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Introdução a Lógica Matemática João Marques Salomão Curso de Engenharia Elétrica Coordenadoria de Eletrotécnica CEFET-ES Introdução a Lógica Matemática.

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1 Introdução a Lógica Matemática João Marques Salomão Curso de Engenharia Elétrica Coordenadoria de Eletrotécnica CEFET-ES Introdução a Lógica Matemática /1

2 Conteúdos de ILM História da lógica. A Lógica proposicional. A Lógica de Boole e os circuitos lógicos. A Lógica e a teoria dos conjuntos. A Lógica e os silogismos categóricos. Lógica e cálculo de predicados – 1ª ordem. Introdução à lógica "Fuzzy" ou difusa. Introdução a Lógica Matemática /1 – p. 2

3 Objetivos Gerais Desenvolver o raciocínio dedutivo, indutivo e lógico matemático. Descrever e aplicar a lógica proposicional e a álgebra booleana. Desenvolver aplicações da lógica de predicados. Conhecer aspectos básicos da lógica difusa. Introdução a Lógica Matemática /1 – p. 3

4 Estudar Lógica... para quê? Pensar corretamente encadeando o raciocínio. Formalizar o raciocínio lógico: tornar explícito aquilo que é implícito. Facilitar a programação lógica: Circuitos lógicos, Fluxogramas, Modelagem de dados, Linguagens de montagem e linguagens estruturadas de computação. Solucionar problemas com uso de técnicas de inteligência artificial: Lógica fuzzy, Redes Neurais, Algoritmos genéticos. Introdução a Lógica Matemática /1 – p. 4

5 História e evolução da lógica A lógica iniciou-se com Aristóteles ( A.C.), em sua obra Organum (ferramenta) estabeleceu os princípios gerais e sólidos que domina o pensamento ocidental há mais de 2 mil anos. Os filósofos gregos utilizavam a Lógica em suas discussões sob formas de sentenças afirmativas ou negativas. Leibniz, por volta de 1666, a utilizou em vários trabalhos chamando-a de calculus ratiotinator originando a idéia da lógica matemática. Introdução a Lógica Matemática /1 – p. 5

6 História e evolução da lógica Euler, no século XVIII, fez a 1 a representação gráfica entre sentenças (proposições). Entre 1847 a 1859 DeMorgan e Boole publicaram vários tratados e livros que deram uma base algébrica e formal para a lógica. Em 1879, Fregue provoca uma revolução ao desenvolver um sistema de representação simbólica: a lógica de predicados. Em 1937/1938 Nakashima e Shannon aplicam a álgebra de Boole em circuitos com relés dando origem ao 1 o computador eletro-mecânico. Introdução a Lógica Matemática /1 – p. 6

7 História e evolução da lógica A representação gráfica de Euler é ampliada por Venn no século XIX, Veitch em 1952 e Karnaugh em 1953 (mapas Veitch- Karnaugh). Na década de 60 Zadek estabeleceu a base formal da teoria de conjuntos para a lógica fuzzy ou difusa. Introdução a Lógica Matemática /1 – p. 7 A Lógica tem por objeto o estudo das leis gerais do pensamento e as formas de aplicá- las corretamente na investigação da verdade.

8 Evolução da lógica: argumentos Aristóteles se preocupava com as formas de raciocínio que, a partir de conhecimentos anteriores considerados verdadeiros (axiomas), permitiam obter novos conhecimentos (novas verdades): – Essa forma de encadeamento é chamado, em Lógica, de argumento. Argumento é coleção de informações (sentenças ou proposições) em que uma delas, chamada conclusão, é obtida a partir das outras, chamadas premissas. – A s afirmações envolvidas são chamadas proposições; – Usualmente, a proposição derivada é chamada conclusão, e as demais, são as premissas. Introdução a Lógica Matemática /1 – p. 8

9 Em um argumento válido, as premissas são provas da verdade da conclusão. Eis um exemplo de argumento válido: Se eu ganhar na Loteria, serei rico Eu ganhei na Loteria Logo, sou rico Como a conclusão sou rico é uma decorrência lógica das duas premissas, esse argumento é considerado válido. A Lógica formal se preocupa com o relacionamento entre as premissas e a conclusão, com a estrutura e a forma do raciocínio, e não com seu conteúdo. O objeto da Lógica é determinar se a conclusão é ou não uma conseqüência lógica das premissas. Evolução da lógica: argumentos Introdução a Lógica Matemática /1 – p. 9

10 Evolução da lógica: argumentos A validade do argumento está ligada à forma pela qual ele se apresenta, como mostrado no enunciado: Se eu ganhar na Loteria, serei rico Não ganhei na Loteria Logo, não sou rico Embora seja semelhante ao anterior, tem outra forma, e, nessa forma, a conclusão não se segue logicamente das premissas, portanto, não é um argumento válido. Introdução a Lógica Matemática /1 – p. 10

11 Argumentos: dedução e indução Argumentos dedutivos: as premissas fornecem uma prova conclusiva da veracidade da conclusão. – Um argumento dedutivo é válido quando suas premissas, se verdadeiras, fornecem provas convincentes para sua conclusão. Argumentos indutivos: as premissas nem sempre apresentam provas da veracidade da conclusão, mas, apenas indicações dessa veracidade: Joguei uma pedra no lago, e a pedra afundou; Joguei outra pedra no lago e ela também afundou; Joguei mais uma pedra no lago, e também esta afundou; Logo, se eu jogar uma outra pedra no lago, ela vai afundar. Eles não são válidos ou inválidos, mas costumam ser avaliados de acordo com a maior ou menor possibilidade com que suas conclusões sejam estabelecidas. Introdução a Lógica Matemática /1 – p. 11

12 Proposições e Predicados Como a Lógica das proposições singulares é mais simples que a lógica que trata também com conjuntos de objetos, o estudo é separado em duas partes: – O Cálculo Proposicional, ou Lógica Sentencial, que se ocupa das proposições singulares. Se o cão é mamífero, então mama; Premissa Se A, então B O cão é mamífero; Premissa Vale para A Logo, o cão mama. Conclusão Então, vale B – O Cálculo de Predicados, ou Lógica dos Predicados, que trata dos conjuntos de objetos e suas propriedades. Todos os homens são mortais. Premissa Todo B é A Sócrates é um homem. Premissa Algum B é C Logo, Sócrates é mortal. Conclusão Logo, algum C é A. Introdução a Lógica Matemática /1 – p. 12

13 A Lógica e seus Princípios A Lógica Formal repousa sobre três princípios fundamentais. São eles: – Principio da Identidade: toda proposição é idêntica a si próprio, (se uma afirmação é verdadeira, ela é um axioma). – Princípio da Não Contradição: Uma proposição não pode, simultaneamente, ser verdadeira e falsa. Isto é, de duas afirmações contraditórias, uma necessariamente é falsa. – Princípio do Terceiro Excluído: Toda proposição é verdadeira ou falsa, não existindo uma terceira opção. Introdução a Lógica Matemática /1 – p. 13

14 Proposições: linguagem e dicotomia A lógica estuda a validade de argumentos. A linguagem utilizada é fundamental, pois por meio dela expressamos as idéias em nossos raciocínios. O mundo apresenta situações dicotômicas, com duas condições ou dois estados que mutuamente se excluem: Verdadeiro (V)Falso (F) LigadoDesligado Sim (S)Não (N) BrancoPreto 10 Introdução a Lógica Matemática /1 – p. 14

15 Conectivos são expressões usadas para,a partir de proposições conhecidas, gerar novas proposições. Em geral usam-se letras latinas A, B, C,... (a,b,c,..) para indicar proposições arbitrárias. Introdução a Lógica Matemática /1 – p. 15 ConectivoFunçãoSímbolo (a, b)Significado Nãonegação¬a ou a ou anão a econjunçãoa ۸ b ou a ba e b oudisjunçãoa ۷ b ou a + b a ou b se.....nãocondicionala b ou a b Se a, então b se..e somente..sebicondicionala b ou a b a se, e somente se b Proposições e conectivos

16 Tabelas-verdade Tabela-verdade é uma forma de representar todas as combinações lógicas possíveis. Assim dados dois interruptores/portas lógicas a e b, teremos: + 1) s = a 2) s = a + b (a ۷ b) 3) s = a b (a ۸ b) Exemplos/Exercícios (p. 20, 21 e 22 - Daghlian) as = a 0 (F)1 (V) 0 (F) abs = a + b 0 (F) 1(V) 0 (F)1 (V) ab s = a b 0 (F) 1 (V)0 (F) 1 (V)0 (F) 1 (V) Introdução a Lógica Matemática /1 – p. 18


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