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Lógica e Especificação Edward Hermann Haeusler Departamento de Informática TECMF PUC/RJ.

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Apresentação em tema: "Lógica e Especificação Edward Hermann Haeusler Departamento de Informática TECMF PUC/RJ."— Transcrição da apresentação:

1 Lógica e Especificação Edward Hermann Haeusler Departamento de Informática TECMF PUC/RJ

2 Edward HermannLógica e Computação 2 Qual a relação entre a Lógica e a Computação ? - O que é a (Teoria da) Computação ? - O que é Lógica ? Tentativa de conceituação do Computável Tentativa de conceituação do Razoável

3 Edward HermannLógica e Computação 3 Computável Tudo aquilo que pode ser realizado por um ser burro com um mínimo de conhecimento/capacidade. burro = Incapaz de Aprender conhecimento = ?

4 Edward HermannLógica e Computação 4 Razoável Todo evento que é passível de uma explicação, na forma argumentativa, construída sobre fatos iniciais inquestionáveis.

5 Edward HermannLógica e Computação 5 Computável = Razoável ? - Computável Razoável ? - Razoável Computável ?

6 Edward HermannLógica e Computação 6 Como Definir tais Conceitos ? Através de Linguagens para : Expressar Procecimentos Expressar Argumentos

7 Edward HermannLógica e Computação 7 Principais Componentes de uma Linguagem - Sintaxe : Como se escreve ? - Semântica : O que significa ? - Pragmática : Como se usa ?

8 Edward HermannLógica e Computação 8 Em uma L.P. - Como é um programa ? - Como se executa ou, O que um programa faz ? - Como se constroem programas visando a solução de problemas ?

9 Edward HermannLógica e Computação 9 Semântica

10 Edward HermannLógica e Computação 10 Linguagem e Metalinguagem À linguagem descritora chamamos de metalinguagem enquanto à descrita chamamos de linguagem objeto. - Precisa-se de uma linguagem para descrever outra linguagem. -

11 Edward HermannLógica e Computação 11 Paradoxos 1. Eu sou Mentiroso O menor denominador comum entre 1/2 e 2/3 é /2 = 2/4 Então o menor denominador comum entre 2/4 e 2/ 3 é 6.

12 Edward HermannLógica e Computação 12 Princípio da Funcionalidade de Frege A Semântica de uma expressão deve ser uma função da semântica das suas sub- expressões. Objetos sintáticos são naturalmente Hierárquicos (estruturados).

13 Edward HermannLógica e Computação 13 Semânticas Extensional X Intensional 1. Planeta Vênus. 2. Estrela Vespertina. 3. Segundo Planeta do Sistema Solar. - Em uma sem. extensional 1,2 e 3 têm o mesmo significado. - Em uma sem. intensional 1, 2 e 3 têm diferentes significados. A forma é levada (sintaxe ?) em conta.

14 Edward HermannLógica e Computação 14 Princípio da Funcionalidade e intensionalidade. 1. Necessariamente a estrela matutina é a estrela matutina. 2. Necessariamente a estrela matutina é a estrela vespertina. Linguagem natural necessita de semântica intensional.

15 Edward HermannLógica e Computação 15 Expressões aritméticas : * (1 + 2) * 5 V ( (1 + 2) * 5) V ( ) * V ( 5 ) V ( 1 ) + V ( 2 ) * 5 ( ) * 5 = 15 SintaxeSemântica Ext.

16 Edward HermannLógica e Computação 16 A Linguagem da Lógica A Lógica tem, tradicionalmente, por objetivo a definição do que seja uma argumentação correta. Argumentação = Sequência de sentenças onde distingue-se premissas e conclusão Sentença = Expressão linguística enunciadora de um pensamento completo.

17 Edward HermannLógica e Computação 17 Exemplos de Sentenças. 1. Salvador é a capital da Bahia. 2. (2 + 3) = Qual o melhor time de futebol do Brasil ? 4. Compile o Programa ! O tipo de sentença de interesse em uma argumentação é a sentença declarativa.

18 Edward HermannLógica e Computação 18 Exemplos de Argumentos Todo homem é mortal. FHC é homem FHC é mortal. Todo homem é animal Todo gato é animal Todo gato é homem

19 Edward HermannLógica e Computação 19 Há exatamente 136 caixas de bombas em um depósito. Cada caixa contém pelo menos 140 bombas Nenhuma caixa tem mais de 156 bombas Lula é o presidente do Brasil Brasília é a capital do Brasil A lua é um satélite da Terra

20 Edward HermannLógica e Computação 20 Lula é o presidente do Brasil Lula é humano e presidente do Brasil Lula é o presidente do Brasil Lula é humano ou presidente do Brasil

21 Edward HermannLógica e Computação 21 Alguns paulistas são latinos. Alguns brasileiros são latinos Alguns brasileiros são paulistas Tudo que é raro é caro. Uma casa boa e barata é rara Uma casa boa e barata é cara. Todo triângulo tem somente 3 lados Todo quadrado é triângulo Todo quadrado tem somente 3 lados.

22 Edward HermannLógica e Computação 22 Argumentos e Solucao de Problemas -Tenho 3 esferas visualmente identicas. Entretanto duas tem o mesmo peso, enquanto uma terceira tem peso diferente. Utilizando somente uma balanca de equilibrio, sem pesos marcados, como posso descobrir a esfera diferente e saber se e mais pesada ou mais leve ??? Prove que uma das 3 esferas e mais pesada ou mais leve

23 Edward HermannLógica e Computação 23 Especificacao, Prova e Solucao de Problemas -Os sobrenomes de Ana, Beatriz e Carla são Arantes, Braga e Castro, não necessariamente nesta ordem. A de sobrenome Braga, que não e Ana, e mais velha que Carla e a sobrenome Castro e a mais velha das 3. Qual a melhor ordem ? - Resolver, Especificar, Provar - Resolver, Provar, Especificar - Especificar, Resolver, Provar - Provar, Especificar, Resolver - Especificar, Provar, Resolver - Provar, Resolver, Especificar

24 Edward HermannLógica e Computação 24 Em Lógica Matemática Prova formada por (Argumentação) Regras de Inferência formada por Premissasconclusão (Argumento) são Sentenças Átomosconectivos/ quantificadores Sentenças Compostas ?

25 Edward HermannLógica e Computação 25 Como representar os elementos da linguagem lógica tendo por princípio a universalidade ? Formalização da linguagem. Somente conectivos/quantificadores podem possuir significado a priori. Átomos são representados por Letras sentenciais (log. Sentencial). Fórmulas (combinações de átomos via conectivos) representam sentenças em geral.

26 Edward HermannLógica e Computação 26 O significado de cada conectivo pode ser determinado pelas regras que ditam seu uso (Semântica Operacional) Da praxis matemática tiramos : Conjunção ( "e" lógico) Disjunção ( "ou" lógico) Implicação ( "se ____ então____") ~ = Negação ( "não lógico ") Conectivos O significado de cada conectivo pode ser determinado pelas condições de verdade estabelecidas por ele (Semântica tradicional ou Tarskiana)

27 Edward HermannLógica e Computação 27 Fórmulas Toda letra sentencial é uma fórmula Se e são fórmulas, então também são fórmulas : - ~ Obs : Parenteses são usados para auxiliar à análise sintática.

28 Edward HermannLógica e Computação 28 Semântica p/ Lógica Clássica Extensional com Valores de "Verdade". Atribuição arbitrária de valores para as letras sentenciais. Fórmulas têm seus valores determinados pela interpretacão e pelas funções semân- ticas associadas a cada conectivo. (Interpretação)

29 Edward HermannLógica e Computação 29 Funções na forma de Tabela. VF V F VF V F VF V F V F FF VV VF VF V V ~ VF FV F

30 Edward HermannLógica e Computação 30 VF V F VF V V VF V F VF V F

31 Edward HermannLógica e Computação 31 Atribuição de Valores à fórmulas Interpretação : I : Letras {V,F} Dada uma interpretação I pode-se definir a denotação associada V : V (I, L) = I ( L) se L é letra sentencial. V ( I, ) = V (I, ) V ( I, ) V (I, ) = V (I, ) F = ~ V (I, )

32 Edward HermannLógica e Computação 32 Def. Uma f interpretação que a torna verdadeira, i.e. Existe I, tal que V (I, ) = V Def. Diz-se que umafórmula é válida, sse, ela é verdadeira sob toda interpretação. órmula é dita satisfatível, sse, existe uma Def. Um conjunto de fórmulas é satisfatível, sse, todas as suas fórmulas são satisfatíveis (para a mesma interpretação.

33 Edward HermannLógica e Computação 33 O conceito de conectivo principal. É aquele conectivo que aparece em primeiro plano em uma análise sintá- tica. Exemplos: (A B) (C D) ~ (A B) (A B) C

34 Edward HermannLógica e Computação 34 Def. Uma fórmula é dita ser consequência lógica de um conjunto de fórmulas ( ), sse : - Toda interpretação que "torna" todas as fórmulas de verdadeiras torna verdadeira. Ex: - { ~~ A} A - {A, A B} B - {A B, A C, B C} C - {A B} ~B ~A Def. é equivalente a sse e

35 Edward HermannLógica e Computação 35 Completude funcional da lógica clássica - Pode-se expressar todas os conectivos em função de e ?? - Pode-se expressar todas as funções booleanas (arid. finita) por meio dos conectivos acima ?? - Pode-se expressar todas as funções booleanas (arid. finita) com um conectivo só (novo certamente) ??

36 Edward HermannLógica e Computação 36 Sistemas Dedutivos e Argumentação Formal Def1. Um sistema dedutivo é um mecanismo que permite a construção de argumentos formais Def2. Um sistema dedutivo é um mecanismo que permite estabelecer conclusões a partir de hipóteses. Def3. Um sistema dedutivo é um conjunto de regras (as vezes axiomas) que permite chegar a conclusões (sentenças) a partir de hipóteses (sentenças). Def4. Um sistema dedutivo é um conjunto de regras (as vezes axiomas) onde os axiomas são fórmulas válidas e as regras preservam a verdade.

37 Edward HermannLógica e Computação 37 Universalidade da noção de correto O conceito de argumento correto deve ser baseado na forma do mesmo e não em seu significado particular, ou Um argumento é correto quando é invariante sob substituição, i.e., o que importa é o rela- cionamento entre premissas e conclusão e não estas propriamente ditas.

38 Edward HermannLógica e Computação 38 Os sistemas a la Frege/Hilbert Esquemas de Axiomas: (K) A (B A) (S) A (B C) (A B) (A C) (Cla) A A Regra: (Modus Ponens) A A B B

39 Edward HermannLógica e Computação 39 Exemplos de Deduções A ((A A) A)A ((A A) A) ( (A (A A)) (A A)) (A (A A)) (A A)A (A A) A B ( B A) B ( B A) A B ( B A) A B ( B A)

40 Edward HermannLógica e Computação 40 Discussão: 1- O método da tabela verdade é um sistema dedutivo ?? 2- O que dizer do sistema dedutivo somente com a regra de modus ponens e como axiomas todas as fórmulas válidas (tautologias) 3- Como comparar sistemas dedutivos ?? 4- O que a prova de um teorema deve nos dizer ?? 5- O que prova de teoremas tem a ver com computação e programação ??

41 Edward HermannLógica e Computação 41 Programa do Curso 1. Linguagem Clássica de Primeira Ordem. 2.Lógica Intuicionista 3.Algebras de Processo 4.Logicas Temporais


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