSala(Rita) NaSala(Luis) NaSala(Rita) NaSala(Luis) n Tarskis World: – frase é satisfazível se se pode construir um mundo em que é verdadeira n Mas… – há frases satisfazíveis que não podem tornar-se verdadeiras nos mundos do Tarskis World: (Tet(b) Cube(b) Dodec(b)) existe circunstância possível na qual as fórmulas são simultaneamente verdadeiras

16 Lógica Proposicional-16 Fórmula logicamente verdadeira n Fórmula que é verdadeira qualquer que seja o mundo NaSala(Rita) (Atento(Luis) Atento(Luis)) [(Atento(Luis) Atento(Rui)) Atento(Luis) Atento(Rui)] P logicamente verdadeiro: P não é satisfazível n Averiguar satisfação e verdade lógica: tabela de verdade (Cube(a) Cube(b)) Cube(c) (A B) C ABC (A B) C VVV VVF VFV VFF FVV FVF FFV FFF

17 Lógica Proposicional-17 Decidir satisfação de fórmula ABC (A B) C VVVVF VVFVV VFVFF VFFFV FVVFF FVFFV FFVFF FFFFV ABC (A B) C VVVVVF VVFVVV VFVFFF VFFFVV FVVFFF FVFFVV FFVFFF FFFFVV

18 Lógica Proposicional-18 Linhas espúrias e tautologias n Linhas espúrias: não representam possibilidades genuínas n Ex: A é fórmula atómica a=a A segunda metade da 1ª coluna da tabela é espúria: a=a não pode ser falso n Ex: A é Tet(c) Linhas que têm V para A e para C são espúrias porque c não pode ser tetraedro e cubo n Investigar verdade lógica: linhas espúrias são ignoradas n Reconhecer linhas espúrias: – pelo significado das fórmulas atómicas n Mais forte que verdade lógica: tautologia – fórmula verdadeira em todas as linhas, espúrias ou não – Tautologias são verdades lógicas, algumas verdades lógicas não são tautologias ( a=a )

19 Lógica Proposicional-19 Classificação de fórmulas F: fórmula construída a partir de fórmulas atómicas com conectivas Tabela de verdade para F mostra como o seu valor lógico depende do das suas partes atómicas F é tautologia se e só se toda a linha lhe atribui V F é satisfazível se e só se há pelo menos uma linha não espúria que lhe atribui V F é logicamente verdadeira se e só se todas as linhas não espúrias lhe atribuem V n Tabelas de verdade: tamanho duplica quando se acrescenta uma fórmula atómica n Alternativa: elaborar uma prova – Se se pode provar P sem quaisquer premissas, P é verdade lógica.

20 Lógica Proposicional-20 Quadrado da simulação n Lógica como simulação para obter novo conhecimento – partir da realidade – representar em LPO – raciocinar, obter uma conclusão – regressar ao equivalente da conclusão na realidade. Realidade frases em Língua Natural representar frases em LPO inferir Simulação conclusão novo conhecimento

21 Lógica Proposicional-21 Passos válidos usando, e Para cada conectiva: padrões de inferência n A P pode seguir-se qualquer fórmula que seja sua consequência – Ex: (dupla negação) P dá origem a P, e vice-versa n Q é verdade lógica: pode introduzir-se em qualquer ponto De P Q infere-se P e infere-se Q – eliminação da conjunção Tendo provado P e Q pode inferir-se P Q – introdução da conjunção Tendo provado P pode inferir-se P Q … R – introdução da disjunção

22 Lógica Proposicional-22 Métodos de prova n Prova por casos (eliminação da disjunção) – Fórmula a provar: F – Disjunção já provada: P Q – Mostra-se que se obtém F se se assumir P, e que se obtém F se se assumir Q ; um deles tem de verificar-se, e conclui-se F – Generaliza-se a qualquer número de elementos na disjunção n Prova por contradição (introdução de negação) – Fórmula a provar: F – Premissas: P, Q, R, … – Assumir F, e mostrar que se obtém uma contradição – F é consequência lógica das premissas

23 Lógica Proposicional-23 Prova por casos Mostrar que existem números irracionais b e c tais que b c é racional Considera-se : é racional ou é irracional – Se é racional: temos b = c = – Se é irracional: fazemos b= e c = b c = ( ) = Quer seja racional ou irracional, existem b e c irracionais tais que b c é racional

24 Lógica Proposicional-24 Prova por casos 2 Provar que Small(c) é consequência de (Cube(c) Small(c)) (Tet(c) Small(c)) : n Prova: (Cube(c) Small(c)) (Tet(c) Small(c)) é premissa Vamos analisar 2 casos, para os 2 componentes da disjunção I- Verifica-se Cube(c) Small(c) Então Small(c) (por eliminação da conjunção) II- Verifica-se Tet(c) Small(c) Então Small(c) (por eliminação da conjunção) Em qualquer dos casos: Small(c) verifica-se

25 Lógica Proposicional-25 Prova por casos 3 De (NaSala(Rita) Feliz(Rui)) (NaSala(Ana) Feliz(Luis)) pretendemos provar Feliz(Rui) Feliz(Luis) n Assumindo a disjunção das premissas temos que – (NaSala(Rita) Feliz(Rui)) ou – (NaSala(Ana) Feliz(Luis)) Na primeira alternativa temos Feliz(Rui) e portanto Feliz(Rui) Feliz(Luis) por introdução de disjunção Na segunda alternativa temos Feliz(Luis) e portanto Feliz(Rui) Feliz(Luis) por introdução de disjunção n Em qualquer dos casos, a conclusão é consequência


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