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Introdução à Lógica Matemática Método Dedutivo no Cálculo de Predicados de 1ª Ordem João Marques Salomão Curso de Engenharia Elétrica CEFET-ES Introdução.

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1 Introdução à Lógica Matemática Método Dedutivo no Cálculo de Predicados de 1ª Ordem João Marques Salomão Curso de Engenharia Elétrica CEFET-ES Introdução à Lógica Matemática /1 – p. 1/13

2 Eliminação e Inserção de Quantificadores No CP as premissas são relações do tipo Pxy, Qxyz, etc. Portanto, não há nenhum processo sistemático para validar os argumentos. As regras de inferência e de dedução, se aplicam também ao CP, mas os quantificadores, variáveis e predicados nos enunciados, complicam a validação dos argumentos. Regras adicionais de inferência são definidas para a inserção e/ou eliminação dos quantificadores. Neste caso: As Premissas do CP são transformadas em enunciados do Cálculo Proposicional, isto permite usar as eqüivalências e inferências conhecidas, em seguida, insere-se novamente os quantificadores e processa-se a validação.

3 O processo gera quatros regras e exige: 1 - Eliminar os quantificadores das premissas. 2 - Deduzir a conclusão com eqüivalências e inferências do Cálculo Proposicional. 3 - Inserir (se for o caso) os quantificadores na conclusão. As quatro regras geradas são chamadas de: Generalização Universal e Existencial; Instanciação Universal e Existencial; Eliminação e Inserção de Quantificadores

4 Instanciação Universal (IU) Pode ser enunciada da seguinte forma: Se todos os objetos de um dado universo possuem uma dada propriedade, então um objeto particular desse universo também possui essa propriedade. Isto é: u Onde uma regra de inferência (RI), ou implicação tautológica. Isto é, é uma fórmula que resulta de ao substituir cada ocorrência da variável livre u por um termo t. A RI pode assumir muitas formas, dependendo de : Exemplos: Se x Fx então FxSe x FxentãoFa Se y (Fy Gb) entãoFx Gb Se y (Fy Gb) então Fa Gb Se x Gx então Gy Se x (Gx Hx) então Gz Hz Se x (Fx x (Gx Hy)) então Fb x (Gx Hy) Ver aplicação dessa regra na pagina 58.

5 Generalização Universal (GU) Se um objeto, arbitrariamente escolhido dentre um universo, tiver uma certa propriedade, todos os objetos desse universo terão essa propriedade. Em termos simbólicos: u w ( w), onde é uma fórmula e w um objeto arbitrariamente escolhido, é uma regra de Inferência. Podemos garantir que todos os elementos de um universo possuem dada propriedade ao utilizarmos a expressão arbitrariamente escolhido. Alguns exemplos dessa regra de inferência: Se Fx então x Fx Se Fx então y Fy Ver aplicação da regra GU através do argumento da página 59.

6 Generalização Existencial (GE) O que é verdadeiro para um dado objeto, é verdadeiro para algum objeto. Em formulação simbólica, temos:: w u u, onde w é uma constante ou variável, u é variável, e w resulta de u pela substituição das ocorrências livres de u por w; - se w for uma variável, deve ocorrer livre em w nos locais em que u ocorrer livre em u. Exemplos de aplicação desta regra de inferência: Se Fx então y FySe Faentão x Fx Se Fa então y FySe Fa Gb então x (Fx Gb) Se Fa Gb então y (Fy Gb) Se Fx Gy então z (Fx Gz) Se Fx Gx então y (Fy Gy) Um exemplo de utilização da regra GE é dado na dedução do argumento da página 60.

7 Instanciação Existencial (IE) O que é verdadeiro para algum objeto, é verdadeiro para um dado objeto, desde que esse objeto não tenha sido utilizado anteriormente na dedução. Em notação simbólica: u u w, onde é uma fórmula, e desde que w seja variável livre nos locais em que u ocorria livre em u, e que w não tenha ocorrência livre anterior. Dois exemplos da utilização dessa regra: Se x Fx então FxSe x Fx então Fy. Um exemplo de aplicação dessa regra,é dado na dedução do argumento da página 61. Obs: A aplicação dessa RI exige certos cuidados. Deve-se certificar de que o termo não tenha sido utilizado anteriormente na dedução. Observe o 2o argumento da página 61/62 e ver os cuidados no uso da GE- página 62.

8 Eqüivalências e Regras de Inferências. As eqüivalências e inferências do Cálculo Proposicional podem ser utilizadas para obter suas correspondentes entre expressões com quantificadores e variáveis. Veja alguns conceitos novos: Validade lógica (corresponde à tautologia no Cálc. Proposicional): Uma sentença fechada é logicamente válida, se e somente se, qualquer instanciação da sentença em qualquer universo não vazio for uma sentença verdadeira (for satisfeita para todos os objetos). Isto é, uma sentença fechada é dita válida quando sua veracidade não depender da instanciação das variáveis.

9 Eqüivalências e Regras de Inferências A sentença x Px x Px, diz que: se todos os elementos x possuírem o predicado P, então existe um x que possui o predicado P. Pode ser instanciada para: se todos estão alegres, então existe alguém alegre, uma sentença aberta é válido quando seu conjunto verdade for o próprio universo. Por exemplo: O aberto: Py x Px, afirma que: se y possui a propriedade P, então existe um x que possui a propriedade P, o que é satisfeito por todos os objetos de qualquer universo. Instanciações dessa sentença: se y é sábio, então existe um x tal que x é sábio; se y é mortal, então existe um x tal que x é mortal.

10 Sentenças x tautologias É possível mostrar que se um esquema sentencial tiver a forma de um enunciado válido do Cálculo Proposicional (uma tautologia), então ele também será logicamente válido no CP. Isto é extremamente útil, pois permite construir um grande número de esquemas sentenciais abertos e fechados logicamente válidos. Exemplos:sentenças válidas, por possuírem a forma de tautologias:

11 Sentenças Eqüivalentes no CP Duas sentenças S1 e S2 são equivalentes, S1 S2, se e somente se, S1 S2 for um esquema logicamente válido. Uma sentença com a forma de uma equivalência do Cálculo Proposicional também será uma equivalência do CP. Exemplos:

12 Sentenças Eqüivalentes no CP Como ocorre no Sistema Proposicional, se duas sentenças S1 e S2, do CP, diferirem por partes equivalentes, então elas são equivalentes. Por exemplo: (Py x Qx) Rx é equivalente a Py x Qx Rx. Em resumo: padrões sentenciais, cuja forma é a de padrões sentenciais equivalentes ou que diferenciam- se pela ocorrência de partes equivalentes, são equivalentes.

13 Eqüivalencias de esquemas sentenciais do CP Há esquemas sentenciais do Cálculo de Predicados que são equivalentes, mas que não têm a forma de enunciados equivalentes. Exemplos: x Px x Px (De Morgan)[EQ01] x Px x Px (De Morgan) [EQ02] x (Px Qx ) x Px x Qx (Distrib)[EQ03] x (Px Qx ) x Px x Qx (Distrib) [EQ04]

14 Eqüivalencias de sentenças do CP Podemos também definir inferências no Cálculo de Predicados. Assim, dizemos que da sentença S1 inferimos S2, e escrevemos S1 S2, se e somente se S1 S2 for logicamente válida. Mais uma vez as inferências do Cálculo Proposicional podem ser utilizados como padrões para inferências no Cálculo de Predicados: Exemplos:

15 Inferências de sentenças do CP O CP possui inferências, que não correspondem a padrões de inferência nos enunciados do cálculo proposicional. Exemplos: x Px x Px[INF01] x (Px Qx) x Px x Qx[INF02] x Px x Qx x (Px Qx)[INF03] x (Px Qx) x Px x Qx[INF04] Essas eqüivalências e inferências serão úteis na dedução de argumentos no CP. As que possuem a forma de enunciados tautológicos têm, sua validade lógica assegurada. As demais, EQ01 a EQ04 e INF01 a INF04, necessitam de demonstração formal (Ver páginas 65 a 69).

16 Dedução no CP Um argumento no CP é tal que, um dos esquemas sentenciais, chamado conclusão, decorre logicamente dos demais, chamados premissas; Se essa decorrência se verificar, o argumento é dito válido, em caso contrário, é inválido. Deduzir um argumento, é, obter uma seqüência de esquemas sentenciais 1, 2,..., n, onde cada i ou é uma premissa ou resulta das anteriores após o uso de eqüivalências e inferências. Para deduzir a validade de um argumento, usamos as regras de inferência GU, IU, GE e IE, e as de equivalência/inferências EQ01 a EQ04 e INF01 a INF04.

17 Dedução: Aspectos gerais Procedimentos gerais usados na dedução (as premissas e conclusão devem estar na forma simbólica). Utilizar as: 1. eqüivalências e inferências do CP que correspondem às eqüivalências e inferências do Cálculo Proposicional; 2. eqüivalências e inferências EQ01 a EQ04 e INF01 a INF04; 3. inferências IU e IE, visando eliminar os quantificadores; 4. eqüivalências e inferências do Cálculo Proposicional, visando chegar à conclusão; 5. inferências GE e GU, visando reintroduzir os quantificadores na conclusão, se for necessário.

18 Revisão: O Diagrama de Venn e o SC Para a Proposição Universal Afirmativa (A) Todo S é P, x (Sx Px) temos o 1o diagrama; Proposição Universal Negativa (E), Nenhum S é P, ou, simbolicamente, x (Sx ~Px), pelo 2o; A Proposição Particular Afirmativa (I), Algum S é P, ou x (Sx Px), é representada pelo 3o diagrama abaixo; Proposição Particular Negativa (O), Algum S não é P, cuja forma simbólica é x (Sx ~Px), A I E O

19 Dedução no CP: Exemplo Nenhum atleta é apegado aos livros. Carlos é apegado aos livros. Portanto, Carlos não é um atleta. Sol: x (Ax Lx) L (Carlos) A (Carlos)

20 Dedução no CP: Exemplo 2. Ácidos ou bases são químicos. O vinagre é um ácido. Logo, o vinagre é um químico. Sol: x(Ax Bx Qx) A (vinagre) Q (vinagre)

21 Exemplos de dedução 3. Todos os cidadãos que não são traidores estão presentes. Todos os oficiais são cidadãos. Alguns oficiais não estão presentes. Logo, há traidores. Sol: x (Cx Tx Px) x (Ox Cx) x (Ox Px) x Tx Ver mais ex. na pp. 71.

22 Invalidade de argumentos no CP O método do absurdo Proposicional, (premissas verdades e conclusão falsa), pode ser adaptado ao CP desde que exista pelo menos um indivíduo no universo. Exemplo: Todos os mercenários são violentos. Nenhum guerrilheiro é mercenário. Logo, nenhum guerrilheiro é violento Simbolicamente: x (Mx Vx) (A) x (Gx Mx) (E) x (Gx Vx) Se existir apenas um indivíduo a no universo, o argumento assume: Ma Va Ga Ma Ga Va (Mostre por SC) (Ver ex. pp 72 : exige pelo menos 2 indivíduos)

23 Validade e Subargumentos Se o número de premissas e/ou de predicados em um argumento é grande, a dificuldade em deduzir a conclusão ou de provar a invalidade do argumento cresce significativamente. Nestes casos, o uso de subargumentos é recomendável. Ele consiste em: 1. escolher uma ou mais premissas no argumento dado; 2. obter uma conclusão com essas premissas, construindo um subargumento válido; 3. incluir a conclusão obtida como mais uma premissa no argumento original. Repetir o processo até se obter a conclusão do argumento original, ou ficar convencido de que isso não será possível.

24 Validade: uso de subargumentos Exemplo: Alguns fotógrafos são habilidosos. Só artistas são fotógrafos. Os fotógrafos não são todos habilidosos. Todo biscateiro é habilidoso. Logo, alguns artistas não são biscateiros. Sol: a 3a e 4a premissas escritas na forma típica: Todo biscateiro é habilidoso.Alguns fotógrafos não são habilidosos. Logo, alguns fotógrafos não são biscateiros. (silogismo categórico). Sol: Forma simbólica x (Bx Hx) (A), x (Fx Hx) (O); x (Fx Bx) O diagrama de Venn ao lado valida o subargumento:

25 Validade: uso de subargumentos Substituindo as premissas pela conclusão, e escrevendo a outra premissa na forma típica, temos o outro argumento como outro silogismo categórico: Todos os fotógrafos são artistas. Alguns fotógrafos não são biscateiros. Logo, alguns artistas não são biscateiros. Sol: Forma simbólica: x (Fx Ax) (A), x (Fx Bx) (O); x (Ax Bx) O diagrama de Venn ao lado valida o argumento: (ver outro exemplo na pag 75).

26 Invalidade: uso de subargumentos Ver o exemplo das páginas 78, 79 e 80) FIM


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